Durchschnitt zweier Unterräume |
| 30.04.2008, 12:40 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Durchschnitt zweier Unterräume Wir müssen in Mathe den Durchschnitt zweier Unterräume A und B bestimmen, mit: und Das sind ja all die Vektoren (x,y,z) die diese beiden Gleichungen zu gleich erfüllen: I) x+y+z=0 II) 2x+3y+4z=0 Kann ich die beiden Gleichungen in eine "verschmelzen"? Gleich setzten habe ich schon versucht, das bringft nicht das richtige Ergebnis. Wie muss ich vorgehen, bzw. wie "verschmelz" ich diese beiden Bedingungen für die Zahlen von (x,y,z) des Durchschnitts von A und B. danke! |
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| 30.04.2008, 12:42 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Durchschnitt zweier Unterräume Gleichsetzen führt auf x+2y+3z=0. Was gefällt dir daran nicht? |
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| 30.04.2008, 12:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du mußt das lineare Gleichungssystem mit den zwei Gleichungen in den drei Unbekannten lösen. Geometrisch bestimmst du damit diejenige Ursprungsgerade, die sich als Schnitt der beiden Ursprungsebenen ergibt. Das geht wie in der Schule ... |
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| 30.04.2008, 12:45 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sind das nicht Räume, da R^3 gilt? Der Durchscnitt ist doch wieder ein Raum und keine Gerade, oder?! |
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| 30.04.2008, 12:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
"Raum" ist nur ein Wort ... |
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| 30.04.2008, 12:57 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
kann das sein, dass der Durchschnitt nur der Nullvektor enthält? Denn, wenn man mal überlegt welche Zahlen (x,y,z) auf einmal beide Gleichungen erfüllt, das ist doch nur (0,0,0). @ DualSpace: nach Gleichsetzen ist 0 = x+2y+3z ein Vektor der diesen "Durchschnitt" erfüllt ist zB (1,1,-1), aber der erfüllt zB A nicht, denn mit A gilt x+y+z=0 und dies eingesetzt ist: 1+1-1!=0 Das ist dann ja nicht richtig, da (1,1,-1) in unseren angeblichen Durchschnitt liegt, aber nicht in A. das stimmt ja nicht! |
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| 30.04.2008, 13:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und was ist mit dem Vektor (1, -2, 1) ? 
Wie Leopold schon sagte, hast du hier 2 Ebenen, deren Schnittgerade gesucht wird. |
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| 30.04.2008, 13:20 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mh, stimmt sogar! der (1,-2,1) funktioniert! Aber wie finde ich denn alle Vektorn, die dies erfüllen, bzw. wenn wir ne Gerade suchen dann ist das die und somit der einzigste Vektor der diese Gleichung erfüllt??? Geht das nur per Ausprobieren?!? Aber nochmal zum Verständnis: R^3 ist doch ein Raum und keine Ebene oder?! Verstehe irgendwie nicht,d ass am Ende eine Gerade rauskommen soll... |
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| 30.04.2008, 13:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Mengen A bzw. B sind Teilmengen des Raumes R³. Wie man leicht nachrechnet, erfüllen diese Mengen wiederum die Bedingungen, die an einen Raum gestellt werden. Sie sind also Unterräume. Wenn du in der Schule mal was von Hessescher Normalform gehört hast, dann siehst du, daß die Mengen A und B Ebenen im R³ sind.
Unfug. Jedes beliebige Vielfache von (1, -2, 1) ist eine Lösung. Wie findet man nun die Schnittgerade? Entweder erinnerst du dich an das, was man in der Schule gemacht hat, oder du kennst die Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme. |
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| 30.04.2008, 13:35 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a) Warum ist denn der Schnitt zweier Räume eine Gerade?? Das kann doch genau so gut ne Ebene sein zB oder? b) Wenn ich das lösen will (zB mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren) habe ich doch drei Unbekannte in 2 Gleichungen. Das könnte ich ja dann nicth eindeutig lösen, sondern nur in Abhängigkeit zu einer Variablen. Nur welche? und passt das dann so, wenn ich keinen eindeutigen Vektor finde? danke für die hilfe! |
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| 30.04.2008, 13:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Raum ist nur ein Wort. Ein nulldimensionaler Unterraum besteht nur aus dem Nullvektor. Ein eindimensionaler Unterraum ist anschaulich interpretiert eine Ursprungsgerade. Ein zweidimensionaler Unterraum ist anschaulich interpretiert eine Ursprungsebene. Ein dreidimensionaler Unterraum ist anschaulich interpretiert ein Ursprungsraum. Ein vierdimensionaler Unterraum ist anschaulich interpretiert ... Mit Unterraum meine ich hier natürlich immer Untervektorraum. a) Der Schnitt zweier Unterräume ist natürlich nicht immer eine Gerade. Das hat auch niemand behauptet. Aber hier ist der Schnitt der beiden Ebenen eben eine Gerade. b) Die Tatsache, daß du dieses Gleichungssystem nicht eindeutig lösen kann, sagt dir gerade, daß der Schnittraum nicht nulldimensional ist. |
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| 30.04.2008, 13:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Schnitt zweier Ebenen ist entweder eine Ebene (wenn diese identisch sind; ist hier aber nicht der Fall) oder leer (wenn die Ebenen parallel, aber nicht identisch sind; ist hier auch nicht der Fall) oder eben eine Gerade.
Das liefert alles das Gauß-Verfahren. 
Was soll da passen? Du sollst die Schnittmenge von A und B angeben. Diese besteht in diesem Fall nicht aus einem, sondern aus unendlich vielen Elementen. Da diese alle auf einer Geraden liegen, reicht es, wenn du eine geeignete Geradengleichung angibst. |
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| 30.04.2008, 13:53 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay, dann wende ich mal das Gauß Verfahren an, so wie ich es denke: I) x+y+z=0 II) 2x+3y+4z=0 2*I-II) 0+y+2z=0 => z=-0,5*y in I) x+y-0,5y=0 <=> x+0,5y=0 Das wäre dann die gesuchte Geradengleichung?! Danke...!!! |
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| 30.04.2008, 13:54 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wann gilt denn bitte ein Vektorraum...? Ein Objekt kann nicht gelten. |
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| 30.04.2008, 13:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In der Tat. Manchmal merkt man schon an der Sprache, daß jemand etwas sehr Prinzipielles eigentlich nicht verstanden hat. |
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| 30.04.2008, 14:41 | blub85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Durchschnitt zweier Unterräume wozu ist denn solch ein Forum da?? Damit diese Lücken geschlossen werden und Missverständnisse im verständnis der User eliminiert werden, oder?ß Zurück zu der Aufgabe: Stimmt meine Lösung so?? Könnt irh bitte was dazu schreiben?! Danke! 
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| 30.04.2008, 14:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wo ist denn da eine Geradengleichung? Ich sehe nur, daß du die ursprünglichen Gleichungen in ein System von 2 anderen Gleichungen umgeformt hast. Allerdings könntest du jetzt für y einen Parameter t nehmen und die beiden anderen Komponenten in Abhängigkeit von diesem Parameter bestimmen. |
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