lineares Gleichungssystem

29.04.2008, 17:22

ThLu

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lineares Gleichungssystem

Hi,

habe folgende Aufgabe:

Für welche a und c hat das lineare Gleichungssystem Ax = b mit

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & c \\ a & a & 4 \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und b = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine eindeutige Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen?

Ich habe mal so umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & c \\ a & a & 4 \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann wollte ich das auflösen... stimmt das so? wenn ja wie löse ich so etwas auf?

Gruß Thomas

30.04.2008, 09:10

klarsoweit

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RE: lineares Gleichungssystem
Mit welchem Verfahren löst du denn sonst lineare GLS?

30.04.2008, 10:19

ThLu

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RE: lineares Gleichungssystem
mit dem gauß-verfahren

aber dann weiss ich nicht genau weiter wie ich das machen soll um zu eliminieren, ich schreibe einfach mal auf was ich gedacht habe

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & c \\ a & a & 4 \\ 0 & a & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 \\ 4 \\ c \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

I - II

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 0 & -a & c-4 \\ 0 & a & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 \\ -2 \\ c \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

II+III

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 0 & 0 & c-2 \\ 0 & a & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 \\ -2+c \\ c \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

dann habe ich umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 0 & c-2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 \\ c \\ -2+c \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann habe ich ja die Gleichungen:

I. ax1 + 0x2 + cx3 = 2
II. 0x1 + ax2 + 2x3 = c
III. 0x1 + 0x2 + (c-2)x3 = -2+c

dann habe ich aus der letzten Gleichung erhalten das x3 = 1 ist
aber das kommt dann irgendwie nicht mit ersten Gleichung hin.. Ich weiss leider echt nicht wie das funktionieren soll.

Gruß Thomas

30.04.2008, 10:32

klarsoweit

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RE: lineares Gleichungssystem

Zitat:

Original von ThLu
aber das kommt dann irgendwie nicht mit ersten Gleichung hin.

Wieso nicht? du kannst diese doch ohne weiteres nach x_1 auflösen. Welche Bedingungen mußt du an a stellen?

Zitat:

Original von ThLu
dann habe ich aus der letzten Gleichung erhalten das x3 = 1 ist

Das ist nur ein Teil der Wahrheit. Was machst du denn, wenn c=2 ist?

30.04.2008, 10:43

ThLu

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a muss ungleich 0 sein,

wenn c=2 ist würde da 0 = 0 rauskommen

30.04.2008, 10:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von ThLu
a muss ungleich 0 sein,

Ja, für eine eindeutige Lösung von x_1. Und was machst du bei a=0 ?

Zitat:

Original von ThLu
wenn c=2 ist würde da 0 = 0 rauskommen

Und was bedeutet das für x_3 ?

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30.04.2008, 10:54

ThLu

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x3 = 1 für alle c ungleich 2
und
x3 = 0 für alle c gleich 2
?

30.04.2008, 11:06

klarsoweit

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Die erste Aussage stimmt noch. Aber warum sollte bei c=2 $\begin{eqnarray*} x_3 = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ nicht auch eine Lösung sein? Und damit sind wir jetzt an dem Punkt angekommen, wo es sinnvoll wäre, wenn du alle vier Fälle mal sauber aufschreibst und zu jedem Fall die jeweilige Matrix genauestens anschaust. Insbesondere müßtest du zu jedem Fall Aussagen über Dimension des Lösungsraums etc. machen.

30.04.2008, 11:19

ThLu

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das versteh ich irgendwie leider nicht

30.04.2008, 11:24

klarsoweit

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Ich hatte jetzt erwartet, daß du weißt, wie man an einer Matrix ablesen kann, wann das zugehörige GLS eine eindeutige Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen hat.

30.04.2008, 11:33

ThLu

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bin mir nicht ganz sicher aber ich meine dass,
eindeutige Lösung hat ein GLS wenn eine variable = einer zahl ist
unendlich viele Lösungen wenn auf beiden Seiten das selbe steht
gar keine Lösung wenn sich die beiden Seiten widersprechen

30.04.2008, 11:55

klarsoweit

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Schlecht beschrieben. Es gilt:

Eindeutige Lösung, wenn rang(A) maximal ist.
Keine Lösung, wenn rang(A,b) > rang(A) ist.
Unendlich viele Lösungen, wenn vorstehendes nicht zutrifft.

(A ist die Matrix, b der Vektor auf der rechten Seite und (A,b) die um den Vektor b erweiterte Matrix.)

Habt ihr das denn nicht irgandwann mal in der Vorlesung besprochen?

30.04.2008, 12:14

ThLu

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leider nein. ich kann hier mit auch leider nichts anfangen...

aber ich werde mich mal genauer erkundigen, weil es bringt ja nichts wenn ich jetzt hier von meiner seite aus herumrate

trotzdem danke

30.04.2008, 12:46

klarsoweit

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Das heißt, du bekommst eine Aufgabe, ohne daß die Theorie zur Lösung linearer GLS behandelt bzw. von dir verstanden wurde? verwirrt

verwirrt

Aber auch ohne fundiertes Wissen darüber, kannst du die Matrix oder die Gleichungen für die vier Fälle mal hinschreiben.

30.04.2008, 14:06

ThLu

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hier hast du mal den Link meiner Vorlesungsunterlagen, falls es dich interessiert
http://www.math.uni-siegen.de/ring/lai-08.html

was meinst du genau für 4 fälle?

30.04.2008, 14:42

klarsoweit

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Heidinei. Diese natürlich:

I: a=0 und c=2
II: a=0 und c<>2
III: a<>0 und c=2
IV: a<>0 und c<>2

Wenn ich Zeit habe, schaue ich mir die Vorlesungsunterlagen morgen mal an.

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