Dichtefunktion - Parameter bestimmen

01.12.2005, 21:47

antykoerpa

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Dichtefunktion - Parameter bestimmen

Hi.

Ich muss eine Aufgabe rechnen, verstehe da aber einige Dinge nicht.

"Eine stetige Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(1+x) fuer -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 sonst \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie den Parameter a.

Wie lautet die dazugehörige Verteilungsfunktion F(x)?

Bestimmen Sie P(X <= 0), P (X <= 1), P(X > 3)."

1) Was ist dieser Parameter a? Was gibt der an?
2) Und wie berechne ich a?
3) ICh gehe davon aus, dass ich F(x) durch integrieren rausbekomme!?
4) und wie bestimmt ich P(X ...)?

Danke für Eure Hilfe

01.12.2005, 21:54

bil

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hi
lies dir das mal durch
http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtefunktion

um das a zu bestimmen musst du einfach schaun das deine dichtefkt die definition erfüllt speziell integrall -1 bis 1 über f =1

gruss bil

01.12.2005, 21:58

antykoerpa

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Den Artikel hatte ich mir schon durchgelesen, aber damit komme ich leider gar nicht zurecht. Trotzdem danke.

01.12.2005, 22:12

bil

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ok... das ab jetzt vorher erwähnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

also das a ist einfach nur irgendein parameter. über den gibts nichts tolles zu sagen.du musst ihn halt noch bestimmen so das es eine dichtefkt wird:
die definition von einer dichtefkt besagt(wie in wikipedia auch steht)
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx=1 \end{eqnarray*}$

das heisst in deinem fall das

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} a\cdot (1+x) dx=1 \end{eqnarray*}$

also musst du a so bestimmen das die gleichung aufgeht.
damit wäre 1) und 2) geklärt

3)richtig durch integrieren bekommst du die verteilungsfunktion F(x)

4) die wahrscheinlichkeiten bekommst du durch die verteilungsfunktion F(x)
und zwar gilt: (steht auch in wiki):
$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x) dx \end{eqnarray*}$

mit der definition kannst du auch verstehen wieso das integral über die dichte =1 sein muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn noch was unklar ist einfach fragen...

gruss bil

01.12.2005, 22:29

antykoerpa

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Hey, ok, dann sag ich das ab nun vorher smile

smile

So du hast mir schon sehr geholfen, ich versuche es einfach mal..
Here we go:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~a\cdot(1+x)~dx = 1 =a \cdot\int_{-1}^{1}(1+x)~dx = a \cdot [( x + \frac{x^{2} }{2})]_{-1}^1 = a \cdot ( \frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = a \cdot 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

(Frage nebenbei: Wie mache ich denn eine neue Zeile in Latex? Dann könnt ich das übersichtlicher darstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Ist a denn richtig ausgerechnet?

Jetzt versuche ich mich an der Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} \cdot (1 + x) = \frac{1}{2}\int_{}^{}~(1 + x)~dx = \frac{1}{2} \cdot (x + \frac{x^2}{2}) =\frac{x}{2} + \frac{x^2 }{4} = F(x) \end{eqnarray*}$
Ist das auch richtig?

Den Rest mach ich erst wenn ich weiß dass das hier bis jetzt richtig war... *ggg*

01.12.2005, 22:35

bil

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jepp alles richtig. Freude

Freude

habs jetzt nicht nachgerechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

schätze aber mal du kannst integrieren!
neue zeile in latex geht normalerweise mit \\ aber bei mir macht das hier immer probleme im forum. ich starte einfach ein neues latex in der nächsten zeile, ist zwar keine gute methode aber eine bessere kenne ich hier nicht.

gruss bil

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01.12.2005, 22:53

antykoerpa

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Ja super, das freut mich smile

smile

Hmm ich hab mir die Funktion mal zeichnen lassen:

Was genau sagt mir das jetzt?
Ich soll nun ja P(X<=0) ausrechnen,ist das dann
$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty }^{0}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ ? Also muss die Untergrenze $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ sein? Laut Graph würde ich nun behaupten, dass die Wahrscheinlichkeit = 0 ist...

01.12.2005, 23:03

AD

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Zitat:

Original von antykoerpa
Jetzt versuche ich mich an der Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} \cdot (1 + x) = \frac{1}{2}\int_{}^{}~(1 + x)~dx = \frac{1}{2} \cdot (x + \frac{x^2}{2}) =\frac{x}{2} + \frac{x^2 }{4} = F(x) \end{eqnarray*}$
Ist das auch richtig?

Ich korrigiere bil nur ungern, aber abgesehen von der grausamen Form dieser "Gleichungskette" ist auch das Endresultat falsch:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{2} + \frac{x^2 }{4}, \quad -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

ist zwar eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , aber nicht die Verteilungsfunktion, nicht mal in diesem Intervall $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Dazu muss nämlich auch noch

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to-\infty} F(x) = F(-1) = 0 \end{eqnarray*}$

gelten. Also bitte die Integrationskonstante richtig anpassen. Außerdem solltest du der Vollständigkeit halber die Verteilungsfunktion für alle reellen Argumente angeben, also nicht nur für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

01.12.2005, 23:09

antykoerpa

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*schnüff* "[..] grausame Form[..]"? traurig

traurig

Ich sage das nur ungern, aber ich hab nichts von dem verstanden, was Du geschrieben hast... Bin doch nur ein armer Informatikstudent...

Das Endresultat ist falsch? Habe ich falsch integriert? Nein, oda?
Mir fällt grad auf, dass ich die Konstante (+c) vergessen habe, also
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + c \end{eqnarray*}$

Magst Du versuchen, mir das noch einmal genauer zu erklären?
Besonders das mit dem Limes?
Thx

01.12.2005, 23:11

AD

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Kennst du die Eigenschaften, die eine Verteilungsfunktion haben muss?

01.12.2005, 23:14

bil

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ja muss leider arthur rechtgeben. ist mir selber erst gerade aufgefallen als ich gesehen hab das die verteilungsfunktion negative werte(wahrscheinlichkeiten) annehmen kann....
gruss bil

01.12.2005, 23:19

AD

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@bil

Übernimm mal wieder - ich bin weg... Wink

Wink

01.12.2005, 23:20

antykoerpa

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Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.. Also die Fläche muss 1 sein.
Und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \end{eqnarray*}$

01.12.2005, 23:31

bil

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richtig....
und es gilt noch
$\begin{eqnarray*} F(x)\geq 0 ~~~\forall x \epsilon R \end{eqnarray*}$
hatte leider selber nicht mehr daran gedacht bzw. meistens reicht es wenn man die fläche auf 1 trimmt. aber an der grafik spätestens sieht man den fehler.
also jetzt fehlt noch:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to-\infty} F(x) = F(-1) = 0 \end{eqnarray*}$

Also bitte die Integrationskonstante richtig anpassen. Außerdem solltest du der Vollständigkeit halber die Verteilungsfunktion für alle reellen Argumente angeben, also nicht nur für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

das auf ganz R anzupassen ist nicht unbedingt notwendig aber schaden kann es nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

01.12.2005, 23:34

bil

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Zitat:

Original von antykoerpa
Eigenschaften einer Verteilungsfunktion.. Also die Fläche muss 1 sein.
Und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \end{eqnarray*}$

in unserem fall reicht es $\begin{eqnarray*} F(-1) = 0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. da x nur werte zwischen -1 und 1 annehmen kann.

01.12.2005, 23:40

bil

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nochmal zusammenfassend:
http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/J...zle/Dichte.html
das die fläche 1 ist, ist ja nach der definitionen dann klar.
jetzt kommst du wahrscheinlich eh selber klar... ich bin nämlich jetzt auch weg..

gruss bil

01.12.2005, 23:41

antykoerpa

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ich gebe es auf, ich weiß absolut nicht, was ich machen muss.. unglücklich

unglücklich

ich steige da gar nicht durch..vielleicht liegt es auch einfach an der uhrzeit smile

smile

trotzdem danke für eure mühe!

01.12.2005, 23:49

bil

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jetzt nicht aufgeben, du hast es ja schon fast...
du musst einfach noch die integrationskonstante c so anpassen das gilt
F(-1)=0 und F(1)=1

gruss bil

05.12.2005, 08:32

antykoerpa

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Mache ich das durch "Ausprobieren" oder gibt es da einen vernünftigen Weg für?
Ich meine wenn ich die Integrationskonstante nur für einen Wert anpassen müsste, dann würde ich F(x) einfach gleichsetzen mit diesem Wert. Aber da die Gleichung für 2 Werte stimmen muss, wüsste ich nun nicht wie ich das angehen kann.

05.12.2005, 09:12

AD

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Wieso denn probieren? Wir waren bei

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{2} + \frac{x^2 }{4} + c, \quad -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

sowie der Forderung

Zitat:

Original von bil
in unserem fall reicht es $\begin{eqnarray*} F(-1) = 0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. da x nur werte zwischen -1 und 1 annehmen kann.

Daraus musst du jetzt nur noch das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bestimmen, und schon hast du die Verteilungsfunktion - zumindest im Intervall $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Und der "Rest" der reellen Achse sollte dann auch nicht mehr das Problem sein.

EDIT: Jetzt verstehe ich erst dein Verständnisproblem: Du machst dir Sorgen, weil ja auch $\begin{eqnarray*} F(1)=1 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein muss. Aber dass $\begin{eqnarray*} F(1)-F(-1)=1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, geht doch bereits aus dem obigen Beitrag von bil hervor, so hattest du doch den Faktor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmt!!! Hast du denn das alles bereits vergessen?

06.12.2005, 00:12

antykoerpa

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Ok, dann rechne ich also Folgendes:
$\begin{eqnarray*} F(-1) = \frac{-1}{2} + \frac{1}{4} + c = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = c = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Und ist dann die Lösung:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

?

Gruß

06.12.2005, 15:24

bil

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Freude

06.12.2005, 15:29

bil

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Zitat:

Und der "Rest" der reellen Achse sollte dann auch nicht mehr das Problem sein.

das fehlt noch bzw.musst noch machen, bevor arthur dent noch meckert Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber den "schwierigen" teil hast eh jetzt erledigt

bil

07.12.2005, 12:57

antykoerpa

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Leute ich find es toll, dass ihr euch so viel Mühe gebt und noch nicht aufgegeben habt bei mir...ABER: "Der Rest der reellen x-Achse"? Ich weiß mal wieder nicht was gefordert ist... Das ist wie so oft das Problem. Am Rechnen scheitert es nicht. Man muss verstehen WAS gefordert ist.

07.12.2005, 13:14

AD

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Damit meine ich nur, dass

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

natürlich nur für $\begin{eqnarray*} -1 \leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ richtig ist. Die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ ist aber für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert. Und bei den Unsicherheiten, die du bisher gezeigt hast, bist du dir dieser Tatsache vielleicht nicht bewusst!

07.12.2005, 13:16

antykoerpa

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Naja, dass die Antwort die ich bis jetzt gerechnet habe nur für -1<=x<=1 gilt, war mit sehr wohl bewusst! Nicht von Anfang an, aber ihr habt mir ja geholfen...Dafür ist das Forum doch da, nicht???

07.12.2005, 13:31

AD

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Also gut, worauf ich hinauswill: Die vollständige Antwort nach der Verteilungsfunktion ist

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x < -1\\ \displaystyle\frac{(x+1)^2}{4} & \;\mbox{für}\; -1\leq x\leq 1\\ 1 & \;\mbox{für}\; x > 1\end{cases} \end{eqnarray*}$

(die $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ habe ich nur etwas "freundlicher" geschrieben). Und aus meiner eigenen Zeit als Hochschulassistent weiß ich auch, dass bei solchen Fragen auch meist eine solche vollständige Antwort gefordert wird. Nicht dass du denkst, ich will dich hier ärgern...

07.12.2005, 13:33

antykoerpa

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Danke! Du hast ja recht, ich weiß ja selbst wie das mit den "vollständigen" Antworten ist!
Und nein, ich glaube nicht, dass Du mich ärgern willst smile

smile

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