Extremwertaufgabe

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Haudi Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe
Hi, ich habe ne Aufgabe wo ich nicht weiß, ob ich alles Richtig mache

Die Aufgabe:
Randextrema beachten

Von einer wertvollen Glas-Tischplatte mit den Abessungen 64cm mal 144cm ist eine Ecke abgestoßen. Die Bruchkante ist Parabelförmig und kann durch die Gleichung
y = -(1/16)x² + 64 beschrieben werden (x;y in cm). Aus dem Rest soll eine möglichst große rechteckige Glasplatte herausgeschnitten werden. Bestimme sie deren Abmessungen.

Könnte sie so aussehen ?
http://www.myimg.de/?img=tischd9c0b.gif

-Nun denke ich, dass ich eine Funktion aufstellen muss.
[p(x) = Parabel]

f(h) = (144-p(x))*(64-x)

-Nun die erste Ableitung bilden --> Nullstellen berechenen
-In die zweite Ableitung die Nullstellen einsetzen und Min und Max bestimmten

Ist das soweit Richtig ?

Aber das mit den Randextrema verstehe ich nicht, was muss man den da machen ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Parabel ist nach unten geöffnet:

Edit:

Zu den Randextrema:

Überlege dir wie groß die Seite a (nach der sich der maximale Flächeninhalt des neuen Rechtsecks richtet), minimal und maximal werden kann und bestimme die Funktionswerte dieser Grenzen des Definitonsbereichs ---> Das sind die Randextrema
Vergleiche diese mit dem gefundenen Extremwert beim Maximieren der Zielfunktion.
Der maximale Wert dieser Werte gewinnt =)
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, hab vergessen zu schreiben,dass ich die Parabel gespiegelt dagestellt habe

So dachte ich es mir ganz am Anfang auch, aber dann bräuchte man ja keine Funktion aufstellen.

So könnte man doch einfach, die nullstelle (32) von der länge (144) abziehen.

Also wären die neuen Abmessungen ja 64 cm mal 112 cm oder habe ich grade einen Denkfehler gemacht ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre genau EINE mögliche Platte, es geht aber darum zu entscheiden ob das auch wirklich die ist, die den größten Flächeninhlat besitzt (siehe mein Edit in letzten Beitrag).
Denn ist ja so, dass durch jeden Punkt, den man auf der Parabel auswählt, ein neuen Rechteck erhält (durch achsenparallele Verbindung). Du hast dir jetzt den Punkt (32 |0) genommen, also einen Randwert. Entscheidend ist nachher der der Vergleich des Flächeninhalts an dieser Stelle mit dem Maximum, was du erhälst wenn du allgemein für einen Punkt (u | p(u)) maximierst ---> Hochpunkt von der Flächenfunktion A(u)=(144-u)*(64-p(u))
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

So habe jetzt mal ausgerechnet:

A(u) = (144-u) (64-p(u))

Ableitung

a(u) = (1/16)x³ - 9x² - 128x + 18432

a'(u) = (3/16)x² - 18x - 128

a'(u) = (3/8)x - 18

Nullstellen der 1. Ableitung

x01 = 102,65
x02 = -6,65

Min und Max bestimmen
Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung

Max = -20,5
Min = 20,5

So und nun ?

Ist es für das ergebnis eigentlich egal ob man
A(u) = (144-u) (64-p(u)) oder P(x) = (144-p(x))*(64-x) nimmt?.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion ist leider falsch:

A(u)=(144-u)*(64- (-(1/16)u²+64)) = (144-u)*(64+1/16u²-64)=(1/16)u² * (144-u)

Zitat:
Ist es für das ergebnis eigentlich egal ob man
A(u) = (144-u) (64-p(u)) oder P(x) = (144-p(x))*(64-x) nimmt?.


Muss halt zu der Skizze passen, die man sich macht...
 
 
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Misst hatte ich ganz übersehen.
Ich habe das jetzt nochmal ausgerechnet (hoffe diesmal richtig).

A(u) = (144-u) (64-p(u))

Ableitung

a(u) = -(1/16)x³ + 9x²

a'(u) = -(3/16)x² + 18x

a'(u) = -(3/8)x + 18

Nullstellen der 1. Ableitung

x01 = 0
x02 = 96

Min und Max bestimmen

Max = -18
Min = 18

Ok, aber irgendwie bringt mich das immernoch nicht weiter, was muss ich den noch machen ?

Wie kriege ich den nun die maße für das neue Rechteck her ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Min und Max zu bestimmen ist überflüssig, denn A(0)=0 und u=96 kann nicht im Definitionsbereich liegen (siehe Skizze)

Also muss man nun die Randstellen in A einsetzen.
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982

Also muss man nun die Randstellen in A einsetzen.


Aber wenn ich jetzt irgendwas einsetzte, bringt mir das doch trotzdem nichts, weil er mir nicht die Fläche für ein Rechtecks ausgibt oder?


Ich glaub ich bin grad wieder völlig verwirrt geschockt verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber sicher doch, die Funktion A(u) liefert für jedes u aus der Definitionsmenge (wann antwortest du endlich auf die Frage wie diese denn nun lautet?) als Funktionswert die Fläche des entsprechenden Rechtecks.

Gruß Björn
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich nun jeden wert 32 bis 0 nehmen ?

irgendwie ist irgendwas Falsch, den wenn ich für x 32 einsetzte kommt 11264 raus, aber da müsste doch 7168 rauskommen. 64* (144-32) = 7168
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

A(32)=7168

Stimmt, wo kommt jetzt 11264 her ?

Du musst die Randwerte 0 und 32 einsetzen und schauen ob A(0) oder A(32) größer ist.

Danach dann entscheiden wie große die Rechteckseiten sind.
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mal wieder Recht, ich glaub ich brauch mal eine kleine Mathe Pause, wenn ich es nichtmal schaffe eine zahl richtig auszurechnen Hammer

So, also hab nun beide Werte eingegeben und komme zu dem Entschluss, das 32 besser ist, weil :

A(0) = 0 cm²
A(32) = 7168 cm²

Ich bedanke mich an der Stelle noch mal ganz doll.
Haste echt Super gemacht Bjoern Freude

und ich werde mich erstmal erholen Prost
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir die Aufgabe nochmal angeschaut und wahrscheinlich ist die Aufgabe doch eher so gemeint, wie in der unten stehenden Skizze dargestellt - jedoch war dies nicht ausdrücklich aus der Aufgabenstellung zu entnehmen. Nur wirst du sehen, dass es deutlich interessanter wird wenn man es nach dieser Skizze hier macht.

Also maximiere das hier und überprüfe am Ende wieder die Randwerte

Zitat:
-Nun denke ich, dass ich eine Funktion aufstellen muss.
[p(x) = Parabel]

f(h) = (144-p(x))*(64-x)
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

So okay, wenn die Bruchkante so verläuft dann müsste ja das neue Rechteck

A = (144-64)*64
A = 5120
oder
A = (64-32)*144
A = 4608
sein.

Irgendwo muss bei mir noch ein Fehler sein:

Funktion
A(x) = (144 - p(x)) * (64 - x)
A(x) = (80 + (1/16)x^2) * (64 - x)

A (x) = -(1/16)x^3 +4x^2 -80x +5120

A' (x) = -(3/16)x^2 +8x -80
A''(x) = -(3/8)x +8

Nullstellen der 2. Ableitung
x01= 16
x02= (80/3)

Min und Max

Max = -2
Min = 2

Wenn ich die Werte nun in die Gleichung einsetzte bekomme ich für
A(-2) = 5264,5
A(2) = 4975,5


Nun wo ist den jetzt schon wieder der Fehler ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitungen sind alle korrekt.

Zitat:
Nullstellen der 2. Ableitung
x01= 16
x02= (80/3)


Das sind die Nullstellen der 1. Ableitung, nicht der 2.
Es sind also Extremstellen.
Ob an diesen ein Maximum oder Minimum vorliegt kriegst du durch Einsetzen in die 2. Ableitung heraus.

Zitat:
Min und Max

Max = -2
Min = 2


So wie das hier steht kannst das nicht schreiben.
Richtig wäre A ''(16)=2 und A ''(80/3)=-2
Da A ''(16) =2 damit positiv ist liegt an der Stelle x=16 ein Minimum vor.
Da A ''(80/3) =-2 damit negativ ist liegt an der Stelle x=80/3 ein Maximum vor.

Jetzt aber auf die Idee zu kommen und A(2) oder A(-2) zu berechnen führt zu nichts, denn diese beiden Werte 2 und -2 sind lediglich Funktionswerte der 2. Ableitung und geben Auskunft über die Art des Extrempunktes, haben mit den Koordinaten der Extremstelle abr nichts zu tun.

Du musst nun A(80/3), A(0) und A(32) miteinander vergleichen wie oben auch.
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Jep warum ich -2 und 2 eingesetzt habe, verstehe ich gerade selber nicht verwirrt

also nun nochma:

A(16) = 4608
A(32) = 4608

A(80/3) = 4645

Nun richtig ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn mit A(0) ?
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Oha,

A(0) = 5120

Bei 0 bekommt man also die größte Fläche, aber wie rechnet man nun die Maße ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...ich glaube du folgst meinen Anweisungen einfach ohne zu wissen warum ich das mache oder ? Frag ruhig immer wenn was unklar ist smile

Eine Seite ist doch (144-p(x)) cm lang und die andere (64-x) cm lang.
Haudi Auf diesen Beitrag antworten »

Hihi

Ja in der Schule haben wir bisher nur Kurvendiskussion durchgenommen, und Extremwertaufgaben kommen als nächstes, wir sollten uns das schonmal angucken, darum weiß ich noch nicht so richitg wie ich da vorgehen muss.

Die Aufgabe hat mir aber schon ein riesen Stück geholfen

Zurück zur aufgabe:

Also ich habe für x=0 eingesetzt und die neuen Maße sind dann nun

80 * 64 = 5120

Das dürfte es nun gewesen sein oder ?
Ich werd nochmal paar Aufgaben durchnehmen, bis ich das komplett kapiere.

Falls du dich wunderst warum ich die Fragen nicht in der nächsten Mathe-Stunde stelle, unser Lehrer erklärt das so scheisse, das kapiert immer niemand. Deshlab bin ich sehr Froh, dass es solche Forums gibt, wo sich Leute zeit nehmen Freude Mit Zunge
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