komplexe konvergente Reihen

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04.12.2005, 21:07	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe konvergente Reihen Hallo, Noch eine kleine Beweisaufgabe, die ich für den Schluss aufgehoben habe, weil ich mich damit schwer tu. Ich muss beweisen, dass wenn die komplexen Reihen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~z_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~w_k \end{eqnarray}$ konvergieren, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~z_k+w_k \end{eqnarray}$ . Und sagen, ich welcher Relation die entsprechenden Grenzwerte stehen. Über jeden kleinen Tipp würd ich mich freuen.
04.12.2005, 22:47	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
eigene ideen? boardsuche verwendet? wenn sie beide konvergieren, kannst du sie einfach gliedweise zusammenfassen, bzw. auseinanderziehen
04.12.2005, 23:09	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, keine Idee. Wenn du das jetzt sagst, dass man das Gliedweise auseinanderziehen und wieder zusammenfassen kann, kann ich das natürlich nachvollziehen, aber leider bring mich das nicht weiter, wie ichs zeigen soll. Könnte man das irgendwie mit den Folgen der Partialsummen machen? Das sind dann ja Folgen an sich und wir haben bereits gezeigt, dass wenn zwei Folgen konvergieren, die Summe der Folge ebenfalls konvergiert.
04.12.2005, 23:12	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
na meine güte, jede reihe ist doch selbst eine folge am einfachsten rekursiv definieren: s_k=s_(k-1)+a_k, wobei a_k die folge ist, über der s_k aufsummierte reihe ist
04.12.2005, 23:18	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
aha, und wie kommst du jetzt darauf? Also s_k ist jetzt die Folge der Partialsummen? Na gut, wenn ich das jetzt aber so nehme, dann bin ich ja eigentlich schon fertig, oder? Weil ja s_k eine Folge ist und konvergiert, nach Voraussetzung. Und dann konvergiert die Summe ebenfalls. Verstehe nur nicht, warum es dafür so wahninn viele Punkte gibt....
04.12.2005, 23:36	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
das weiß ich auch nicht vielleiht sollte da nochmal jemand anderes drüberschauen, bevor ich was dummes gesagt habe
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04.12.2005, 23:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann nur zustimmen! Das ist ziemlich trivial, wenn Entsprechendes über (komplexe) Folgen in der Tat schon bekannt ist. Gruß MSS
05.12.2005, 00:00	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
huh, jetzt weiss ich wofür die ganzen Punkte sind. Ich hab das verwechselt mit dem Beweis von $\begin{eqnarray} x_n -> x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_n -> y \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} x_ny_n -> xy \end{eqnarray}$ Dann muss ich das wohl doch beweisen. Aber wie mach ich das? Bin ich da auf dem richtigen Weg, wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray} x_n -> x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y_n -> y \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} x_n+y_n -> x+y \end{eqnarray}$ und zwar mit der Dreiecksungleichung? Und dann sage, dass Reihen spezielle Folgen sind und daher konvergiert die Summe der konvergenten Reihen?
05.12.2005, 00:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, das sieht schon sehr gut aus. Gruß MSS
05.12.2005, 00:21	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hab das jetzt glaub ich bewiesen: $\begin{eqnarray} x_n -> x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_n -> y \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} \|(x_n+y_n)-(x+y)\| = \|(x_n-x)+(y_n-y)\| \leq \|x_n-x\|+\|y_n-y\|< \epsilon \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} x_n -> x \end{eqnarray}$ Also ist die Summe konvergenter Folgen konvergent gegen die Summe der Grenzwerte. Reicht das jetzt so aus, wenn ichs so machen, oder muss ich das jetzt speziell für die Folge der Partialsummen nachweisen?
05.12.2005, 00:25	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, ja was wichtiges vergessen. Ich muss natürlich angeben, dass wenn x_n -> x, dann gilt $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 \exists n_0 \in N: n_0 \leq n: \|x_n-x\|< \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray}$ . Analog für y_n.
05.12.2005, 00:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, das mit dem $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ und dem $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ ist wichtig. Für $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ ist es dann natürlich ein anderes $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , das wir jetzt mal $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ nennen. Dann musst du für $\begin{eqnarray} x_n+y_n \end{eqnarray}$ das Maximum der beiden nehmen. Dann ist es richtig. Gruß MSS edit: Mein 8000.
05.12.2005, 00:41	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Dann ist ja der erste Teil fertig Aber ich muss ja noch sagen, in welcher Relation die entsprechenden Grenzwerte stehen. Ist es dann das mit dem Maximum vom $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_2 \end{eqnarray}$ . Also wenn $\begin{eqnarray} n_1<n_2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} x<y<x+y \end{eqnarray}$ und umgekehrt. Oder bin ich da ganz falsch?
05.12.2005, 00:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, diese beiden Sachen haben nun absolut gar nichts mit einander zu tun. Ich meinte, dass du bei $\begin{eqnarray} x_n+y_n \end{eqnarray}$ als "dortiges" $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ das Maximum von $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ nehmen sollst. Gruß MSS
05.12.2005, 00:57	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade, ich hab schon verstanden, was du meintest, nur dachte ich man könnte das ja gleich auf den zweiten Teil beziehen. Ich weiss irgendwie einfach nicht, was ich zu der Relation von den Grenzwerten aussagen soll.. Mal schaun....
05.12.2005, 01:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch jetzt schon bewiesen, dass $\begin{eqnarray} x_n+y_n\to x+y \end{eqnarray}$ geht. Damit hast du doch die "Relation" der Grenzwerte. Gruß MSS
05.12.2005, 12:06	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das lim(x_n) < lim(x_n+y_n). Das meinen die doch mit Relation, oder? Vielleicht versteh ich einfach die Fragestellung falsch...
05.12.2005, 19:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nur sagen, dass $\begin{eqnarray} \lim (x_n+y_n)=\lim x_n+\lim y_n=x+y \end{eqnarray}$ gilt und das meinen die mMn auch. Gruß MSS

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