Gruppe

30.04.2008, 15:56

burlilein

Gruppe

Hallo,

ich muss eine aufgabe lösen, bei der ich schauen muss, ob die verknüpfung eine gruppe oder halbgruppe ist.

$\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ Z x Z -> Z, a $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ b = a - b

nach der definition einer gruppe, muss ich ja jetzt gucken, ob sie assoziativ ist, und ein neutrales und inverses element besitzt.

Muss ich jetzt untersuchen, ob a-(b-c)=(a-b)-c ist, um zu beweisen, dass das assoziativgesetz gilt?

Das neutrale element müsste ja 0 sein oder? Denn a-0=a für alle a aus Z
bei der inversen, muss ich z.b. für a=3 die inverse finden? So, dass 3*Inverse= Neutrales Element. Also 3*0=0. Damit wäre das inverse element 0.

Grüße
burli

30.04.2008, 16:22

kiste

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Ja das musst du für das Assoziativgesetz überprüfen.
Das neutrale Element ist korrekt bestimmt.
Das inverse Element ist völlig falsch, deine Verknüpfung ist doch nicht die Multiplikation sondern die Subtraktion

30.04.2008, 16:31

burlilein

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Zitat:

Original von kiste
Das inverse Element ist völlig falsch, deine Verknüpfung ist doch nicht die Multiplikation sondern die Subtraktion

ach ja, klar Hammer

also wäre das inverse element 3, denn 3-3=0=neutrales element, oder?

kann ich jetzt beim beweis des assoziativgesetzes einfach irgendwelche zahlen aus Z einsetzen? z.b: 5-(3-2)=(5-3)-2 ->4=0 Und damit würde das assoziativgesetz nicht gelten und die verknüpfung wäre keine gruppe?

30.04.2008, 16:33

kiste

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genau, es ist keine Gruppe da das Assoziativgesetz nicht gilt Freude

30.04.2008, 16:44

burlilein

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supi! danke smile

und wie sieht es bei der verknüpfung a+b-a*b aus, wenn ich testen will, ob sie assoziativ ist? einfach (a+b+c)-a*b*c =a+b+(c-a*b*c) ? Kann ich beliebig klammern? Denn bei a+b+(c-a)*b*c ist es wieder nicht assoziativ...tue mich noch ein bischen schwer damit unglücklich

und wie finde ich bei dieser verknüpfung das neutrale und inverse element?

30.04.2008, 16:57

kiste

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Ich definiere $\begin{eqnarray*} a\otimes b = a + b - a\cdot b \end{eqnarray*}$ , um deine Verknüpfung besser zu unterscheiden.

Du musst also überprüfen ob gilt:
$\begin{eqnarray*} a\otimes (b\otimes c) = (a\otimes b)\otimes c \end{eqnarray*}$
Was liefert den einsetzen der Verknüpfung jetzt?

30.04.2008, 17:09

burlilein

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hmmmm

und was ist mit c?
daraus werde ich nicht so ganz schlau unglücklich

könntest du das vielleicht einmal einsetzen? Vielleicht kann ich das dann besser nachvollziehen.

30.04.2008, 17:14

kiste

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Ich setze die linke Seite ein und du die Rechte, ok? smile

$\begin{eqnarray*} a\otimes (b\otimes c) = a\otimes (b+c-b\cdot c) = a + (b + c - b\cdot c) + a\cdot (b+c-b\cdot c) = a + b + c - b\cdot c + a\cdot b + a\cdot c -a\cdot b\cdot c \end{eqnarray*}$

30.04.2008, 17:37

burlilein

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(a $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ b) $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ c = (a+b-a*b) $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ c=(a+b-a*b)+c+(a+b-a*b)*c = a+b-a*b+c+a*c+b*c-a*b*c

ist das so richtig????
aber eine frage hab ich noch:

wieso rechnest du a+(b+c-b*c) + a*(b+c-b*c)
und nicht a+(b+c-b*c) - a*(b+c-b*c) ?

30.04.2008, 18:02

Leopold

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kiste hat sich nur verschrieben. Es muß an der entsprechenden Stelle natürlich minus heißen.
Ein Tip: $\begin{eqnarray*} a+b-ab = 1 - (a-1)(b-1) \end{eqnarray*}$

Wenn du die zweite Darstellung verwendest, kannst du das Assoziativgesetz nachweisen, ohne auch nur einmal ausmultiplizieren zu müssen. Ferner kannst du leicht zeigen, daß die Elemente eines Körpers $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ohne Einselement unter dieser Verknüpfung eine Gruppe bilden.

30.04.2008, 18:28

burlilein

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supi danke euch beiden!!!

ich glaube jetzt habe ich es verstanden smile

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