berechnung von doppelintegralen

Neue Frage »

06.12.2005, 18:15	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
berechnung von doppelintegralen hallo, hab leider durch krankheit ein paar vorlesungen verpasst und verstehe daher nicht wie man folgendes doppelintegral löst. $\begin{eqnarray} \int\int_{D}^{}~x^2+y^2~dxdy<br /> \end{eqnarray}$ wobei D begrenzt wird durch y=x,x+y=2a und x=0 also normale doppelintegrale(wo die grenzen gegeben sind) kann ich lösen.Und mir ist auch klar das die funktionen das gebiet D einschliessen von dem ich ja die Fläche(oder volumen?)ausrechnen soll. Mir ist aber nicht klar wie ich hier die Grenzen fuer die einzelnen Integrale bekomm. Wär stark wenn mir einer zu dieser Aufgabe helfen könnte. Danke! PS:ich hab die suche,google und wikipedia genutzt aber nichts fuer meine aufgabe wichtiges gefunden bzw verstanden.
06.12.2005, 19:15	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Mache dir zuerst eine Skizze des Integrationsbereichs. Integriere z.B. über x. Die Grenzen des inneren Integrals hängen dann von x ab, sind also quasi Funktionen von x. Die Skizze hilft, sie zu finden.
06.12.2005, 21:19	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh nicht was ich finden soll.Das Gebiet D wird doch beschrieben durch x^2 +y^2 und stellt einen Kreis da der durch die Funktionen begrenzt wird oder nicht? Ich hab 2 Funktionen die von x abhängen y=x und y=2a-x.Aber was soll ich hier nun noch finden.Und die Skizze ist schwierig da die gerade y=2a-x ja von 2 variablen abhängt. bin jetzt total verwirrt....
06.12.2005, 21:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch gerade umgekehrt. Über $\begin{eqnarray} \left( x^2 + y^2 \right) \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \end{eqnarray}$ sollst du integrieren. Und die Geraden $\begin{eqnarray} y=x, x+y=2a, x=0 \end{eqnarray}$ beranden den Integrationsbereich $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ .
06.12.2005, 21:37	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Graph deiner Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ ist eine 3D-Landschaft. Die Geraden beranden, wie Leopold schon sagte, ein Gebiet in der xy-Ebene. Für die Skizze nimm halt für a=3. In welchem Intervall müssen die x-Werte liegen, damit du den Integrationsbereich nicht verlässt?
06.12.2005, 22:10	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
ACHSO!!!! zwischen 0 und 6(bzw 2a)?und y zwischen 0 und 3? stimmt das?
Anzeige

06.12.2005, 22:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichne die drei Geraden $\begin{eqnarray} y = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = 2a-x \end{eqnarray}$ (z.B. für $\begin{eqnarray} a=3 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ Wie sieht der Bereich $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ aus, den sie begrenzen?
06.12.2005, 22:23	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Die x-Werte müssen bei mir zwischen 0 und 3 (bzw. a) liegen. Für die y-Werte sieht die Sache etwas komplizierter aus. Denke dir ein festes x zwischen 0 und 3 (bzw. a), sagen wir 1. Welche y-Werte liegen für x=1 im Integrationsbereich? Wie lauten die Grenzen für ein beliebiges x aus [0;a]? (Die stehen in Abhängigkeit von x!)
06.12.2005, 22:25	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
oh hab mich vertan und das falsche dreick genommen. ist ein dreieck das fuer x zwischen 0 und 3 liegt und fuer y zwischen 0 und 6. stimmt das jetzt?
06.12.2005, 22:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht' so aus?
06.12.2005, 22:32	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genauso siehts aus. hab mich vorhin bei den fkten vertan,anstatt x=0 hatte ich y=0.
06.12.2005, 22:43	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
also liegt x jetzt ja zwischen 0 und a. zitat:Für die y-Werte sieht die Sache etwas komplizierter aus. Denke dir ein festes x zwischen 0 und 3 (bzw. a), sagen wir 1. Welche y-Werte liegen für x=1 im Integrationsbereich? Wie lauten die Grenzen für ein beliebiges x aus [0;a]? (Die stehen in Abhängigkeit von x!) liegt y nicht zwischen 0 und 2a so wie in leopolds skizze?das verwirrt mich jetzt noch bisschen...
06.12.2005, 22:51	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sag trotzdem schonmal danke euch 2 das ihr mir geholfen habt. VIELEN DANK!
06.12.2005, 22:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Markiere dir ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ fest auf der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse und fahre senkrecht hoch durch den Bereich $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ hindurch. Die Strecke, die dabei ausgeschnitten wird, geht nicht alle $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte durch (außer wenn $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist). Es hängt eben von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ab, welche $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte durchlaufen werden. Und was ist nun die richtige Antwort? Welche $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte gehören zu fest gewähltem $\begin{eqnarray} x? \end{eqnarray}$
06.12.2005, 23:08	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
das versteh ich nicht ganz. ich sag jetzt mal y liegt zwischen den Punkten p1 und p2 wobei p1(0;0) ist und durch die geraden x=0 und y=x festgelegt wird. und p2 wird durch die geraden x=0 und y=2a-x festgelegt. Also interessiert mich doch nur der y wert an der stelle x=0 oder nicht? und der ist 2a. Also waere bei mir p2(0;2a) warum solte ich ein beliebiges x nehmen? ps:sorry wenn ich mich bisschen blöd anstelle hehe
06.12.2005, 23:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du noch nicht richtig verstanden. Nimm in deiner Zeichnung (ich glaube, du hattest $\begin{eqnarray} a=3 \end{eqnarray}$ gewählt) z.B. den $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Wert 1. Welche Punkte mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Wert 1 gehören nun zu $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ ? Der mit $\begin{eqnarray} y=0{,}5 \end{eqnarray}$ z.B. sicher nicht, und der mit $\begin{eqnarray} y =5{,}2 \end{eqnarray}$ auch nicht. Und von wo bis wo sind es nun die richtigen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Werte, wenn $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ist?
06.12.2005, 23:25	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn x=1 ist muss y zwischen 1 und 5 liegen und bei 2 zwischen 2 und 4. achso...meinst du y muss zwischen x und (2*a)-x liegen?
06.12.2005, 23:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt haben wir's! Bei der Integration über den Bereich $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ mußt du also zunächst über alle möglichen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integrieren (das sind die zwischen 0 und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ - äußeres Integral). Und dann für ein fest gedachtes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ über die zugehörigen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ (inneres Integral): $\begin{eqnarray} \int_0^a~\left( \int_x^{2a-x}~ \ldots ~\mathrm{d}y \right)~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Man kann die Reihenfolge auch vertauschen. Aber dann wird es bei diesem Beispiel etwas komplizierter.
06.12.2005, 23:40	steffen741	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar. vielen dank nochmal!!!! das haette ich allein nie hinbekomm.... aber jetzt muss ich erstmal schlafen,bin viel zu muede um noch weiter zu denken
24.09.2008, 17:36	Selena	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, habe ebenfalls Schwierigkeiten beim Grenzwertablesen, diese Aufgabe habe ich z. B. nicht verstanden,könntest du mir das bitte nochmal erklären?unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

berechnung von doppelintegralen

Verwandte Themen