Konvergenzen..Divergenzen.....Das Übliche

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Sheli Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzen..Divergenzen.....Das Übliche
Hallo,
ich bin grad mit so ein paar Reihen beschäftigt. Hab zu manchen auch schon was raus, aber ich bin mir noch ziemlich unsicher und komme immer mehr durcheinander. Hier sind drei Reihen, mit denen ich so einige Probleme habe:

1. ist die erste Reihe die man auf Konvergenz untersuchen muss.
Da weiss ich nicht einmal welches Kriterium ich benutzen soll.
Ich habs bisher so gemacht:
also konv. die Folge gegen Null und die Reihe an sich konve. auch. Aber ich bin mir nicht sicher, ob mans so machen kann.



2. Dann gibts noch so eine Reihe mit der ich gar nichts anzufangen weiss.....

Ich hab mir überlegt dass ich das auch mit 3. binomischer Formel mache, also:
aber weiter komm ich auch nicht.




3.
Da bin ich so vorgegangen:


Ich weiss es ist ein wenig viel, aber es wäre wirklich lieb, wenn sich das trotzdem jemand anschauen würde.
MfG
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

1. Du hast das ganze noch oben durch eine divergente Reihe abgeschätzt. Entweder du schätzt es nach oben durch eine konvergente Majorante oder nach unten durch eine divergente Minorante ab.
2. Leibniz-Kriterium.
3. Gleicher Fehler wie bei 1. Benutze

.

Schätze damit für genügend große nach oben ab.

Gruß MSS
 
 
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, kann ich es dann bei 1. folgendermaßen machen?


Wir hatte mal so eine Beispielaufgabe, da hat man es uns so vorgerechnet:
und darauf kann man das Wurzelkriterium anwenden:
und das konv. nach Wurzelkriterium. Aber irgendwie hab ich das nicht ganz verstanden. Vielleicht kannst du mir das erklären.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja schon wieder nach oben durch eine divergente Reihe abgeschätzt! Lies dir mal durch, was ich oben geschrieben habe! Was verstehst du denn bei der Anwendung des Wurzelkriteriums nicht?

Gruß MSS
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss, ich muss es nach oben durch eine konvergente majorante abschätzen. Das Problem, ich hab noch nicht raugekriegt, wie man solche konvergente Majoranten findet, oder eher gesagt, wie man leicht erkennen kann, dass es eine ist. Ich weiss z.b, dass konvergiert, und man diese Reihe als konvergente Majorante benutzen kann..und daher dachte ich, dass auch konvergiert, aber anscheinend doch nicht.
Ich hoffe, du weiss was ich meine....
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, und bei dem Wurzelkriterium. Ich glaub ich habs jetzt vestanden. Man kann ja schreiben, und dann geht das nach Wurzelkriterium gegen 1. Oder lieg ich doch damit falsch?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Kriterium geht gegen 1? Eine Formulierung, die vollkommen ohne Sinn ist ...
für , ja das stimmt.
Nein konvergiert nicht, denn es ist

,

womit man eine divergente Minorante hat. Deswegn solltest du bei 1. und 3. jeweils nach einer divergenten Minorante (jeweils ein Vielfaches der harmonischen Reihe) und nicht nach einer konvergenten Majorante suchen.

Gruß MSS
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das jetzt nochmal versucht. Komme einfach mit den Minorante und Majoranten noch nicht wirklich klar, und hoffe deshalb, dass ich das jetzt zumindest größtenteils richtig gemacht habe.

Zu 3.:
und jetzt div. ja die Reihe also div. die zu untersuchende Reihe aus 3. ebenfalls. Wäre das jetzt richtig so?
Lamalambra Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, habe die selbe Aufgabe, aber bei 2. habe ich eine kleine Anmerkung, ich habe das mit dem Leibniz-Kriterium mit jemand anderem ausprobiert und der hat dann festgestellt, dass das wohl irgendwie nicht funktioniert, ok, vielleicht hatte er da auch nen Fehler gemacht...
Vielleicht könnt ihr mir da ja noch mal helfen...

Gruß dat Lama
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte wohl 1. und nicht 3. heißen. Deine Abschätzung ist zwar bis auf das (da muss hin!) richtig, aber die Reihe über konvergiert, d.h. du kannst es also nicht als divergente Minorante benutzen.
Ich habe doch gesagt, dass du durch ein Vielfaches der harmonischen Reihe abschätzen sollst. Nochmals zur Erinnerung: Die harmonische Reihe ist

.

@Lamalambra
Das funktioniert sehr gut mit dem Leibnizkriterium. Du muss "nur" zeigen, dass eine monoton fallende Nullfolge ist.

Gruß MSS
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
konvergiert nicht, denn es ist





deshalb dachte ich auch, dass ichs damit abschätzen kann.

Aber jetzt sagst du, dass die Reihe über konvergiert. Kannst du mir das nochmal erklären?


Ich hab überall nach irgendwelchen Beispielen gesucht, wie man konkrete Reihen auf Konvergenz untersucht. Aber ich hab nirgens wo welche finden können. Vielleicht kennst du ja eine Seite, auf der einige Beispielaufgaben zu finden sind.
Das Thema macht mir irgendwie Probleme, und da könnten Beispiele schon sehr weiterhelfen.
MfG
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sheli
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
konvergiert nicht, denn es ist





deshalb dachte ich auch, dass ichs damit abschätzen kann.

Aber jetzt sagst du, dass die Reihe über konvergiert. Kannst du mir das nochmal erklären?



Nein, das hat er nicht gesagt. Die harmonische Reihe divergiert und somit auch


Gruß, therisen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sheli
Aber jetzt sagst du, dass die Reihe über konvergiert. Kannst du mir das nochmal erklären?

Genau lesen! Ich habe gesagt, dass konvergiert!!

Gruß MSS
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

So, noch ein Anlauf. Hoffe das das diesmal stimmt.

=> Reihe div.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es gut! Freude

Gruß MSS
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!!!

Ich habe versucht die 2. Reihe zu rechnen, nur habe ich das Problem das ich nicht zeigen kann das es eine monoton fallende Nullfolge ist. Kann mir da jemend einen Tipp geben, wie ich es am besten machen kann?!?!
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt nochmal die dritte versucht, also:

Da komm ich aber nur soweit:
Könnte man jetzt sagen, das und dann bleibt, und dass dann divergier und somit das ganze divergiert?

Bei der zweiten, da muss man doch zeigen dass monoton fallend ist, also . Kann man das durch Induktion machen, oder geht es auch einfacher?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sheli
Da komm ich aber nur soweit:
Könnte man jetzt sagen, das und dann bleibt, und dass dann divergier und somit das ganze divergiert?

Ist vollkommen richtig. Aufschreiben kann man das dann z.B. so: Es ist für alle , also gilt auch



für alle .
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sheli
Bei der zweiten, da muss man doch zeigen dass monoton fallend ist, also

Induktion dürfte da nicht helfen. Du kannst da aber natürlich auch mit der Darstellung



arbeiten.

Gruß MSS
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie zeigt man Monotonie ohne Iduktion? Hilfe
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Indem man die Ungleichung einfach äquivalent (!!) umformt, bis was wahres rauskommt.

Gruß MSS
Sheli Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hab das so umgeformt:


<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

<=>

Das wäre doch damit dann gezeigt, oder?

Und dass mit der Nullfolge, kann ich dann damit argumentieren, dass gegen Null geht?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. So geht es z.B.. Ist beides richtig. Freude

Gruß MSS
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