Schnittkreis zweier Kugeln

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04.12.2005, 12:19

azur

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Schnittkreis zweier Kugeln

Hallo,
wie berechne ich den Schnittkreis zweier Kugeln?

cu azur

04.12.2005, 17:49

riwe

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RE: Schnittkreis zweier Kugeln
mit naheliegender notation:
zunächst überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \mid \vec{M_1M_2} \mid <r_1+r_2 \end{eqnarray*}$
sonst hat sich das problem durch nichtexistenz erledigt.
und nun sei M der mittelpunkt des schnittkreises mit radius r
dann gilt
$\begin{eqnarray*} \vec{OM} =\vec{OM_1} +\vec{x} \text { mit } \vec{x} =\lambda \vec{M_2M_1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text {und } \mid \vec{x} \mid=\frac{r_1^{2}-r_2^{2}+d^{2}}{2d} \text{ mit }d=\mid\vec{M_2M_1} \mid \end{eqnarray*}$
der radius des schnittkreises beträgt
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{r_1^{2}-\mid \vec{x} \mid^{2}} \end{eqnarray*}$
werner

04.12.2005, 18:28

azur

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RE: Schnittkreis zweier Kugeln
danke, dass der Mittelpunkt des Kreises auf der Geraden zwischen den beiden Mittelpunkten liegen muss, ist mir klar, wie kommt man jedoch auf diese Gleichung??

Zitat:

Original von wernerrin

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{x} \mid=\frac{r_1^{2}-r_2^{2}+d^{2}}{2d} \text{ mit }d=\mid\vec{M_2M_1} \mid \end{eqnarray*}$

04.12.2005, 18:35

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RE: Schnittkreis zweier Kugeln

Zitat:

Original von wernerrin
zunächst überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \mid \vec{M_1M_2} \mid <r_1+r_2 \end{eqnarray*}$

Und da wir gerade dabei sind, auch gleich noch

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{M_1M_2}| \geq |r_1-r_2| \end{eqnarray*}$

04.12.2005, 19:08

azur

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stimmt. die können ja auch ineinander liegen...

04.12.2005, 19:18

azur

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herrlich hab es raus.

man bekommt ein Dreick, das aus den beiden Radien und der Strecke zwischen den beiden Mittelpunkten gebildet wird. Dann komm man noch mit der Gerade durch M des Kreises zwei rechtwinklige Dreiecke erhalten. mit pythagoras kann man nach h umformen und dann gleichsetzen.

$\begin{eqnarray*} r_1^2-r^2_2=q^2-p^2 \end{eqnarray*}$ , wobei p und q die Längen der Abschnitte sind. p=d-q und dann kann man das dahin umformen.

thx a lot

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