unabhängige zufallsgrößen

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flixgott Auf diesen Beitrag antworten »
unabhängige zufallsgrößen
hallo,
ich hab mit folgender aufgabe ein ziemliches problem: ich finde irgendwie keinen ansatz (ich gebe zu, stochastik liegt mir auch nicht soooo sehr)

für eine reelle zahl p mit 0<p<1 soll man unabhängige zufallsgrößen X1, X2, X3, ... derart konstruieren, dass P(Xj=0)=1-p und P(Xj=1)=p gilt. (j=1,2,3...)

irgendwie weiss ich nicht so recht, wo ich 'suchen' soll..
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist: Was verstehst du unter Konstruktion?

Vielleicht die konkrete Angabe eines Wahrscheinlichkeitsraum (WR) und auf diesem dann die Zufallsgrößen? Das ist aber bei einer unendlichen Folge schon gar nicht mehr so einfach...

Ja wenn die Folge nur endlich ist, d.h. , dann hilft der folgende sogenannte "kanonische" WR:



mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß



Und dann kannst du einfach festlegen: und die geforderten Eigenschaften nachweisen.

Bei einer unendlichen Folge wird die Definition des WR erheblich schwieriger (Stichwort: Zylindermengen, Satz von Kolmogorov).
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, die angabe des wraums habe ich einfach nur vergessen:

(ich hoffe die notation ist selbsterklärend..)

zylindermengen und der satz von kolmogorov sind mir ein begriff.. ich such sie gerade mal raus und schaue wie und ob ich damit weiter komme.
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

deine konstruktion haben wir schonmal in einem nicht so allgemeinen fall gemacht, nämlich dem unendlich münzwurf.

als allgemeines ergebnis haben wir dann folgendes konstruiert:



als produkt der sigma-algebren
das heißt:





das heißt:




die sind jetzt im Prinzip immer die Projektionen auf die j-te Koordinate eines Vektors aus also mit

dass die alle unabhängig sind, haben wir nachgewiesen.


wenn ich das richtig sehe, dann müßte das der wraum sein, mit dem dann dein beispiel zur lösung meiner aufgabe wird?! nur die genaue darstellung muß ich mir noch mal überlegen, aber im prinzip gilt ja sowas wie (das gleichheitszeichen sollte eigentlich eine ~ sein, aber leider bekomme ich die nicht unter latex hin, weder ~ noch \~ bilden die ~tatsächlich ab)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flixgott
aber im prinzip gilt ja sowas wie

Du meinst vielleicht \sim:

Klar, ist über die Darstellung im Dualsystem kein Problem. Und die paar "Mehrdeutigkeiten" wie interessieren uns hier nicht, denn das sind "nur" abzählbar viele, also vom Lebesgue-Maß 0.
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