Laplace Paradoxon Referat

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02.12.2005, 22:12	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace Paradoxon Referat Hallo an Alle Ich (LK,K12,Bayern) brauche in etwa 10 Tagen ein Referat über Laplace Paradoxa, etwa 15 min lang, ein Überblick mit einem Beispiel. Unser Lehrer meinte ich solle als Bespiel etwas nehmen, was ich nirgends finde, es geht um folgendes: Eine Strecke wird durch ein Lot geteilt und nun weiss ich schon nicht mehr weiter was er meinte, die Wahirscheinlichkeit zwei Punkte zu bekommen die gleich weit von den Endpunkten der Strecke entfernt sind oder irgend so etwas. Ich werde nochmal nachfragen aber er ist leider krank im Moment und er hat das Thema nur kurz angerissen und mir nen kurzen Überblick über das Beispiel das ich nehmen soll. Habt ihr eine Idee um was es bei dem Beispiel geht und ein paar Tipps für mein Referat? Wäre echt super mfg Vielen Dank Flo
02.12.2005, 22:25	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, deine Angaben sind schon sehr vage. Hat es vielleicht etwas damit zu tun? http://www.stochastik.jku.at/Kurs_Stocha...scheinlichkeit/ Gruß, therisen
02.12.2005, 22:28	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Angaben vom Lehrer waren leider in etwa genauso vage und jetzt ist er krank... Denke es könnte das hier sein 9.2.1 Beispiel: Ein Stab der Länge 1 wird zufällig in drei Teile zerlegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man aus diesen drei Teilen ein Dreieck bilden kann? aber hat das etwas mit Laplace Paradoxa zu tun.??
02.12.2005, 23:22	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naheliegend wäre wohl folgender Ansatz. Die Koordinaten der Bruchstellen seien x und y mit y>x und wir nehmen Gleichverteilung auf diesen Paaren an, d.h. jedes Paar (x,y) mit 0<x<y<1 ist gleich wahrscheinlich. Dann kann man die Menge aller möglichen Paare als Dreieck (0,0), (0,1), (1,1) veranschaulichen (=>Flächeninhalt 1/2). Damit sich ein Dreieck ergibt, muß gelten 1. x+(y-x)>1-y => y>1/2 2. x+(1-y)>y-x => y<x+1/2 3. (y-x)+(1-y)>x => x<1/2 Wenn man sich jetzt die entsprechenden Geraden ins Koordinatensystem einzeichnet, sieht man, daß die zulässigen Paare (x,y) genau ein Dreieck mit Flächeninhalt 1/8 bilden. D.h. für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich $kleines Dreieck durch großes Dreieck$ (1/8)/(1/2)=1/4 Kann mir jemand dazu eine Zeichnung erstellen? Wäre echt hilfreich, ich blick schon einigermaßen durch. mfg Danke Flo
03.12.2005, 11:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde nicht mit Punkten im Einheitsintervall, sondern mit Streckenlängen arbeiten. Ansonsten greife ich deinen Vorschlag auf. Es seien also $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ die Längen des unteren, mittleren und oberen Stückes, $\begin{eqnarray} x+y+z = 1 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ festliegt, sobald $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ bekannt sind, kann man $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left\| \, x,y \geq 0 , x+y \leq 1 \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ als Ergebnisraum nehmen. Geometrisch stellt $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ein Dreieck mit den Ecken $\begin{eqnarray} (0,0), (1,0), (0,1) \end{eqnarray}$ in der kartesischen $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ -Ebene dar. Aus den Bruchstücken des Stabes kann ein Dreieck gelegt werden, falls die Dreiecksungleichungen erfüllt sind. Wenn man jeweils $\begin{eqnarray} z = 1-x-y \end{eqnarray}$ substituiert, erhält man: $\begin{eqnarray} x+y \geq z \ \ \Leftrightarrow \ \ x+y \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+z \geq y \ \ \Leftrightarrow \ \ y \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y+z \geq x \ \ \Leftrightarrow \ \ x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Das Ereignis "Dreieck kann gelegt werden" wird daher durch $\begin{eqnarray} \Delta = \left\{ \, (x,y) \in \Omega \, \left\| \, x \leq \frac{1}{2} , y \leq \frac{1}{2} , x+y \geq \frac{1}{2} \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ beschrieben. Anschaulich ist das gerade das Teildreieck in der Mitte von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , das durch die drei Mittellinien begrenzt wird. Um jetzt Wahrscheinlichkeiten berechnen zu können, kommt es nun aber ganz darauf an, wie der Zufallsmechanismus beim Brechen des Stabes funktioniert. Und da kann man sich durchaus Unterschiedliches vorstellen. 1. Der einfachste Fall ist sicher derjenige, wo man annimmt, daß die Bruchstellen simultan erzeugt werden. Dann kann man auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ Gleichverteilung annehmen. Für ein Ereignis $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (eine meßbare Teilmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ) gilt daher: $\begin{eqnarray} P(A) \ = \ \int_{A}^{}~2~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray}$ Das ist ein bißchen hochtrabend geschrieben und bedeutet nichts anderes, als den Flächeninhalt von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durch den Flächeninhalt von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ zu dividieren (daher rührt auch der Faktor $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ als Kehrwert von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ). Man erhält, wie von dir beschrieben: $\begin{eqnarray} P(\Delta) = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ 2. Man könnte sich aber auch etwas anderes vorstellen, nämlich die Bruchstellen nacheinander zu erzeugen. Zuerst wird also das untere Stück der Länge $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abgebrochen, dann aus dem Reststück das mittlere Stück der Länge $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Für beide Brechungen wollen wir Gleichverteilung annehmen. Wenn $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ die zufälligen Längen des unteren bzw. mittleren Stückes bezeichnen ( $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ordnen also $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ die Koordinaten $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zu), dann gilt für $\begin{eqnarray} 0 \leq \xi \leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \leq \eta \leq 1-x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(X \leq \xi) = \xi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(Y \leq \eta \, \| \, X=x) = \frac{\eta}{1-x} \end{eqnarray}$ Ob die letzte Schreibweise korrekt ist, weiß ich nicht (Arthur Dent fragen). Ich verwende sie naiv in einem heuristischen Sinn: Wenn das untere Stück bereits die Länge $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ hat, dann besteht auf dem Reststück $\begin{eqnarray} 1-x \end{eqnarray}$ für die zweite Brechung Gleichverteilung (daher die Division durch $\begin{eqnarray} 1-x \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} P(Y \leq \eta \, \| \, X=x) \ = \ \int_0^{\eta}~\frac{1}{1-x}~\mathrm{d}y \ = \ \frac{\eta}{1-x} \end{eqnarray}$ . Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $\begin{eqnarray} A \subseteq \Omega \end{eqnarray}$ muß man jetzt noch über alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x,y) \in A \end{eqnarray}$ integrieren (im diskreten Fall müßte man ja diese Wahrscheinlichkeiten addieren). Daher gilt: $\begin{eqnarray} P(A) \ = \ \int_{A}^{}~\frac{1}{1-x}~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray}$ Und für die konkrete Aufgabe heißt das: $\begin{eqnarray} P(\Delta) \ = \ \int_{\Delta}^{}~\frac{1}{1-x}~\mathrm{d}(x,y) \ = \ \int_0^{\frac{1}{2}}~\int_{\frac{1}{2} - x}^{\frac{1}{2}}~\frac{1}{1-x}~\mathrm{d}y~\mathrm{d}x \ = \ \ln{2} - \frac{1}{2} \ \approx \ 19{,}3 \ \mbox{%} \end{eqnarray}$ Für einen 15minütigen Vortrag vor einer Gruppe, die von all diesem, insbesondere nichtdiskreten Wahrscheinlichkeitsräumen, noch nie gehört hat, ist das natürlich alles gar nicht verstehbar zu machen (vermutlich wirst auch du selbst Probleme haben, das nachzuvollziehen, falls du zum ersten Mal davon hörst). Der Fall aus 1. mag ja noch angehen, weil das relativ anschaulich ist, der Rest aber wohl nicht mehr. Was du aber gut darstellen könntest, wäre, klar zu machen, daß man genau beschreiben muß, wie der Zufallsmechanismus funktioniert, da die Wahrscheinlichkeiten hiervon abhängen. Und was ich dir empfehlen würde, wären Computersimulationen. Denn da lassen sich sowohl 1. als auch 2. relativ einfach programmieren. Bei 1. werden x,y unabhängig voneinander gewählt. In Pseudo-Sprache (random soll Zufallszahlen aus [0,1] liefern): x:=random; y:=random; if x+y>1 then x:=1-x; y:=1-y; z:=1-x-y; if (x+y>=z) and (x+z>=y) and (y+z>=x) then erfolg; Und bei 2. werden x,y nacheinander bestimmt: x:=random; y:=(1-x)*random; z:=1-x-y; if (x+y>=z) and (x+z>=y) and (y+z>=x) then erfolg; Den Versuch sehr oft durchführen (z.B. n=1000000) und die Anzahl der Erfolge durch n dividieren.
03.12.2005, 15:01	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Vielen lieben Dank für all deine Mühe, Strecken anstatt der Punkte zu berechnen ist wohl doch die bessere Lösung, mein Gedanke war, dass man bei Punkten nur 2 Koordinaten bekommt, was für das x,y System angenehm war um es sich vorzustellen. Aber anschaulicher wird es beim Dreieck natürlich mit 3 Strecken. Deine Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nachvollziehbar, zumindest die erste, das Problem der zweiten Rechung ist erkennbar, allerdings kann ich die Rechnung selbst leider noch nicht nachvollziehen, was bedeutet dass es auch schwierig werden sollte dies dem Rest des LKs in 10-15 min deutlich zu machen. Außerdem kommt mir gerade in den Sinn, ist die zweite Wahrscheinlichkeit überhaupt noch eine gleichwahrscheinliche Lösung? Weil mein Thema heisst ja LAPLACE Paradoxon. Wie auch immer, ich werde beide Möglichkeiten durchgehen, wohl aber die zweite eher nur im Ansatz oder der Computer Simulation, und meinen Lehrer noch fragen was er davon hält. Ich gehe davon aus 1/4 reicht als definitives Ergebnis. Danke nochmal. mfg Flo
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25.12.2005, 14:43	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmalige Hilfe zum Laplace Paradoxon bitte So also mein Referat wurde auf 10.1 verschoben, aber dafür hat sich herausgestellt dass ich das Problem etwas vereinfacht habe, so heisst es nämlich nicht, ein Stab der Länge 1 sondern ein Stab der Länge a wird auf gut Glück in 3 Teile zerlegt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dass man aus diesen 3 Teilen ein Dreieck legen kann? Leider bin ich mir etwas unsicher wie ich jetzt daran arbeiten muss, vor allem wie es dann für die Klasse anschaulich wird? Weil die Möglichkeit mit dem KoordinationSystem und den 1ern fällt natürlich weg... HILFE! Wär echt super wenn mir da jemand nochmals etwas behilflich sein könnte, brauch unbedingt noch ne gute Note danke
28.12.2005, 16:19	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner?
28.12.2005, 16:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Länge des Stabes ist doch für die Lösung der Aufgabe völlig irrelevant. Die Festlegung auf die Stablänge 1 macht nur die Rechnung etwas übersichtlicher, ohne auch nur das geringste am Ergebnis zu ändern. Vielleicht kannst du dir das am besten so vorstellen: Der Stab habe die Länge $\begin{eqnarray} a = 249 \ \text{cm} \end{eqnarray}$ Jetzt führen wir eine neue Längeneinheit ein, den sogenannten DubaiFlo $\begin{eqnarray} \text{df} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 1 \ \text{df} = 249 \ \text{cm} \end{eqnarray}$ Und schon hast du einen Stab der Länge 1, worauf deine Festlegungen passen.
30.12.2005, 16:25	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
OK danke. So noch eins: wo finde ich denn im Formel Editor von Microsoft R, also Menge der Rationalen Zahlen? danke
30.12.2005, 16:34	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist die menge der reellen Zahlen. Wo die in dem Formeleditor steht, weiß ich leider nicht... mfG 20
30.12.2005, 17:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ DubaiFlo Installiere die Schriftarten im Anhang auf deinem Rechner.
30.12.2005, 23:07	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
mhm danke aber wie kann ich die installieren? muss ich die irgendwo einfügen? Weil ich kann die Dateien nicht öffnen.
30.12.2005, 23:26	bil_	Auf diesen Beitrag antworten »
hi... o.b.d.A du benutzt windows xp und hast ein entpackprogramm machst du folgendes: du gehst auf start->einstellungen->systemsteuerung->schriftarten die vier dateien,die in der zip-datei enthalten sind kannst du einfach in den ordner schriftarten rein kopieren. das hat bei mir gereicht... gibt eventuell auch eine elegantere methode gruss bil
02.01.2006, 17:45	DubaiFlo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Danke hat geklappt. Noch eine Frage, bei der zweiten Berechungsmöglichkeit (nacheinander brechen) haben wir ja keine Laplace-Verteilung mehr, die Stücke sind ja nicht mehr gleichwahrscheinlich oder?
02.01.2006, 19:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst vermutlich "keine stetige Gleichverteilung mehr" - der Begriff Laplace-Verteilung ist ausschließlich für endliche Wahrscheinlichkeitsräume und diskrete Verteilungen reserviert - hier handelt es sich um stetige Verteilungen! Zurück zum Fall des Nacheinander-Brechens: Richtig, es ist keine Gleichverteilung mehr. Wie man die Sache dann berechnen kann, steht in Leopolds Beitrag oben.

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