Wahrscheinlichkeit einer Stichprobe / Maßbestimmung

06.12.2005, 13:57	LeereMenge	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit einer Stichprobe / Maßbestimmung Hi alle, ich habe folgendes Problem: Ich habe eine convexe iund kompakte menge im R3. Diese Menge wird von einer beliebeigen Ebene geschnitten. Nun müßte ich die wahrscheinlichkeit darstellen, mit der ein zufällig gezogenes element der menge oberhalb der ebene liegt. Das müßte ich doch mit dem Maß der beiden Mengen machen können. Nur habe ich keine Ahnung wie ich das Maß darstelle. wenn mir also jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.
06.12.2005, 17:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist, was du unter einer zufälligen Entnahme eines Punktes $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ aus einer Teilmenge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ verstehst. Normalerweise die gleichmäßige Verteilung auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , ausgedrückt durch $\begin{eqnarray} P(S\in B) := \frac{\lambda(B)}{\lambda(A)} \end{eqnarray}$ für Teilmengen $\begin{eqnarray} B\subset A \end{eqnarray}$ Dabei sei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionale Lebesgue-Maß. Das ganze klappt natürlich nur für Mengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit "echtem" Volumen, d.h. $\begin{eqnarray} \lambda(A)>0 \end{eqnarray}$ .
07.12.2005, 15:59	LeereMenge	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das ist genau, was ich suche. Jedoch weiß ich nicht wie ich das Lebesgue-Maß der beiden Mengen beschreiben kann. Mal angenommen, ich hätte eine Funktion, welche den oberen Rand der Menge beschreibt und eine Funktion, welche den unteren Rand der Menge beschreibt. Dann müßte ich doch das Maß der Gesamtmenge durch ein Doppelintegral beschreiben können, indem ich vom Integral der ersten Funktion das Integral der zweiten abziehe, oder?
07.12.2005, 16:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Du musst natürlich vorher noch das zweidimensionale Integrationsgebiet G bestimmen: $\begin{eqnarray} G = \left\{ (x,y) \bigm\| f(x,y) \geq g(x,y) \right\} \end{eqnarray}$ Dabei kennzeichne $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ die obere und $\begin{eqnarray} g(x,y) \end{eqnarray}$ die untere Funktion. Kann natürlich auch sein, dass du $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ anderweitig gegeben hast, geht aus deinem Beitrag nicht hervor.
07.12.2005, 17:24	LeereMenge	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal. Damit sollte dann der folgende Ausdruck das Lebesgue-Maß der Gesamtmenge beschreiben, oder täusche ich mich da? $\begin{eqnarray} \int_{xeG}^{ }\int_{yeG}^{ }(f(x,y)-g(x,y))dxdy \end{eqnarray}$
07.12.2005, 19:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz - $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist ja bereits zweidimensional! Also so muss es lauten: $\begin{eqnarray} \iint\limits_{(x,y)\in G}~ (f(x,y)-g(x,y)) ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y \end{eqnarray}$
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07.12.2005, 22:43	LeereMenge	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für die Hilfe.

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