Integralberechnung

28.04.2008, 21:03

Bruzzler

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Integralberechnung

Hallo mal wieder ! Big Laugh

Big Laugh

Geht um folgendes Problem!

Ich soll mit hilfe des Integrals ein Länge eines Kurvenstückes berechnen.

Da gibt mir die Formelsammlung die formel für das Integral

S=&#8730 traurig

traurig

1+f'(x)²)

Jetzt setz ich für f'(x) als Ableitung von f(x)=a/2*(e^x/a+e^(-x/a)) ein:

1/2*(e^(x/a) - e^-(x/a)

dann hab ich das integral=&#8730 traurig

traurig

1+(1/4*(e^(x/a) - e^-(x/a))

wie rechne ich dann jetzt weiter das integral von a nach b aus um dann auf die entrsprechende länge zu kommen ?

so far danke erstmal Big Laugh

Big Laugh

28.04.2008, 21:04

Bruzzler

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da sollte nen wurzelzeichen nach dem integral und vor dem
"1+(1/4*(e^(x/a) - e^-(x/a))" stehen

das hats wohl verschlungen Big Laugh

Big Laugh

28.04.2008, 21:14

Bjoern1982

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Da fehlt noch das Quadrat nach der Klammer.
Desweiteren löse die Klammern auf, fasse mit dem Summanden 1 zusammen und mache aus dem entstehendem Term wieder ein Binom, von dem man dann problemlos die Wurzel ziehen kann.

Gruß Björn

28.04.2008, 21:15

Bruzzler

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Also nochmal sauber...

integral(a nach b) = Wurzel(1+(1/4*(e^(x/a) - e^-(x/a))²)

wäre das dann nach der Formel soweit bin ich gekommen !

aber was soll ich jetzt machen ?

28.04.2008, 21:20

Bruzzler

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also

Integral=Wurzel(1+1/4(e^x/a)² + 1/4(e^-x/a))

wäre das aufgelöst

bzw.

Integral=Wurzel(5/4(e^x/a)² + 1/4(e^-x/a)) ??ß wäre das so ?

und daraus mach ich dannwas ?

28.04.2008, 21:25

Bjoern1982

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Willst du es nicht mal mit Latex und dem Formeleditor versuchen ?
Ich kann das alles kaum entziffern...

Was ich erahnen kann ist, dass du wohl nicht die binomische Formel angewendet hast und auch Punkt vor Strichrechnung nicht beachtet hast.

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28.04.2008, 21:38

Patwegener

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + (\frac{1}{4}) \cdot (e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{-x}{a}})^{2}} \end{eqnarray*}$

aus dem ganzen dann noch die Wurzel(hab das latex dazu net gefunden) und man hat die Formel,aus der formelsammlung angewendet auf meine formel

abr wie dann weiter ?

28.04.2008, 21:41

Bjoern1982

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Wurzeln gehen mit sqrt{}

Wie ich bereits sagte musst du erstmal durch die 2. binomische Formel die Klammer auflösen, dann entweder die 1 zu 1/4*4 machen und ausklammern oder eben alles ausmultiplizieren und zusammenfassen.

28.04.2008, 21:51

Patwegener

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wäre das also nach der zweiten binomischen formel :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + \frac{1}{4} \cdot ((e^{\frac{x}{a}})^{2} + 2\cdot e^{\frac {x}{a}} \cdot (-e^{\frac{-x}{a}}) + (e^\frac{-x}{a})^{2}}) \end{eqnarray*}$

???

28.04.2008, 21:54

Bjoern1982

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Joa FAST....es fehlt ein minus im Exponenten im 2. Summanden in der Klammer.
Mit den Potenzgesetzen kann man nun noch einiges zusammenfassen.

28.04.2008, 21:59

Patwegener

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ehm ok.. nen kleinen denkanstoß ? ich steh grade aufm schlauch..

ich seh da leider grade nix...

man kann doch nur was zusammenfassen, wenn die basen oder exponenten gleich wären, was hier ja net der fall ist...

28.04.2008, 22:02

Bjoern1982

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Hmm...so algebraische Umformungen müsstest du etwas üben, das bricht dir sonst das Genick...

Das könnte helfen:

$\begin{eqnarray*} (a^m)^n=a^{m \cdot n} \end{eqnarray*}$

und vielleicht noch

$\begin{eqnarray*} a^n \cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^0=1 \end{eqnarray*}$

28.04.2008, 22:08

Patwegener

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ok jetzt seh ich was

*grübel*

ich weiß jetzt zwar net weil es ist ganz nett:

aber man hat ja bei der funktion

$\begin{eqnarray*} a^{n} * (-a^{-n}) \end{eqnarray*}$

geht das dann genauso oder zeiht man die -1 raus ?

ich weiß0 das ich da null hintergrundwissen habe..

ist halt so wenn man aus berlin nach bayern zieht und noch nie son genie war...

28.04.2008, 22:12

Bjoern1982

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Sollte dich jetzt nicht kränken, nur darauf aufmerksam machen wie wichtig es ist sowas zu beherrschen, sonst kommt man am Ende selbst mit dem richtigen Ansatz nie auf das korrekte Ergebnis.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a^{n} * (-a^{-n}) \end{eqnarray*}$

geht das dann genauso oder zeiht man die -1 raus ?

Ja, da die Multiplikation kommutativ ist, man also die Faktoren beliebig vertauschen darf, kann man die -1 auch rausziehen.

28.04.2008, 22:17

Patwegener

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aaaalso

*umform*

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{2x}{a}} - 2 + e^{\frac{-2x}{a}})} \end{eqnarray*}$

28.04.2008, 22:17

Bjoern1982

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Geht doch

Freude

28.04.2008, 22:21

Patwegener

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uuund dann weiter....

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4}*e^{\frac{2x}{a}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}*e^{\frac{-2x}{a}}} \end{eqnarray*}$

28.04.2008, 22:24

Patwegener

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ach schmarrn die 1 vorne natürlich weg Big Laugh

Big Laugh

und asum -1/2 ein +1/2

28.04.2008, 22:26

Bjoern1982

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Fein fein =)

Soo...wenn du nun noch 1- 1/2 rechnen würdest, dann würdest du auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{1}{4}*e^{\frac{2x}{a}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}*e^{\frac{-2x}{a}}} \end{eqnarray*}$

kommen.

Der letzte Schritt ist nun zu erkennen, wie du nun wieder aus diesen 3 Summanden ein Binom machst....und zwar mit dem Hintergedanken dass du das hier vorher gemacht hast:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2x}{a}} - 2 + e^{\frac{-2x}{a}}=(e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{-x}{a}})^{2} \end{eqnarray*}$

28.04.2008, 22:31

Patwegener

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das heißt ich hab nachdem schritt

der ebenfalls unter die wurzel kommt?

dann das integral= $\begin{eqnarray*} \sqrt{(e^{\frac{x}{a}}-e^{\frac{-x}{a}})^{2}} \end{eqnarray*}$

28.04.2008, 22:35

Bjoern1982

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Huch, ich glaube ich hab dich damit eher verwirrt...

Dann machen wir nochmal hier weiter:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4}*e^{\frac{2x}{a}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}*e^{\frac{-2x}{a}}} \end{eqnarray*}$

Klammere hier nochmal 1/4 aus und versuche dann zu erkennen wie man den Term der Klammer durch eine Binom darstellen kann.

28.04.2008, 22:39

Patwegener

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wäre ja dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{2x}{a}} + \frac{1}{4} + e^{\frac{-2x}{a}})} \end{eqnarray*}$

aber weiter weiß ich wieder net....

is ja zum verzweifeln hier....

28.04.2008, 22:47

Bjoern1982

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AUs dem 1/2 hast du falsch ausgeklammert.

28.04.2008, 22:47

Patwegener

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ah klar
wird 2

-.-

Gott

Gott

Gott

28.04.2008, 22:52

Patwegener

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also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{2x}{a}} + 2 + e^{\frac{-2x}{a}})} \end{eqnarray*}$

und dan sind wir ja da wpo du mir vorhin gezeigt hast

letztenendes is das integral dann

integral= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{x}{a}}-e^{\frac{-x}{a}})^{2}} \end{eqnarray*}$

28.04.2008, 23:01

Bjoern1982

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Stop, nur bis hierhin

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{2x}{a}} + 2 + e^{\frac{-2x}{a}})} \end{eqnarray*}$

Den Term in der Klammer jetzt zu einem Binom machen, durch genau einen Schritt.

28.04.2008, 23:06

Patwegener

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ich weiß ja von vorhin noch, dass

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2x}{a}} \end{eqnarray*}$

auch schreiben könnte als

$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{x}{a}})^{2} \end{eqnarray*}$

ebenso bei

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{-2x}{a}} \end{eqnarray*}$

auch als

$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{-x}{a}})^{2} \end{eqnarray*}$

und die zwei könnte man

nur bei der zwei hängts Big Laugh

Big Laugh

ich bin so schlecht dass gibts net...

28.04.2008, 23:13

Bjoern1982

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Denke daran dass du am Anfang beim Auflösen der bimonischen Formel das hier erhalten hast:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2x}{a}} - 2 + e^{\frac{-2x}{a}}=(e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{-x}{a}})^{2} \end{eqnarray*}$

Was wird dann wohl aus

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{2x}{a}} + 2 + e^{\frac{-2x}{a}} \end{eqnarray*}$ ?

28.04.2008, 23:15

Patwegener

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???

Big Laugh

28.04.2008, 23:16

Bjoern1982

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Yeeah

smile

28.04.2008, 23:17

Patwegener

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scheisse bist du gut Big Laugh

Big Laugh

also wäre das integral dann:

???

28.04.2008, 23:22

Bjoern1982

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Genau, und daraus kann man jetzt glatt die Wurzel ziehen.

28.04.2008, 23:26

Patwegener

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also finished

also wäre das integral

28.04.2008, 23:29

Bjoern1982

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Ganz genau, kannst du das lösen ?

28.04.2008, 23:31

Patwegener

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naja stammfunktion rausfinden

dann in die stammfunktion die obere grenze einsetzen
und von der dann die stammfunktion mit der unteren grenze abziehen Big Laugh

Big Laugh

nur is die frage
wie is die stammfunktion Big Laugh

Big Laugh

sry wenn ich dich wachhalte oder nerve -.-

28.04.2008, 23:36

Bjoern1982

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Ich hätte bestimmt nicht gefragt ob du noch Fragen hast wenn du mich nerven würdest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Joa also das 1/2 würde ich vor das Integral ziehen und dann jeden Summanden einzeln integrieren. Entweder man sieht wie ein Stammfunktion lauten muss oder man leitet es sich durch Substitution her ---> z=x/a

Edit:

Ach was red ich da, man kann natürlich die Summe auch noch erstmal zusammenfassen

28.04.2008, 23:39

Patwegener

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ehm ja

Big Laugh

ich sehe grade in meiner formelsammlung

das die stammfunktion von e^irgendwas = e^irgendwas + c wäre

kann ich das auf meins anwenden ?

28.04.2008, 23:58

Patwegener

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heißt doch einmal hoch x/a und einmal hoch -x/a Big Laugh

Big Laugh

das kann man zusammenzählen ?

29.04.2008, 00:06

Bjoern1982

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Wie gesagt dafür brauchst du Substitution.

In diesem speziellen Fall geht es auch wenn du einfach nur die Ableitung der inneren Funktion dividierst.

29.04.2008, 00:09

Patwegener

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ehm ja... das versteh ich jetzt gar net mehr Big Laugh

Big Laugh

http://integrals.wolfram.com/Integrator/MSP/MSP22402751775786869717_187?MSPStoreType=GIF
sagt mir ein inet programm...

sinh wäre

http://mathworld.wolfram.com/images/equations/HyperbolicSine/NumberedEquation1.gif

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