Hauptsatz der Integralrechnung

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nina12 Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptsatz der Integralrechnung
Hallo, habe eben gerade diese Seite entdeckt und bin absolut begeistert. Hoffe, dass mir hier jemand helfen kann. Versuche gerade den Beweis des Hauptsatzes der Integralrechnung zu verstehen und scheitere leider gänzlich an der Grenzwertberechnung. Habe mittlerweile drei verschiedene Beweismöglichkeiten gefunden, aber immer wieder das selbe Problem: Bei der Grenzwertberechnung geht´s nicht weiter. Villeicht kann mir irgendein Mathegenie einmal die Schritte zwischen Ansatz

lim h strebt gegen 0 [F(x+h) - F(x)] / h = f(x)

(sorry, bekomme das leider nicht besser aufgeschrieben)

und Lösung

F´(x)=f(x)

erklären? Wäre echt lieb, bekomme nämlich langsam schon graue Haare und mein Kopf qualmt auch schon!
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptsatz der Integralrechnung
Die Ableitung F´(x) ist definiert als Grenzwert des Differentialquotienten, den du angegeben hast Augenzwinkern

Also:

Gruß vom Ben
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Mal eine Frage :
Wird in dem Fall nicht aus dem Differenzenquotient ein Differentialquotient ?

Naja, jedenfalls heisst das ja eigentlich nur das die Ableitung der Stammfunktion wieder die Funktion selber ist.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BraiNFrosT
Wird in dem Fall nicht aus dem Differenzenquotient ein Differentialquotient ?


OK, hab´s mal verbessert. Bist aber ganz schön pingelig... traurig
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Ich nehme mal an, dass F hier als

definiert ist. Stimmt das?
Der Beweis, dass die Ableitung dieser Funktion F gerade f ist, gelingt zum Beispiel mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung relativ einfach. Ist dir dieser bekannt?
nina12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Hilfe! Verstehe leider immer noch irgendwie nur Bahnhof und habe noch nie etwas von diesem Mittelwertsatz gehört. Ich begreife einfach nicht wie ich F´(x) = f(x) beweisen kann - das heißt es scheitert immer wieder an dieser (blöden) Grenzwertberechnung. Wenn ich h gegen 0 streben lasse wird doch alles 0 - also wenigstens nach meinen stundenlangen Bemühungen. Irgendwie muss sich dort doch etwas wegkürzen lassen, so dass nachher nur noch F´(x) = f (x) stehen bleibt, oder?
Verzweifelte Grüße
Nina
 
 
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, du weißt aber schon noch, dass
lim[h->0](f(x+h)-f(x))/h=f'(x) ist, oder?
Wenn man also zeigen kann, dass
lim[h->0](F(x+h)-F(x))/h=f(x) ist, dann hat man damit nichts anderes als F'(x)=f(x) gezeigt und genau das möchte man ja. Ist dir das vom Prinzip her klar?
Den eigentlichen Beweis, dass dieser Grenzwert gerade f(x) ist, kann man jetzt auf unterschiedliche Arten führen. Du scheinst ja irgendwelche Literatur zu haben: kannst du vielleicht den dortigen Beweis abtippen, so dass man dir diesen auf Basis deiner Fragen erklären kann?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch's einmal anschaulich - vielleicht nicht mit letzter mathematischer Strenge - aber es ist ja auch nur für ein erstes Verstehen gedacht.

Frage:
Man kennt den Flächeninhalt und eine Seitenlänge eines Rechtecks. Jetzt dividiert man den Flächeninhalt durch diese Seitenlänge. Was erhält man dann?

Antwort:
...........................................................................................
(Ist doch klar! Oder?)

Du solltest dir gemäß den folgenden Ausführungen eine Skizze erstellen.

Wir gehen von einer Funktion y=f(x) aus, von der wir der Einfachheit halber annehmen, daß sie nur positive y-Werte hat.
Dann müssen wir uns erst klar werden, was



eigentlich bedeutet, nämlich den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen von f über dem Intervall [a,x]. (Um es nicht zu kompliziert zu machen, sei hierbei x>a vorausgesetzt.)

Die Ableitung an der Stelle x zu bestimmen, heißt doch aber, Existenz und Wert des Grenzwertes



zu ermitteln.

Wir untersuchen zuerst die Bedeutung des Zählers und nehmen zur besseren Veranschaulichung h>0 an.

F(x+h) = Flächeninhalt unter dem Graphen über dem Intervall [a,x+h]
F(x) = Flächeninhalt unter dem Graphen über dem Intervall [a,x]

Also ist
F(x+h)-F(x) = Flächeninhalt unter dem Graphen über dem Intervall [x,x+h]

Der letztgenannte Flächeninhalt ist ein Rechteck. Das ist zugegebenermaßen ein bißchen geschwindelt. Denn unten und an der Seite ist's zwar gerade und rechtwinklig, aber oben dafür ziemlich wellig, und die Seiten links und rechts müssen ja auch nicht gleichlang sein. Es ist also doch kein Rechteck - und dennoch tun wir einmal so, als wär's eines. Jetzt teilen wir F(x+h)-F(x) durch h. Dann bekommen wir doch, siehe oben - ja tatsächlich: die andere Seite des "Rechtecks", also f(x). Oder vielleicht f(x+h)? Oder einen Wert dazwischen? Das kann man nicht so richtig sagen, weil wir ja gar kein richtiges Rechteck vor uns haben.
Und jetzt müssen wir uns erinnern, daß wir ja ein ganz bestimmtes h>0 in der Zeichnung gewählt haben. Und eigentlich interessiert uns ja nicht der Differenzenquotient für dieses spezielle h, sondern sein Limes für h gegen 0. Du mußt dir also vorstellen, daß das von dir eingezeichnete h in Wirklichkeit viel zu groß ist. Es sollte eigentlich 0 sein! Ja, das auch nicht so richtig: ein bißchen größer als 0 müßte es schon sein, denn sonst kann man ja nicht dividieren (Division durch 0 ist verboten), aber nicht viel größer als 0. Wenn du jetzt (F(x+h)-F(x))/h betrachtest, so ist das schon ziemlich nahe bei f(x), denn f(x) und f(x+h) sind fast gleichgroß.
Und wieder mußt du dir klarmachen, daß das h, das du in deiner Vorstellung oder Zeichnung betrachtest, in Wirklichkeit immer noch zu groß ist. Jetzt stellst du dir ein h vor, das so klein ist, daß es nur noch wahrzunehmen wäre, wenn man eine Lupe über die x-Achse hielte. Wenn du jetzt die "Rechtecks"fläche F(x+h)-F(x) durch die Seite h teilst, bekommst du quasi f(x).

Der Fehler, den wir bei unserer Überlegung stets machen, wird immer kleiner, je kleiner wir h wählen. Und im Idealzustand (das ist der Limes für h gegen 0) wird der Fehler 0, es gilt also

nina12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Philipp, ich glaube jetzt wird´s richtig peinlich für mich - aber ich glaube ich kann mein Problem durch deine Antwort jetzt so einkreisen, dass du verstehst was ich meine.
Du schreibst lim [h strebt gegen 0] (f(x+h)-f(x))/h = f´(x)
Und genau diesen Teil verstehe ich nicht. Also, bevor ich h gegen 0 streben lasse, muss ich doch irgendwie (f(x+h)-f(x)/h umstellen können. Oder geht das etwa gar nicht und das ganze ist einfach so definiert wie es da steht???? Hilfe, ich glaub ich bin zu dumm, um mein Problem in Worte zu fassen!
Noch mehr verzweifelte Grüße
Nina
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du eine konkrete Funktion f(x) (z.B. f(x)=x³) vor dir hast, kannst du natürlich versuchen, für F(x) einen konkreten Ausdruck und dann wiederum für den Differenzenquotienten eine Vereinfachung zu finden. Der Witz des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist aber gerade seine Abstraktheit. Er gilt für jede über einem Intervall stetige Funktion! Man zeigt also einen grundlegenden Zusammenhang zwischen Funktionen, keinen speziellen.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Dass dieser Grenzwert die Ableitung der Funktion ist, ist eine Definition. Das ist gerade die Definiton der Ableitung. Da gibt es also nichts zu verstehen.
Leopolds zeigt in seinem Beweis jetzt, dass dieser Grenzwert nichts anderes als f(x) ist und da wird auf Grund der Definition der Ableitung auch wissen, dass es F'(x) ist, kann man auf F'(x)=f(x) schließen.
milky_84 Auf diesen Beitrag antworten »

habt ihr eigenlcih ein tutorial für Integralrechnung???
sozusagen nen crashkurs für kurzvormabisteher, am besten mit substitutionsregel für dummis....
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@nina12

Lies dir die 'schöne' Abhandlung von Leopold am besten noch
MEHRMALS durch und mach dir vor ALLEM eine SKIZZE die genau
das was er beschreibt darstellt ....

dass eben diese Differenz F(x+h)-F(x) die 'Rechecksfläche' unter
dem 'kleinen' f(x) darstellt bei x beginnend x+h endend ...

... die Höhe dieses Rechtecks etwa f(x) beträgt
('y' -Wert der Funktion f(x) an dieser Stelle)

... die Fläche dieses Rechtecks, dividiert durch seine Breite h
(die untere Rechteckseite)
die andere Seite ergibt ....

und diese andere Seite ist eben gerade f(x) hoch.
...
nina12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöchen,
hab´s endlich kapiert und bin total glücklich! Erst mal ein gaaanz großes Dankeschön an alle, insbesondere an Philipp und Leopold, denen aufgrund meiner Begriffsstutzigkeit wahrscheinlich graue Haare gewachsen sind. Auch wenn ihr mich jetzt für Größenwahnsinnig haltet und ich eure Nerven auf eine harte Geduldsprobe stelle - aber so eine klitzekleine Frage hätte ich noch (bezogen auf Leopolds Beweis): Auch wenn ich ein h wähle, dass nur ganz minimal größer ist als 0, so bleibt doch zwischen der berechneteten Rechteckfläche und dem Graphen eine kleine Fläche übrig, die bezüglich ihres Flächeninhaltes nicht berücksichtigt wurde, oder? Was mache ich mit dieser Fläche? Ignorieren??? Falls ja, mit welcher Begründung?
Viele Grüße
Nina
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

h strebt am Ende der Argumentation gegen 0, das heißt, es wird (im Betrag) kleiner als jede positive, reelle Zahl und auf Grund der Stetigkeit der Funktion wird der Flächeninhalt des von dir angesprochenen Flächenstückes auch beliebig klein und ist im Grenzfall deshalb 0.
nina12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Philipp, theoretisch verstanden, aber kann man das irgendwie beweisen ? Also ich meine in Form einer Formel oder kann das ganze bei der Grenzwertberechnung "eingebaut" werden?
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich weiß nicht, ob das so viel Sinn macht. Der Beweis (oder sollte ich lieber sagen die Begründung?) argumentiert von Beginn an sehr anschaulich und deshalb weiß ich nicht genau, was du dir jetzt für das Ende vorstellst. Aber vielleicht hat ja sonst jemand eine Idee.
Bei Interesse kann ich mal einen wirklich exakten Beweis abtippen, für ihn benötigt man allerdings die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit (diese lautet in etwa so: "wenn es zu jedem Epsilon>0 ein Delta>0 gibt, so dass das Bild der Delta-Umgebung von x0 in der Epsilonumgebung von f(x0) liegt, nennt man f an der Stelle x0 stetig") und ich bin mir nicht sicher, ob du mit dieser vertraut bist.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp-ER
... beliebig klein und ist im Grenzfall deshalb 0.

'ist im Grenzfall deshalb Null' ist nicht so sehr geschickt, vieleicht
besser zu sagen, der zuvor NACHWIEVOR existierende Fehler
wird immer unbedeutender ...;-/


Bei Grenzwert-Problematiken muss man eine Art geistigen
Übergang vollführen, von dem zuvor gewohnten statischen
festen Denken zu einer mehr fexiblen dynamischen Art ...


Ein Beispiel:

1+1/2 +1/4 +1/8 +1/16 ....

Bei dieser Reihe wird mit jedem weiteren Glied IMMER
die Hälfte des noch fehlenden Betrages bis zur 2 hin dazuadiert.
(Anfangs fehlt die ganze 2 dann noch 1, dann 1/2, dann 1/4 usw.)


Die Entfernung zur Summe zur 2 hin HALBIERT sich mit JEDEM
weitern Glied das hinzuaddiert wird ...


die 2 selbst wird aber bei jedem endlichem Abbruch NICHT erreicht.

Andererseits wird JEDE Zahl die kleinere ist als 2 früher oder
später überschritten werden .....


Ja was soll man nun annehmen dass diese Summe sein müsste ??
Mehr als 2 geht auf keinen Fall
und weniger alls 2 wird IMMER irgendwann überschritten.


Die einzige sinnvolle Zahl die da noch überbleibt wäre also
die 2 .... wenn wir denn überhaupt bereit sind für solch
eine Sache eine Zahl zu opfern ....


und hier nun fängt jener 'dynamische' Übergang statt indem
wir uns 'BEREITERKLÄREN' die 2 dafür bereitzustellen ....
weil es was anderes NICHT sein kann ...

und dann auch NICHT mehr von einem Restfehler sprechen
oder denken, denn diese Art Umdenkprozess 'das geistige
Verunendlichen' ist das 'NEUE' Denken nach ganz STRENGEN
und meist NICHT einfachen Regeln und Prozessen.

...

das war im PRINZIP der geistige BEWEIS dafür dass diese
Summe 2 sein DARF und IST. Augenzwinkern
.
nina12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Philipp, das haben wir in der Schule noch nicht gehabt, habe mir das aber in den Osterferien angesehen, um den Hauptsatz beweisen zu können und sogar die - aus meiner Sicht - hochkomplizierte Zeichnung dazu verstanden. Allerdings habe ich hier auch den Schluss nicht kapiert (wär´ ja auch zu schön gewesen). Ich kann ja mal nachfolgend aufschreiben, wo´s hing: (x´-x)(f(x) - Epsilon) < A(x´)-A(x) < (x´-x)(f(x) + Epsilon) ; das ganze teile ich dann durch x´-x und erhalte f(x) - Epsilon < (A(x´)-A(x))/x´-x < f(x) + Epsilon. Also bis zu diesem Punkt ist alles klar. Und jetzt kommt mein Durchhänger. Weiterhin heißt es in dem mir vorliegenden Beweis: "Diese Ungleichung kann auch in der Form [((A(x´) - A(x))/x´-x) - f(x)] < Epsilon geschrieben werden"([ steht für Balken). Und hier verstehe ich gar nichts mehr. Was sind das für Balken (evlt. "Betrags"-Balken?) Wo ist der gesamte linke Teil der Ungleichung hin verschwunden und vor allen Dingen: Was soll mir das sagen??????Wäre zwar schön, wenn ich das irgendwie noch verstehen würde, aber wenn du jetzt so langsam keine Lust mehr hast dich mit meinen geistigen Tiefflügen ausseinanderzusetzen, hast du mein vollstes Verständnins! Habe ja zum Glück den "einfachen" Beweis verstanden, der reicht allemal, das hier aufgeführte gilt nur zu meinem eigenen Interesse - wäre natürlich toll es in diesem Leben doch nochmal zu verstehen!
Viele Grüße
Nina
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ganz genau, das sind Betragsstriche. Und wenn du an das Ganze wieder mit der Definition des Betrages rangehst, bekommst du auch deine 2 Ungleichungen wieder.

PS: Hatte ich nicht schon in der ersten Antwort gesagt, dass die Ableitung als Grenzwert des Differentialquotienten definiert ist? Augenzwinkern

Gruß vom Ben
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Beträge
Der Betrag einer Zahl mißt deren Abstand von 0. In Worten könnte man also sagen:

|x| = Abstand von x zu 0

Eine Gleichung mit Beträgen zerfällt daher in zwei Gleichungen:

|x| = 2 (in Worten: "Der Abstand von x zu 0 ist 2.")
Diese Aussageform wird offenbar von zwei Zahlen erfüllt, nämlich 2 und -2. Daher ist die Oder-Aussage
x = 2 oder x = -2
zur Betragsgleichung äquivalent.

Und jetzt eine Betragsungleichung:

|x| < 3 (in Worten: "Der Abstand von x zu 0 ist kleiner als 3.")
Diese Aussageform wird von allen Zahlen zwischen -3 und 3 (ohne diese beiden) erfüllt. Daher ist die Doppelungleichung
-3 < x < 3
zur Betragsungleichung äquivalent.

Allgemein gilt für jedes positive a:
|x| < a ist äquivalent zu -a < x < a

Zusatzfrage: Und wie steht's mit |x| > a ?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beträge
Zusatzfrage: Und wie steht's mit |x| > a ?

x > a oder x < -a .... für a >=0
x beliebig für a < 0
.
nina12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beträge
Hallo Leopold, möchte mich noch einmal auf deinen folgenden Text und die Zusatzfrage beziehen:


"Allgemein gilt für jedes positive a:
|x| < a ist äquivalent zu -a < x < a

Zusatzfrage: Und wie steht's mit |x| > a ? "


Wenn ich deine Erläuterungen richtig verstanden habe, steht hier also, dass der Abstand von x zu 0 größer ist als a. Daraus müsste doch dann folgen
[x] > a ist äquivalent zu -a>x>a ("[" soll Betragsbalken darstellen), oder???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz!
Siehe POFF
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Genau diesen Beweis meinte ich.
Wie man auf die Ungleichung

kommt, weißt du ja jetzt.
Sie besagt, wenn man die vorigen Überlegungen einschließt, dass man zu jedem Epsilon>0 ein x' finden kann, so dass für alle x'', "die noch näher bei x liegen als x' " (eine genaue Formulierung dieses Satzes ist unter Verwendung des Betrages möglich) "der Unterschied" zwischen f(x) und (A(x')-A(x))/(x'-x) kleiner als Epsilon ist. Und falls du dich noch an die Definition des Grenzwertes von Funktionen erinnerst, bedeutet das nicht anderes als dass tatsächlich

und damit auf Grund der Definition der Ableitung einer Funktion also gerade
A'(x)=f(x)
nina12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ich glaube, dass habe ich jetzt auch verstanden! Hätte gar nicht geglaubt, dass man binnen 24 Stunden soooo viel
mehr an Mathewissen erlangen kann. Um mir das alleine anzueignen und entsprechende Begründungen zu finden hätte ich wahrscheinlich bis Weihnachten gebraucht. Deshalb nochmal ein gaaaaaaaanz großes DANKESCHÖN und viele Grüße
Nina
P.S. Besuch euch bestimmt bald wieder, denn mein nächster begriffsstutziger Moment lässt (leider) bestimmt nicht lange auf sich warten.
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Damit deine Klassenkameraden nicht verzweifeln kannst du ihnen was gutes tun und uns weiterempfehlen:

http://www.matheboard.de/linkuns.php smile

Gruß,
Thomas
nina12 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit kommst du zu spät - habe ich nämlich heute schon gemacht und dabei großzügig Leopolds genial erklärten Beweis verteilt! ;-)
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