limsup(x+y)

02.12.2005, 14:28

Lamalambra

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limsup(x+y)

Hey, ich habe noch eine Aufgabe, mit der ich nicht so recht klar komme, vielleicht könntet ihr mir da helfen...

1.
$\begin{eqnarray*} lim sup x_{n} + lim sup y_{n}\leq lim sup (x_{n} + y_{n}) \end{eqnarray*}$

Und das sollen wir nun beweisen und ich habe keine Ahnung wie, noch nicht mal einen Ansatz unglücklich

unglücklich

Weiterhin sollen wir durch Gegenbeispiele zeigen, dass die anderen beiden Relationen $\begin{eqnarray*} =, \geq \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen nicht gelten! Ja auch hier habe ich leider keine Ahnung...

2.
Es sei $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb C, \mid q \mid < 1 \end{eqnarray*}$ . Konvergiert die durch $\begin{eqnarray*} z_{n}:= q^n \end{eqnarray*}$ definierte Folge $\begin{eqnarray*} (z_{n}) \end{eqnarray*}$ ? Ggf.: Wogegen? Beweisen Sie Ihre Aussage!

Ja also hier habe ich wohl was, aber bin mir nicht sicher, ob das reicht...
$\begin{eqnarray*} Annahme: q\in \mathbb C, \mid q \mid <1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty~q^n \end{eqnarray*}$ Dies ist die geometrische Reihe und bei der weiß man, dass sie konvergiert mit $\begin{eqnarray*} \mid q \mid<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow q^k \to 0, k\to \infty \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Habt Ihr sonst einen Tipp für mich?

Gruß dat Lama

02.12.2005, 18:41

Mathespezialschüler

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2. Wenn ihr schon bewiesen habt, dass die geometrische Reihe konvergiert, dann ist das ok.
1. Schreib mal die Definition des Limes superior hier rein. Und dann solltest du dir klar machen, dass du natürlich mit dieser Definition arbeiten musst.

Gruß MSS

02.12.2005, 19:02

AD

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RE: limsup(x+y)

Zitat:

Original von Lamalambra
$\begin{eqnarray*} lim sup x_{n} + lim sup y_{n}\leq lim sup (x_{n} + y_{n}) \end{eqnarray*}$

Ist i.a. falsch, siehe z.B. $\begin{eqnarray*} x_n=(-1)^n, y_n=(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Sicher meinst du

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_n x_{n} + \limsup\limits_n y_{n} \geq \limsup\limits_n (x_{n} + y_{n}) \end{eqnarray*}$

02.12.2005, 19:05

Mathespezialschüler

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*lol* Gut, dass ich das auch gesehen habe. unglücklich

unglücklich

Gruß MSS

03.12.2005, 11:45

Lamalambra

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Oh, das stimmt habe mich versehen mit dem kleiner gleich Zeichen, danke schön smile

smile

Also wenn ich mich jetzt nicht irre, dann haben wir gar keine direkte Definition für limes superior... Wir haben nur eine Epsilon-Charakterisierung von lim sup und lim inf! Meinst du sowas?

03.12.2005, 11:48

Mathespezialschüler

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Wenn ihr nur das habt, dann wird das wohl eure Definition gewesen sein.

Gruß MSS

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03.12.2005, 12:56

Lamalambra

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Ich habe aber keine Idee, wie ich diese "Definition" mit dem Beweis in Verbindung bringen soll... Das hat meiner Meinung nach überhaupt keinen Zusammenhang verwirrt

verwirrt

03.12.2005, 14:14

Mathespezialschüler

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Warum siehst du da keinen Zusammenhang? Wenn du etwas über den Limes superior beweisen sollst, ist doch klar, dass du die Definition oder eine äquivalente Beschreibung benutzen musst. Wie sollte es sonst gehen!?
Schreib dir die Definition mal explizit für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n+y_n \end{eqnarray*}$ auf. Nenne $\begin{eqnarray*} x:=\limsup x_n,y:=\limsup y_n \end{eqnarray*}$ . Gebe dir jetzt ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ vor und überlege, was du zeigen musst, um zu beweisen, dass die behauptete Ungleichung gilt.

Gruß MSS

03.12.2005, 15:25

ergänzung

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Wir hatte nur folgende Def. ohne Beweis:

Epsilon-Charakterisierung von limsup:
$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ sei beschränkte Folge, dann sind äquivalent:
i) $\begin{eqnarray*} x=limsupx_n \end{eqnarray*}$
ii) a) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \end{eqnarray*}$ unendlich viele n: $\begin{eqnarray*} x- \epsilon < x_n \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \end{eqnarray*}$ höchstens endlich viele $\begin{eqnarray*} x_n > x+ \epsilon \end{eqnarray*}$

03.12.2005, 15:29

Mathespezialschüler

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Genau das sollst du dir einmal für die drei verschiedenen Folgen aufschreiben und dir danach klar machen, was ich oben sagte. Nimm dabei für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

03.12.2005, 15:42

ergänzung

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Ich hoffe ich nehme jetzt keinem was vorweg, aber meinst du das so aufschreiben

$\begin{eqnarray*} x= limsupx_n \Leftrightarrow\ \forall \epsilon>0 \exists \end{eqnarray*}$ undendlich viele n: $\begin{eqnarray*} x - \frac{\epsilon}{2}< x_n \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \end{eqnarray*}$ höchsten endlich viele n: $\begin{eqnarray*} x_n>x+ \epsilon \end{eqnarray*}$

Analog für y_n

Und für x_n+y_n:
$\begin{eqnarray*} x+y= limsup(x_n+y_n) \Leftrightarrow\ \forall \epsilon>0 \exists \end{eqnarray*}$ undendlich viele n:
$\begin{eqnarray*} (x+y) - \frac{\epsilon}{2}< (x_n+y_n) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \end{eqnarray*}$ höchsten endlich viele n: $\begin{eqnarray*} (x_n+y_n)>(x+y)+ \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das anwende muss ich das beweisen können? Darf ich noch fragen, warum du $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ nimmst?

03.12.2005, 16:01

Mathespezialschüler

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Du bist ja gar nicht Lamalambra. geschockt

geschockt

Hast du die gleiche Aufgabe? In der zweiten Zeile muss $\begin{eqnarray*} x_n>x+\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ stehen.
Bei $\begin{eqnarray*} x_n+y_n \end{eqnarray*}$ solltest du dann bitte doch $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ nehmen.
Warum ich das so gemacht habe? Weil es ja um $\begin{eqnarray*} x_n+y_n \end{eqnarray*}$ geht und wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ berechnet, kommt genau wieder $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ raus.

Gruß MSS

03.12.2005, 16:25

ergänzung

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jepp, muss dieselbe Aufgabe machen. Tu mich auch schwer damit.

Aber schade, dass man Epsilon so wählen muss. Ich hatte mir nämlich schon überlegt, dass man das einfach so machen kann, obwohls jetzt wahrscheinlich falsch sein wird:
$\begin{eqnarray*} x< x_n+ \epsilon \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y< y_n+ \epsilon \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (x+y)< (x_n+y_n)+ \epsilon \end{eqnarray*}$
und dann einfach addieren $\begin{eqnarray*} x+y< (x_n+ \epsilon) + (y_n+ \epsilon) = x_n+ y_n + 2\epsilon \end{eqnarray*}$ und dann ist ja
$\begin{eqnarray*} limsupx_n+limsupy_n= x+y < x_n+ y_n + 2\epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} limsup(x_n+y_n) = x+y < (x_n + y_n)+ \epsilon \end{eqnarray*}$
dann folg doch $\begin{eqnarray*} limsup(x_n+y_n) = x+y < x_n + y_n+ \epsilon < x_n+ y_n + 2\epsilon = limsupx_n+limsupy_n \end{eqnarray*}$
Ist hier der Fehler, dass ich Epsilon so wählen muss wie dus gesagt hast?

03.12.2005, 18:41

ergänzung

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Ich hab das jezt mit $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ probiert zu beweisen, also erstmal nur Teil b) Wobei ich limsup(x_n+y_n)=z gesetzt habe.

$\begin{eqnarray*} x_n>x+ \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_n>y+ \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_n+y_n>z+ \epsilon \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x_n+y_n- \epsilon>z \end{eqnarray*}$

Kann man x_n und y_n dann nicht ersetzten? Das wäre hier nämlich meine Frage, ob mans darf. Dann wäre nämlich:
$\begin{eqnarray*} x + \frac{\epsilon}{2} + y \frac{\epsilon}{2} - \epsilon> z \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x+y>z \end{eqnarray*}$ und das galt ja zu zeigen.

03.12.2005, 19:10

Mathespezialschüler

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Du musst gut aufpassen, was du als Voraussetzung hast und was als Behauptung! Du setzt irgendwie das, was du zeigen willst, schon voraus.
Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ .
Voraussetzung: Für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} x_n>x-\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y_n>y-\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die Ungleichungen

$\begin{eqnarray*} x_n>x+\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y_n>y+\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

gelten hingegen nur für endlich viele!

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \limsup x_n+\limsup y_n\geq \limsup(x_n+y_n) \end{eqnarray*}$ zeigen willst, dann musst du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} x_n+y_n>(x+y)+\varepsilon \end{eqnarray*}$

höchstens für endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten kann, was aber direkt aus den Voraussetzungen folgt.

Gruß MSS

03.12.2005, 20:14

ergänzung

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hmm. irgendwie versteh ich das jetzt nicht. Kann ich das also wie ich es gemacht habe gar nicht machen?
Jetzt weiss ich ehrlichgesagt nicht, wo mein Fehler ist. verwirrt

verwirrt

03.12.2005, 20:34

Mathespezialschüler

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Nein, das darfst du nicht einsetzen, da es ja nicht

$\begin{eqnarray*} x_n=x+\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$

heißt!! Zumal du ja nichtmal dazugeschrieben hattest, für wie viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (endlich oder unendlich viele?) das gelten soll.

Gruß MSS

03.12.2005, 22:05

ergänzung

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Ok. Ich habe dann eine Frage, ob man nicht folgendermaßen machen könnte: $\begin{eqnarray*} x_n>x- \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n>y- \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} x_n+y_n> x+y-\epsilon \end{eqnarray*}$ Oder ist das derselbe Fehler wie eben?
Ich denk mir, dass wenn die x_n und y_n größer sind als die rechte Seite, dann bleibt die Relation doch erhalten, wenn ich die beiden Seiten addiere.

Sonst könnte mans vielleicht mit den Teilfolgen und der Konvergenz machen. Wäre das ein möglicher Weg?

Sons hab ich leider keine Idee dazu.

03.12.2005, 22:08

Mathespezialschüler

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Ja, das stimmt. Aber das zeigt deine Behauptung nicht! Außerdem ist das für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen falsch. In Arthurs Beispiel oben ist es z.B. für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ falsch. Das liegt wieder daran, dass du nicht hinzugesagt hast, für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ das gilt!!

Gruß MSS

03.12.2005, 22:15

ergänzung

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, für alle n ab einem bestimmten Index. Den ich aber nicht kenne.

Hättest du vielleicht einen kleinen Tipp für mich? Ich komm eifach nicht weiter unglücklich

unglücklich

03.12.2005, 22:42

ergänzung

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Zitat:

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \limsup x_n+\limsup y_n\geq \limsup(x_n+y_n) \end{eqnarray*}$ zeigen willst, dann musst du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} x_n+y_n>(x+y)+\varepsilon \end{eqnarray*}$

höchstens für endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten kann.

Aber das ist doch nach Def. so, wie du schon gesagt hast. Was soll ich denn dann noch zeigen?

03.12.2005, 23:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ergänzung
Naja, für alle n ab einem bestimmten Index. Den ich aber nicht kenne.

Nein, die beiden einzelnen Ungleichungen gelten nur für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , da ist ein wesentlicher Unterschied zu "fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ "!!!
Richtig, ich habe es ja oben auch hingeschrieben, dass das trivial ist.

Gruß MSS

04.12.2005, 22:37

Gast123

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe gerade ein paar Verständnisprobleme, die Gleichung, die Erklärung benutzt hat, sind doch für höchstens endlich viele n, wieso kann man das denn nun nicht so machen, ich hatte das nämlich genauso, wäre nett, wenn du mir das noch mal erklären könntest, verstehe es nämlich nicht!

04.12.2005, 23:08

Mathespezialschüler

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Ich weiß nicht genau, was du meinst. Kannst du das nochmal zitieren?

Gruß MSS

04.12.2005, 23:14

Gast123

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Ne hat sich schon erledigt, habe mein Problem schon gelöst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber könntest du mir weiterhelfen, weil zu dieser Aufgabe gehört noch eine weitere und zwar soll man Gegenbeispiele dafür bringen, dass die anderen beiden Relationen = und > nicht gelten...
Kannst du mir da einen Tipp geben?

04.12.2005, 23:20

Sheli

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ein Gegenbeispiel für limsup(x_n+y_n)>limsupx_n + limsupy_n steht ganz am Anfang, ich glaub das kann man so übernehmen.

04.12.2005, 23:21

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat Arthur schon gegeben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} x_n=(-1)^n, y_n=(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Ein Beispiel für die Gültigkeit des $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ dürftest du selbst finden.

Gruß MSS

04.12.2005, 23:58

Gast123

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei Gleichheit, ginge es, wenn ich zum Beispiel für x eine Folge finde, die gegen 0 geht und für y dann irgendwas anderes? Das müßte doch gehen oder seh ich das falsch?

05.12.2005, 00:18

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Z.B.. Allgemeiner kannst du auch einfach zwei Folgen nehmen, die das gleiche Vorzeichen haben.

Gruß MSS

05.12.2005, 08:52

Gast123

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Ok, es ist früh und ich steht wahrscheinlich gerad voll auf dem Schlauch, aber das Beispiel von Arthur das hat doch das selbe Vorzeichen oder ist das jetzt damit gar nicht gemeint?

05.12.2005, 12:19

Sheli

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Also ich hab das so verstanden:
$\begin{eqnarray*} x_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n=(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$
dann ist ja $\begin{eqnarray*} limsupx_n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} limsupy_n=1 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} limsup(x_n+y_n)= limsup((-1)^n+(-1)^{n+1})=0< 2 = limsupx_n+limsupy_n \end{eqnarray*}$ , weil
$\begin{eqnarray*} (-1)^n+(-1)^{n+1}=0 \end{eqnarray*}$ ist.

05.12.2005, 12:25

Sheli

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Aber bei Gleichheit hab ich das ehrlichgesagt noch nicht so recht verstanden.
Angenommen, ich nehm jetzt eine Nullfolge und eine weitere mit dem Grenzwert 1. Dann steht doch 1=1. Das ist doch aber kein Gegenbeispiel für =. Damit hat man doch nur gezeigt, dass auch Gleichheit vorliegen kann.
Aber wir sollen uns ja eine der drei Relationen aussuchen, und die anderen durch Gegenbeispiel widerlegen.

05.12.2005, 19:07

Mathespezialschüler

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Das Beispiel von Arthur ist ein Gegenbeispiel für $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ !!! Deines ist dann ein Gegenbeispiel für $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.12.2005, 20:14

Sheli

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber beim Beispiel von Arthur kommt doch 0<2 raus, ich seh da ein Gegenbeispiel für >. Also wenn man behaupten würde, dass limsup(x_n+y_n)> limsupx_n + limsupy_n gilt, dann kann man das doch mit diesem Gegenbeispiel widerlegen.
Es wäre wiklich nett von dir, wenn du mir das nochmal erklören könntest, ich verstehst einfach nicht ... unglücklich

unglücklich

unglücklich

05.12.2005, 20:19

Mathespezialschüler

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Also, jetzt nochmal besser: Arthurs Beispiel ist sowohl ein Beispiel dafür, dass $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ nicht gilt als auch ein Beispiel dafür, dass $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ nicht immer richtig ist.

Gruß MSS

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