induktion ungleichung

30.04.2008, 11:02

MrHanky

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induktion ungleichung

Schönen guten morgen allerseits,
eigentlich sollte die Aufgabe nicht so schwer sein, aber ich habe trotzdem noch Probleme damit:
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n} <= 1+(2^{n}-1)*a \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang: Für n = 1 ist das klar.
Induktionsschritt (n->n+1):
$\begin{eqnarray*} Zz: (1+a)^{n+1} <= 1+(2^{n+1}-1)*a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} also: (1+a)^{n+1}=(1+a)^{n}*(1+a)<=(1+(2^{n}-1)*a)*(1+a) \end{eqnarray*}$
Bis hier hin könnte das noch stimmen(?), aber jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll; wenn ich die rechte Seite ausrechne, kommt nur Unsinn raus. Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte!
Grüße, MrH

30.04.2008, 11:09

AD

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Du solltest mal noch anfügen, für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ diese Ungleichung gelten soll!

Für $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ist sie beispielsweise falsch!

Ich nehme mal stark an, es wird $\begin{eqnarray*} 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt...

30.04.2008, 11:12

MrHanky

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Sorry, ja. Also die Ungleichung gilt für alle a El. [0,1] und alle n El. N.

30.04.2008, 11:16

klarsoweit

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Ah ha. Dann solltest du den Term auf der rechten Seite deiner letzten Ungleichung mal ausmultiplizieren und ausnutzen, daß a² <= a gilt. smile

smile

30.04.2008, 11:39

MrHanky

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Wenn ich die rechte Seite weiter rechne, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 1+(2^{n}-1)*a+a+ (2^{n}-1)*a^{2} \end{eqnarray*}$
Hier komme ich aber immer noch nicht weiter, bzw. ich kann nicht erkennen, dass das >= die linke Seite ist. Und wieso ist $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ <=a?

30.04.2008, 11:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrHanky
Hier komme ich aber immer noch nicht weiter, bzw. ich kann nicht erkennen, dass das >= die linke Seite ist.

Darum geht es doch eigentlich nicht. Es geht darum, daß du zeigst, daß die behauptete Aussage für "n+1" gilt, wenn die Gültigkeit der Aussage für n vorausgesetzt wird.

Zitat:

Original von MrHanky
Und wieso ist $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ <=a?

Wie wir mühevollst rausgefunden haben, gilt 0 <= a <= 1. Den Beweis der Ungleichung a² <= a kann jeder Mittelstufenschüler.

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30.04.2008, 12:09

MrHanky

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Ok,tut mir leid, die Frage war echt blöd...Aber noch mal zu dem letzten Schritt: Muss ich denn überhaupt ausmultiplizieren (was kann ich danach folgern?)? Genügt dann nicht der Schritt vorher, da dort ja im Prinzip auf beiden Seiten die Voraussetzung mit demselben Faktor multiplizert wird (1+a)?

30.04.2008, 12:41

klarsoweit

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RE: induktion ungleichung
Verstehe nicht so ganz, was du meinst. Du mußt doch im Induktionsschritt die Gültigkeit dieser Aussage zeigen:

$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1} <= 1+(2^{n+1}-1) \cdot a \end{eqnarray*}$

Dabei darfst du verwenden, daß die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+a)^{n} <= 1+(2^{n}-1) \cdot a \end{eqnarray*}$ gilt.

EDIT: und ja, du mußt ausmultiplizieren.

30.04.2008, 12:52

MrHanky

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Ich meine folgendes: Wenn ich das erste mal ausmultipliziert habe, habe ich ja
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n}*(1+a)<=(1+(2^{n}-1)*a)*(1+a) \end{eqnarray*}$ . Und hier ist ja auf beiden Seiten der erste Faktor der aus der Voraussetzung. Dieser wird jeweils mit (1+a) multipliziert, und da die Voraussetzung ja gilt, wäre hier doch schon alles gezeigt,oder?

30.04.2008, 13:02

klarsoweit

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RE: induktion ungleichung
Auf der rechten Seite muß $\begin{eqnarray*} 1+(2^{n+1}-1) \cdot a \end{eqnarray*}$ stehen, und das sehe ich nicht.

30.04.2008, 13:23

WebFritzi

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RE: induktion ungleichung
Für a = 0 ist nichts zu zeigen. Den Fall kann man also ausschließen.

Zitat:

Original von MrHanky
$\begin{eqnarray*} (1+a)^{n+1}=(1+a)^{n}*(1+a)<=(1+(2^{n}-1)*a)*(1+a) \end{eqnarray*}$

Das ist doch schonmal ein Anfang. Für positive a kannst du wie folgt vorgehen:

$\begin{eqnarray*} (1+(2^{n}-1)*a)*(1+a) &=& 1+a + (2^n-1)a(a+1)\le 1+a+(2^n-1)a\cdot 2\\&=& 1 + a + (2^{n+1}-1)a - a = 1 + (2^{n+1}-1)a. \end{eqnarray*}$

Nun finde einen Weg für negative a.

30.04.2008, 13:24

MrHanky

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Hm, ich verstehe deinen ersten Schritt irgendwie nicht. Bei mir kommt beim Ausmultiplizieren $\begin{eqnarray*} 1+(2^{n-1})*a+a+(2^{n}-1)*a^{2} \end{eqnarray*}$ raus. Und hier komme ich nicht weiter; deine Version gefällt mir viel besser, kann ich aber nicht nachvollziehen...

30.04.2008, 13:33

AD

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Zitat:

Original von WebFritzi
Nun finde einen Weg für negative a.

Für negative $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichung nicht. Genauer gesagt: Für jedes negative $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ findet man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , für die die Ungleichung nicht gilt.

30.04.2008, 13:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von WebFritzi
Nun finde einen Weg für negative a.

Für negative $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichung nicht.

Jo, hab ich auch grad rausgefunden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2008, 13:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von MrHanky
Hm, ich verstehe deinen ersten Schritt irgendwie nicht. Bei mir kommt beim Ausmultiplizieren $\begin{eqnarray*} 1+(2^{n-1})*a+a+(2^{n}-1)*a^{2} \end{eqnarray*}$ raus.

Hmm... Ausmultiplizieren solltest du schon noch können.

Son Mist. Jetzt habe ich dir die Lösung gegeben, weil ich der irrigen Annahme anhing, die Ungleichung gelte auch für negative a. Ich hatte irgendwie a el. [-1,1] gelesen.

30.04.2008, 13:53

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi
weil ich der irrigen Annahme anhing

Aha! WebFritzi ist ein Anhänger von irrigen Annahmen. Ich wußte doch immer, daß da was nicht stimmt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2008, 13:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von WebFritzi
weil ich der irrigen Annahme anhing

Aha! WebFritzi ist ein Anhänger von irrigen Annahmen. Ich wußte doch immer, daß da was nicht stimmt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun, du scheinst ebenfalls ein Anhänger irriger Annahmen zu sein, denn wenn du richtig gelesen hättest, wärst du auf die Vergangenheitsform in meinem Satz gestoßen. So gesehen müsste es also heißen: "WebFritzi war ein Anhänger irriger Annahmen." Zunge

Zunge

Augenzwinkern

30.04.2008, 14:03

Leopold

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Dann war ich wohl der irrigen Annahme, daß du ein Anhänger irriger Annahmen bist, obwohl du ein solcher nur gewesen bist. Eine solche Läuterung kann ich natürlich nur begrüßen.

30.04.2008, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von MrHanky
Bei mir kommt beim Ausmultiplizieren $\begin{eqnarray*} 1+(2^{n-1})*a+a+(2^{n}-1)*a^{2} \end{eqnarray*}$ raus.

Das hattest du schon mal besser gerechnet:

Zitat:

Original von MrHanky
Wenn ich die rechte Seite weiter rechne, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 1+(2^{n}-1)*a+a+ (2^{n}-1)*a^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn du a² nach oben durch a abschätzt, geht es ganz leicht weiter. Wie oft muß man das denn eigentlich noch sagen?

01.05.2008, 14:07

MrHanky

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RE: induktion ungleichung
War die Aufgabe denn jetzt nicht von WebFritzi mit $\begin{eqnarray*} (1+(2^{n}-1)*a)*(1+a) &=& 1+a + (2^n-1)a(a+1)\le 1+a+(2^n-1)a\cdot 2\\&=& 1 + a + (2^{n+1}-1)a - a = 1 + (2^{n+1}-1)a. \end{eqnarray*}$ gelöst?
Mit dem Abschätzen, kann ich dann als Erklärung schreiben, das etwas mit a multipliziert größer ist, als wenn man es mit a^2 multipliziert (wg. a>=a^2), oder wie ist das gemeint?

01.05.2008, 14:12

WebFritzi

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Nein, hier spielt a² keine Rolle. Hier wird verwendet, dass a <=1 ist. Daraus folgt nämlich a + 1 <= 2 und daraus b + c(a + 1) <= b +2c für alle reellen b und alle nichtnegativen c.

01.05.2008, 14:25

klarsoweit

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RE: induktion ungleichung

Zitat:

Original von MrHanky
Mit dem Abschätzen, kann ich dann als Erklärung schreiben, das etwas mit a multipliziert größer ist, als wenn man es mit a^2 multipliziert (wg. a>=a^2), oder wie ist das gemeint?

So ist es. Wie wir sehen, gibt es hier zwei mögliche Abschätzungen:

Entweder: a*(a+1) < a*2
Oder: a*(a+1) = a² + a < a + a = 2a

Beides führt zum gleichen Ergebnis.

01.05.2008, 14:33

WebFritzi

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RE: induktion ungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von MrHanky
Mit dem Abschätzen, kann ich dann als Erklärung schreiben, das etwas mit a multipliziert größer ist, als wenn man es mit a^2 multipliziert (wg. a>=a^2), oder wie ist das gemeint?

So ist es.

Ich hatte nicht den Eindruck, dass MrHanky es verstanden hat.

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