Beweis zu linear abhängigen Tupeln

04.12.2005, 00:28

Sly

Beweis zu linear abhängigen Tupeln

Guten Tag!
Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiterkomme und die Zusammenhänge nicht ganz verstehe.
Die Aufgabe lautet wiefolgt:

Sei V ein K-Vektorraum und seien v1, ... , vn gegeben, sodass das Tupel (v1, ... , vn) linear abhängig ist. Seien a1, ... , an in K und sei $\begin{eqnarray*} v := \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$ .
Beweisen sie:
Das Tupel (v1 - v, ... , vn - v) ist genau dann linear abhängig, wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} a_i = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz:
Es gibt also eine nicht-triviale Nullkombination:
Sei $\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot (v_i - v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow v \cdot \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$
Und da $\begin{eqnarray*} v := \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$ , muss $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} a_i = 1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Ist das so in Ordnung? Ich bin mir da so unsicher gerade...Bitte helft mir
Danke!

04.12.2005, 00:50

JochenX

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wer sagt dir, dass die ai aus er linearkombination gerade die ai von oben sind?

so kannst du nur eine richtung beweisen

04.12.2005, 10:52

Sly

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Hmm, das is ein guter Einwand verwirrt

Egal, ich versuch mal die eine Richtung dann nochmal und dann seh ich weiter.

" <= ":

Es ist also $\begin{eqnarray*} 1 = \sum_{i=1}^{n} a_i \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} v = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v \cdot \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot (v_i - v) \end{eqnarray*}$
Und da aus Es ist also $\begin{eqnarray*} 1 = \sum_{i=1}^{n} a_i \end{eqnarray*}$ folgt, dass die Nullkombination nicht trivial ist, ist das Tupel (v1, ... , vn) linear abhängig.

Und nun ist dann halt die Gegenrichtung zu zeigen...
Vielleicht ein Widerspruchsbeweis?

Ich versuch mal, ob ich damit hier vorankomme und poste dann vielleicht später...
Aber ein kleiner Tipp wäre nicht schlecht! Wink

04.12.2005, 12:38

JochenX

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zur gegenrichtung: bin mir grad nicht sicher, ob man damit auch wirklich alles abdeckt (hab auch grad kein papier/stift zur hand, du musst es dann genauer machen Augenzwinkern

)

setze an, dass es eine allgemeine linkomb der 0 gibt (eben mit bi, statt ai wie oben) und forme das ähnlich wie oben man um

04.12.2005, 14:00

Sly

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OK...

" => ":

Sei also (v1 - v, ... , vn - v) linear abhängig, es gibt also eine nicht triviale Nullkombination
$\begin{eqnarray*} 0 = \sum_{i=1}^{n} b_i \cdot (v_i - v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow v \cdot \sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} b_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$

Jaaaa, nur wie komme ich jetzt weiter...wie du oben bemerkt hast, kann ja v nicht durch die b´s definiert sein...
was bleibt denn jetzt noch? ich weiß nicht, wie ich das umformen kann, sodass es mir irgendwie hilft...

04.12.2005, 14:12

JochenX

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setze v=linkomb mit den a_k (k nur ein anderer indexname)
dann kannst du schon mal weiterumformen und nach den v_i zusammenfassen

leider, so sehe ich gerade, sind die v_i ja linear abhängig, man kann also nicht damit argumentieren, dass die koeffizienten dann =0 sein müssen (dann würde eh was falsches rauskommen)

naja, fass erst mal zusammen, vielleicht hat jemand grad einen weiteren tipp parat verwirrt

04.12.2005, 14:28

Sly

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Also ich hab grad mit Beispielen rumhantiert (mach ich oft zum verständnis) und sehe gerade, dass das irgendwie nicht äquivalent ist!
Stimmt was mit diesem Beispiel nicht oder ist die Behauptung wirklich falsch?

Obermenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray*}$ ist linear abhängig, klar.
Sei v meinetwegen $\begin{eqnarray*} v = v_1 + v_2 + v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann ist das Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1 - v, v_2 - v, v_3 - v) \end{eqnarray*}$ aber immernoch linear abhängig, die Summe hingegen $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{3} a_i = 1+1+1 = 3 \end{eqnarray*}$

Also irgendwas stimmt da nicht, oder?

04.12.2005, 17:55

Mathespezialschüler

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Siehe hier. In der Aufgabe soll als Voraussetzung also wahrscheinlich stehen, dass $\begin{eqnarray*} (v_1,\ldots,v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sei.

Gruß MSS

04.12.2005, 19:24

Sly

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Aha, danke...
Aber aus deinem Beweis für die Gegenrichtung werde ich noch nicht schlau...
Du schreibst:

Zitat:

Also, die andere Richtung bedeutet: Wenn (v1, ... , vn) linear abhängig ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} a_i = 1 \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen also an, dass die Menge linear unabhängig ist. Dann gibt es Zahlen k1, ... , kn in K , sodass
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} k_i \cdot (v_i - v) = 0 \end{eqnarray*}$
obwohl mind. eines der k´s ungleich 0 ist!

also 1. warum nimmst du an, dass das Tupel linear unabhängig ist? Wenn du das zum widerspruch führst, hast du doch nicht die Gegenrichtung gezeigt sondern die erste?
und 2. wenn eines der k´s ungleich 0 bei der Nullkombination ist, kann das Tupel doch nicht mehr linear unabhängig sein?

Aber schonmal danke für die bisherige Hilfe...

04.12.2005, 19:46

Mathespezialschüler

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Entschuldigung. Das war ein Schreibfehler. Es sollte natürlich "linear abhängig" heißen. Damit dürfte sich auch deine zweite Frage erübrigen. Augenzwinkern

Gruß MSS

04.12.2005, 21:13

Sly

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ah, jetzt ist mir vieles klarer!
Danke vielmals!

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