Potenzreihen

04.12.2005, 21:15

Poldi

Potenzreihen

Hallo Ihr Lieben,

Ich soll für folgende Potenzreihen den Entwicklungspunkt und die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bestimmen. Außerdem auch noch den Konvergenzradius und die Konvergenzmenge.

(1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^ \infty ~ \frac{x^n}{(n+3)!(n+1)!n!} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^ \infty ~ (113x^2)^n \end{eqnarray*}$

Okay, eigentlich muss ich die Reihen nur in die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^ \infty ~ a_n(x-a)^n \end{eqnarray*}$ bringen und dann a (Entwicklungspunkt) und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ (Koeffizienten) ablesen. Dann sehe ich mir an, wohin $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ \mid a_n \mid} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ geht und dann kann ich mit Hadamard den Konvergenzradius bestimmen.
Hier meine Probleme dabei:

Bei (1) hab ich

$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^ \infty ~ \frac{1}{(n+3)!(n+1)!n!} \cdot(x-0)^n \end{eqnarray*}$ , also ist a = 0 und $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{(n+3)!(n+1)!n!} \end{eqnarray*}$

Dann ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ \mid a_n \mid} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ \mid \frac{1}{(n+3)!(n+1)!n!} \mid} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt[n]{(n+3)!(n+1)!n!}} \end{eqnarray*}$
Und das ist jetzt wieder so ein Ding, dessen Grenzwert ich nicht hin bekomme. Mit Fakultäten weiß ich in der Beziehung leider nichts anzufangen. verwirrt

Bei (2) weiß ich nicht, was ich mit dem Quadrat an dem x anfangen soll.
$\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^ \infty ~ 113^n(x^2-0)^n \end{eqnarray*}$ hat nunmal nicht ganz die richtge Form und schon bin ich wieder aufgeschmissen.

Wäre schön, wenn Ihr mir mal wieder einen Anschubser gebt!

Gruß
Poldi

04.12.2005, 21:28

Marcyman

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zu (1), da gibt es noch ein anderes Verfahren um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen, nämlich R=lim |a_n|/|a_{n+1}|, falls er denn existiert.
(2) wenn die Klammern richtig sind kannste aus (113x^2)^n 113^n*x^n*x^n, also zwei Potenzreihen und da gibts auch nen Satz für das Multiplzieren von Potenzreihen. Wenn eine Potenzreihe den Konvergenzradius R, die andere den KonvergenzRadius P, dann gilt für |x|<min{R,P}, dass du die nach Cauchyformel multiplizieren kannst. Vielleicht gibts auch ne andere Möglichkeit

04.12.2005, 21:52

Poldi

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Zitat:

Original von Marcyman
zu (1), da gibt es noch ein anderes Verfahren um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen, nämlich R=lim |a_n|/|a_{n+1}|, falls er denn existiert.

Jo, DANKE! Das Verfahren hatte ich glatt übersehen und damit ist's ja ganz einfach: $\begin{eqnarray*} r = \infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Marcyman
da gibts auch nen Satz für das Multiplzieren von Potenzreihen.

Bei uns gibt's den (noch??) nicht. Ich muss also leider noch 'nen anderen Weg finden.

04.12.2005, 23:17

Mathespezialschüler

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Bei (2) hat Marcyman ein wenig übertrieben. Das hat hier absolut nichts mit Multiplikation von Potenzreihen zu tun. Es geht ganz anders. Setze $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ . Dann hast du

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~113^ny^n \end{eqnarray*}$ .

Nun berechnest du den Konvergenzradius für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und dann kannst du auch den für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ berechnen. Übrigens brauchst du hier nicht diese Formel. Wann eine geometrische Reihe konvergiert, dürfte ja bekannt sein. Augenzwinkern

Gruß MSS

05.12.2005, 09:16

Poldi

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Jep! Danke!!!! Dann ist $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{\sqrt{113}} \end{eqnarray*}$ Prost

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