beweis einer gleichheit

01.05.2008, 12:44

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

beweis einer gleichheit

Hallo,
ich komm hier nicht richtig weiter..

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f:V \longrightarrow V, W:= ker(f) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f ' = V/W \longrightarrow V/W, v+W \longrightarrow f(v)+W \end{eqnarray*}$

z.z: $\begin{eqnarray*} Ker(f'^j)= Ker (f^{j+1})/W \end{eqnarray*}$

Ich hab da jetzt 2 ansätze.
der erste:
$\begin{eqnarray*} ker (f^{j+1})/W = Ker(f^j \circ f)/W = ( ker(f^j)+ker(f))/Ker(f) \end{eqnarray*}$
stimmt die zweite gleichung?

der zweite:
da für $\begin{eqnarray*} g:V/W \longrightarrow V/W \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} Im(g)=V/W \end{eqnarray*}$
gilt: $\begin{eqnarray*} Im(f'^j)=Im(f'^j)~~~~~~ i \neq j~~~~j,i \in \mathbb N _0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Ker(f'^j) = Ker (f') \end{eqnarray*}$

da für $\begin{eqnarray*} g:V/W \longrightarrow V/W \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} Ker(g) = W \end{eqnarray*}$
folgt: $\begin{eqnarray*} Ker(f') = Ker(f) \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} Ker(f'^j)= Ker(f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ker (f^{j+1})/W = Ker(f^j \circ f)/W \end{eqnarray*}$

es bleibt zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} ker(f) = Ker(f^j \circ f)/W \end{eqnarray*}$

aber hier hab ich keine ahnung, wie ich das zeigen soll.

01.05.2008, 13:44

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Selber schbuld, wenn man sich seine Beiträge nach dem Schreiben nicht nochmal durchliest...

01.05.2008, 15:47

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte es noch mal gelesen.. ich hatte er mir sogar erst angeschaut, bevor ich es überhaupt reingestellt hab...
ich geb zu, ich hab einmal Im statt Ker geschrieben..
aber das kann doch nicht alles sein?

oder meinst du:
$\begin{eqnarray*} Ker(f^j \circ f)/W = ( ker(f^j)+ker(f))/Ker(f) \end{eqnarray*}$ ?? wobei ich ja nicht weiß, ob es stimmt, wenn ja, dann ist es klar, wie ich es lösen kann, aber ich weiß es eben nicht, ob das gilt.

01.05.2008, 16:31

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, bei mir im Browser werden einige LaTeX-Elemente nicht dargestellt. Fehler: Double Superscript.

EDIT: ° ist \circ in LaTeX.

01.05.2008, 18:23

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

danke.
ich werd es aber gleich mal ändern.

03.05.2008, 10:17

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

weiß jemand, ob das hier:

$\begin{eqnarray*} Ker(f^j \circ f)/Ker(f) = ( ker(f^j)+ker(f))/Ker(f) \end{eqnarray*}$

stimmt?

ein ja, oder nein würde mir reichen. ich kann nur leider weder im Internet, noch in Büchern irgendwas finden, und dann müsste ich davon ausgehen, dass es falsch ist..

Anzeige

04.05.2008, 05:31

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nur für j = 0.

04.05.2008, 09:16

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

danke

EDIT: ist der Ansatz denn bis hier hin richtig?

04.05.2008, 15:00

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim zweiten Ansatz steht in jeder Zeile Unsinn.

04.05.2008, 16:44

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwelche tipps?
wäre sehr lieb.
Luci

04.05.2008, 18:20

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Behauptung ist eigentlich etwas triviales - nur kompliziert (und genaugenommen falsch) aufgeschrieben. Zeige dazu

$\begin{eqnarray*} x + W\in {\rm ker}(F^j) \;\Longleftrightarrow\; x\in{\rm ker}(f^{j+1}). \end{eqnarray*}$

Du musst dabei nur in die Definitionen einsetzen.

04.05.2008, 20:40

July

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Nein, nur für j = 0.

Hi WebFritzi!

Also ich komm mit deinen kurzen Antworten nich so ganz klar.
Heißt dein Nein nun, es ist falsch oder es ist richtig bis auf für $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ ?
Denn für den Fall $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ haben wir auch einen Definition an die Hand bekommen: "Dabei bezeichne $\begin{eqnarray*} f'^{0} \end{eqnarray*}$ die identische Abbildung."

LG, Judy

04.05.2008, 20:46

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Die Behauptung ist eigentlich etwas triviales - nur kompliziert (und genaugenommen falsch) aufgeschrieben. Zeige dazu

$\begin{eqnarray*} x + W\in {\rm ker}(F^j) \;\Longleftrightarrow\; x\in{\rm ker}(f^{j+1}). \end{eqnarray*}$

Du musst dabei nur in die Definitionen einsetzen.

Hier steht, worum es geht. Ich weiß allerdings nicht, warum WebFritzi $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ schreibt. (Wahrscheinlich heißt es im Original auch $\begin{eqnarray*} \bar{f} \end{eqnarray*}$ . Nicht wahr?)

04.05.2008, 21:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Ich weiß allerdings nicht, warum WebFritzi $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ schreibt. (Wahrscheinlich heißt es im Original auch $\begin{eqnarray*} \bar{f} \end{eqnarray*}$ . Nicht wahr?)

Weil ich auf meinem Blatt keinen Bock hatte auf f-Strich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@July: Für j = 0 stimmt es immer. Wie du schon sagtest ist "Abbildung hoch Null" immer die Identität. Für j = 0 steht also auf beiden Seiten das gleiche. Für j > 0 ist die Aussage im allgemeinen falsch. Denn dann gilt

$\begin{eqnarray*} {\rm Linke Seite } = Ker(f^j \circ f)/Ker(f) = {\rm ker}(f^{j+1})/{\rm ker}(f) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} {\rm Rechte Seite } = (ker(f^j)+ker(f))/Ker(f) = {\rm ker}(f^j)/{\rm ker}(f). \end{eqnarray*}$

04.05.2008, 21:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Individualist!

04.05.2008, 22:11

July

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hab einen Vorschlag:

(i) Sei $\begin{eqnarray*} x \in Ker(f'^j) \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} x + W \in ker(f'^j) \Rightarrow x + W \in W \Rightarrow x \in ker(f) \Rightarrow x \in ker(f^{j+1}) / W \end{eqnarray*}$

(ii) Sei nun $\begin{eqnarray*} x \in ker(f^{j+1}) / W \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} x \in ker(f) \Rightarrow x \in W \Rightarrow x + W \in ker(f'^j) \Rightarrow x \in ker(f'^j) \end{eqnarray*}$

(i) + (ii) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow ker(f'^j) = ker(f^{j+1})/W \end{eqnarray*}$

bitte sagt nicht, dass das kompletter Schwachsinn ist. Und wenn doch, dann gebt mir wenigstens eine richtigere Lösung. Danke

04.05.2008, 22:17

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von July
Okay, ich hab einen Vorschlag:

(i) Sei $\begin{eqnarray*} x \in Ker(f'^j) \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} x + W \in ker(f'^j) \Rightarrow x + W \in W \Rightarrow x \in ker(f) \Rightarrow x \in ker(f^{j+1}) / W \end{eqnarray*}$

Das ist kompletter Schwachsinn.

04.05.2008, 22:23

July

Auf diesen Beitrag antworten »

und dein sinnvoller vorschlag?

04.05.2008, 22:25

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt leider gar nicht.

Schon wenn du sagst: $\begin{eqnarray*} x \in \operatorname{Kern}(f'^{\, j}) \end{eqnarray*}$ , geht das nicht. Der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ist doch gar nicht mehr $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Die Elementbeziehung ist hier unsinnig. Die Objekte sind unvergleichbar.

Eine Zeile darunter fängt es zumindest richtig an: $\begin{eqnarray*} x + W \in \operatorname{Kern}(f'^{\, j}) \end{eqnarray*}$ . Aber die Folgerung danach ist ebenso unsinnig: $\begin{eqnarray*} x+W \in W \end{eqnarray*}$ . Links steht eine Restklasse, rechts eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Die Objekte sind unvergleichbar.

Das ist, als würdest du sagen: $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . So etwas geht absolut nicht.

$\begin{eqnarray*} x+W \in \operatorname{Kern}(f'^{\, j}) \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, daß das Element $\begin{eqnarray*} x+W \end{eqnarray*}$ des Faktorraumes auf den Nullvektor des Faktorraumes abgebildet wird. Der Nullvektor ist aber $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Daher gilt:

$\begin{eqnarray*} x+W \in \operatorname{Kern}(f'^{\, j}) \ \ \Leftrightarrow \ \ f'^{\, j}(x+W) = W \end{eqnarray*}$

So geht das Ganze richtig los. Ich denke, es ist hier aber nicht sinnvoll weiterzumachen. Du solltest dich erst noch einmal gründlich mit der Definition des Faktorraumes befassen. Solange du diesen Begriff nicht wirklich verstanden hast, kannst du auch keine Aufgaben dazu lösen.

04.05.2008, 22:33

July

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut vielen Dank und schönen Abend noch.

04.05.2008, 22:47

Luci

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} x+W \in \operatorname{Kern}(f'^{\, j}) \ \ \Leftrightarrow \ \ f'^{\, j}(x+W) = W \end{eqnarray*}$

hm.. versteh ich nicht ganz.. müsste das nicht:

$\begin{eqnarray*} x+W \in \operatorname{Kern}(f'^{\, j}) \ \ \Leftrightarrow \ \ f'^{\, j}(x+W) = 0 \end{eqnarray*}$

heißen??

04.05.2008, 22:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, im Faktorraum ist der Nullvektor der Vektorraum $\begin{eqnarray*} 0+W=W \end{eqnarray*}$ .

04.05.2008, 23:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein, im Faktorraum ist der Nullvektor der Vektorraum $\begin{eqnarray*} 0+W=W \end{eqnarray*}$ .

Richtig, und deswegen darf man auch 0 dafür schreiben. Insofern hatte Luci schon recht.

05.05.2008, 02:00

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, aber ich glaube, darauf wollte Luci nicht hinaus. Falls doch, entschuldige bitte.

05.05.2008, 06:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein didaktischer Einwand:
In diesem Zusammenhang ist es aber nicht sinnvoll, $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für den Nullvektor der Faktorraumes zu schreiben. Das verwirrt hier nur. Es kommt hier nicht nur auf die Rolle des Elementes an (Nullvektor zu sein), sondern auch auf die Natur (ein Unterraum zu sein). $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist also eindeutig vorzuziehen.
Und wenn Luci die ganze Sache einmal durchschaut hat, kann sie hinterher auch wieder die "allumfassende Nullnotation" verwenden.

05.05.2008, 17:38

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, oder sie schreibt [0], je nachdem, welche Notation sie bevorzugt. Ich z.B. mag die Aequivalenzklassennotation [x] lieber als x + W.

05.05.2008, 17:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist wohl Geschmackssache. Mir gefällt die Komplex-Addition besser. Oder doch das Ding mit den eckigen Klammern? Am besten, wie es in der aktuellen Situation gerade bequem ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »