2x2-Matrizen

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Alberto Auf diesen Beitrag antworten »
2x2-Matrizen
Hallo,

ich soll folgendes zeigen:

Die Pauli-Matrizen (http://de.wikipedia.org/wiki/Pauli-Matrizen) zusammen mit der 2x2-Einheitsmatrix bilden eine Basis des Raumse der 2x2-Matrizen.
zeigen soll man nun, dass jede 2x2-Matrix A in folgender Form darstellbar ist:

wobei und ein Einheitsvektor ist. bezeichnet die Eigenwerte der Matrix A.

Ich bin irgendwie der Meinung dass die Behauptung falsch ist. Man kann zwar die Basiselemente tatsächlich in dieser Form schreiben, aber betrachtet man z.B. die Matrix dann ergibt sich hieraus, dass und dass ist schließlich kein Einheitsvektor mehr!

Vielleicht hab ich auch was falsch gemacht, aber könnte mir jemand sagen ob ich richtig liege oder andernfalls wie man die Behauptung beweisen kann?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist sigma, und was ist das für eine Multiplikation von Vektoren. Und wo spielen in dieser Aussage die Pauli-Matrizen eine Rolle? verwirrt
Alberto Auf diesen Beitrag antworten »

sigma sind die Pauli-Matrizen (siehe Wiki-Link).

Und der sigma-Vektor fast die Pauli Matrizen zu einem Vektor zusammen (das wird in der Physik üblicherweise so gemacht). Bei der Multikplikation handelt es sich einfach um ein "Skalarprodukt" wobei man natürlich keine Skalare erhält, sondern Linearkombinationen von den Pauli-Matrizen, d.h.

Alberto Auf diesen Beitrag antworten »

Hat den jemand eine Idee? Oder Kann mir wenigstens jemand sagen, ob mein Beispiel wirklich ein Gegenbeispiel darstellt?

Noch eine Bemerkung: Laut Prof. sollte es schon genügen zu zeigen, dass man die Basiselemente in der zu zeigenden Form darstellen kann und daraus folgt dann, das jede 2x2-Matrix so dargestellt werden kann. Allerdings kann ich diese Folgerung nicht nachvollziehen.

Wäre wirklich schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war selbst überrascht, aber das funktioniert!

Man setze für die Matrix mit den Eigenwerten Folgendes fest:



und bestimme dabei so, daß Einheitsvektor ist. Das kann man auf jeden Fall erreichen, solange der Vektor rechts nicht der Nullvektor ist. Dann rechnet man nach, daß



gilt. Die Bedingung für lautet ausgeschrieben:





Und somit sind in der Tat die Eigenwerte der Matrix .

Wenn der obige Vektor der Nullvektor ist, d.h. also und , setze man und lege irgendwie als normierten Vektor fest. Dann ist der einzige Eigenwert von und alles andere paßt auch.

Bei der von dir gegebenen Matrix kommt man mit



hin.
Alberto Auf diesen Beitrag antworten »

Das war doch ein bisschen trickreich

Vielen vielen Dank für deine Hilfe smile
 
 
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