Quadrat im Quadrat

01.12.2005, 18:13

Aendu

Quadrat im Quadrat

Hallo

Ich muss x berechnen bei den kleinen Quadraten. Ich bin erst so weit gekommen:
Wie könnte man da jetzt weiterfahren?
$\begin{eqnarray*} 2\cdot x+ ............= 10cm \end{eqnarray*}$

Ändu

01.12.2005, 18:20

DGU

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ich nehm an, alle 5 Q. sollen gleich groß sein?

dann zerlege lieber die Diagonale d. großen Q. in Teilstücke

01.12.2005, 19:14

Aendu

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Hatte ich mir auch überlegt, aber ich muss mit folgender Formel rechnen:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot x+ ............= 10cm \end{eqnarray*}$

01.12.2005, 20:07

cst

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Das mit ... bezeichnete Stückchen, das an 10 cm noch fehlt, ist die Hypothenuse eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks. Wie lang sind denn die Katheten (Symmetrie beachten)? Alternativ: Wie groß sind die Innenwinkel (falls ihr schon Sinus/Kosinus hattet)? Daraus folgt die Hypothenuse.

01.12.2005, 21:18

Aendu

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Also kann ich für die Hypothenuse = d einfach $\begin{eqnarray*} d = \sqrt{2a^{2}} \end{eqnarray*}$ anwenden? Für die Seite = x der inneren Quadrate:
$\begin{eqnarray*} \frac{d-y}{2}= x \end{eqnarray*}$ wenn y für die 10cm steht?

01.12.2005, 21:23

cst

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Irgendwie ein bisschen, aber nicht so ganz. Was ist denn bei dir a? Die Formel für d muss ein x enthalten. Deshalb stimmt auch die letzte Gleichung für x nicht.

01.12.2005, 21:31

Aendu

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Zitat:

Original von cst_aus_b
Irgendwie ein bisschen, aber nicht so ganz. Was ist denn bei dir a? Die Formel für d muss ein x enthalten. Deshalb stimmt auch die letzte Gleichung für x nicht.

"a" steht für die 10cm des grossen Quadrates. Diese Formel sollte für die Bestimmung der
Hypothenuse nach Pytagoras stimmen oder?

01.12.2005, 21:46

cst

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Zitat:

Original von Aendu
... wenn y für die 10cm steht?

a oder y steht für die 10 cm?

Ich meinte das rote Dreieeck in der Skizze. Drück doch mal "mein" d durch x aus! Dann bildest du die Gleichung 2x+d=10 und stellst nach x um. Okay?

01.12.2005, 22:03

Aendu

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Erstmal vielen herzlichen Dank dass Du dir soviel Zeit nimmst!

y = 10cm (Seitenlänge des grossen Quadrates)

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{2y^{2}} \end{eqnarray*}$ für die Diagonale des grosen Quadrates (geht es
überhautp um dieses, oder meinst Du eines der kleinen Quadrate?)
Hab mal eine andere Skizze gezeichnet:

01.12.2005, 22:15

cst

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Deine Formel für die Diagonale des großen Quadrates ist richtig (läßt sich allerdings noch zu $\begin{eqnarray*} d_{aendu}=\sqrt{2}y \end{eqnarray*}$ vereinfachen). Aber darum geht es hier/mir nicht. Mein $\begin{eqnarray*} d_{cst} \end{eqnarray*}$ ist das, was in deiner Skizze der dicke rote Strich ist. Und das ist gar keine Diagonale eines Quadrates, wohl aber die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (das rote in meiner Skizze). Die Katheten dieses Dreiecks sind jeweils x/2 lang, wie du schon ganz richtig erkannt und in deine 2. Skizze eingetragen hast. Dann ist $\begin{eqnarray*} d_{cst}=? \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, ist letztlich $\begin{eqnarray*} 2x + d_{cst}=10cm \end{eqnarray*}$ . Jetzt klarer?

edit: Na gut, mein $\begin{eqnarray*} d_{cst} \end{eqnarray*}$ kann man auch als Diagonale eines der ganz kleinen Quadrate ansehen.

01.12.2005, 22:28

Aendu

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Also wird "dein" d wie folgt ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} d= \sqrt{2x^{2} } \end{eqnarray*}$

01.12.2005, 22:32

Aendu

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opps, meinte natürlich: $\begin{eqnarray*} d= \sqrt{{2}\frac{x}{2}^{2}} \end{eqnarray*}$

01.12.2005, 22:33

cst

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Nein, die Katheten/Seiten des ganz kleinen Quadrates sind doch x/2 (x _durch_ 2) also:

$\begin{eqnarray*} d_{cst}=\sqrt{2(\frac{x}{2})^2}=\sqrt{2\frac{x^2}{4}}= \sqrt{\frac{x^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}x \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich schon fast alles verraten.

edit: Oops, da war ich wohl ein wenig voreilig. Sorry! Trotzdem fehlen bei dir noch die Klammern.

01.12.2005, 22:48

Aendu

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Also die Gleichnung:

$\begin{eqnarray*} 2x+\sqrt{2\frac{x^{2}}{4} } = 10 \mid -2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2\frac{x^{2}}{4} } = 10-2x \mid :10 \end{eqnarray*}$

Ja, jetzt komm ich irgendwie nicht mehr weiter...sollte in nächster Zeit wieder mal die
Gleichungen üben... verwirrt

01.12.2005, 23:02

cst

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Tja, du kommst wohl nicht drum herum, das x^2 aus der Wurzel zu ziehen.

$\begin{eqnarray*} 2x+\sqrt{2\frac{x^{2}}{4} } = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+\sqrt{ \frac{2}{4}}x = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+\sqrt{\frac{1}{2} }x = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2+\sqrt{\frac{1}{2} })x = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \frac{10}{2+\sqrt{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Den Zahlenwert kriegst du auch allein hin, oder?

01.12.2005, 23:12

Aendu

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Vielen Dank! Jetzt muss ich mir für die Prüfung nächste Woche noch die Gleichungen
gut anschauen!

Also gibt es als Endresultat: x = 3.69cm

PS: kleine Frage: Wie berechnet man den Umfang eines gleichschenkligen Dreieckes wenn
mein seine Grundseite und seine Höhe kennt, also die Fläche?

01.12.2005, 23:39

cst

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Halbiere das Dreieck entlang der Höhe, so kriegst du ein rechtwinkliges Dreieck; dessen eine Kathete ist die halbe Grundseite des großen gleichschenkligen Dreiecks, die andere Kathete ist die Höhe des großen gleichschenkligen Dreiecks. Mit Pythagoras Hypothenuse des rechtw. Dreiecks berechnen. Dann hast du alle beiden/drei Seiten des großen Dreiecks für den Umfang.

So, muss jetzt ins Bett.

Tschüs und beste Grüße
Christian

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