Problem bei einer Aufgabe

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mathe_guru Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei einer Aufgabe
Hallo wäre nett wenn ihr mir schnellst möglich helfen könntet:

Die e-Funktion und die Logarithmusfunktion haben an einem bestimmten Punkt P einen minimal Abstand.
Wie lautet der punkt P?

danke+
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei einer Aufgabe
Betrachte dazu einfach die Differenzfunktion . Leite diese ab und bestimme die Nullstelle xo der ersten Ableitung. Dort liegt ein Minimum vor. Die Nullstelle der ersten Ableitung eingesetzt in d(x) ergibt dann die mimimale Differenz von e- und ln-Funktion d(xo). Damit ergeben sich die von dir gesuchten Punkte P1( xo / ln(xo) ) bzw. P2( xo / e^{xo} ). xo ist so etwa 0,56714 ....

Happy Mathing
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei einer Aufgabe
Punkt(1,0) zu Punkt(0,1) ... d=sqrt(2)


oder du meinst das was Drödel meint

und das wäre die Abszissenstelle mit der minimalsten Länge
der zur Ordinate parallelen Sehne zw. den beiden Kurven
und das ist

LambertW(1)=.5671432904
mathe_guru Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub drödels antwort war richtig!
vielen dank
epikur Auf diesen Beitrag antworten »

Das denke ich weniger. Der Abstand zweiter Punkte (x,lnx) ,(y,exp(y)) auf den Graphen ist sqrt( (x-y)^2 + (lnx-expy)^2 ) also ist das min x aus R+,y aus R (x-y)^2 + (lnx-expy)^2 und die zugehörigen x,y Werte zu Bestimmen. Das führt dann offensichtlich zu einer 2D Kurvendiskussion.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Minimaler Abstand
Man darf das Problem nicht so allgemein betrachten, sondern muß auf die konkreten Funktionen eingehen!

EXP(X) UND LN(X) SIND UMKEHRUNGEN VONEINANDER.

Ihre Graphen liegen also symmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. Also liegen auch die Punkte, zwischen denen der minimale Abstand angenommen wird, symmetrisch zueinander. Führen wir einen Parameter t ein, so ist der eine Punkt P( t | ln t ), nämlich der auf dem Logarithmusgraphen, der andere P'( ln t | t ), nämlich der auf dem Exponentialgraphen. Zu minimieren ist also die Funktion
d²(t) = 2·(t-ln t)²
 
 
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimaler Abstand
Ich denke auch, dass Drödels Ansatz falsch ist, da der geringste Abstand nicht parallel zur Ordinate gesehen wird/werden muss. Leopolds Ansatz sieht sehr gut aus :]

Gruß vom Ben
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimaler Abstand
... ja und das sollte dann eigentlich meine 2 oben schon
genannten Punkte

Punkt(1,0) zu Punkt(0,1) ... mit d=sqrt(2)

liefern, die minimalste Entfernung senkrecht zur Symmetrieachse
gemessen
...
mathe_guru Auf diesen Beitrag antworten »

ah jetzt fällt mir wieder ein mann konnte den minimalabstand mit dem abstand einer der beiden funktionen zur Hauptwinkelhalbierenden ausrechnen.
also müssen bei der lösung zwei punkte herauskommen, die jeweils auf den jeweiligen funktionen(lnx / e) liegen
da es aber umkehrfunktionen voneinander sind ist der eine punkt die spiegelung des anderen an der hauptwinkelhalbierenden, daher müsste man nur einen ausrechnen!

kann mir einer einen verständlichen lösungsweg dazu bieten? (die einfache angabe zweier punkte reicht hier leider nicht, da nach einem verständlichen lösungsweg gesucht ist)

vielen dank!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe_guru
... also müssen bei der lösung zwei punkte herauskommen, die jeweils auf den jeweiligen funktionen(lnx / e) liegen
da es aber umkehrfunktionen voneinander sind ist der eine punkt die spiegelung des anderen an der hauptwinkelhalbierenden, daher müsste man nur einen ausrechnen!

... die Punkte sind schon 'ermittelt'
Punkt(1,0) auf ln(x)
Punkt(0,1) auf e^x

... als die beiden genau gegenüberliegenden FunktionsPunkte
beide mit Tangenten parallel zur Symmetrieachse y=x
...
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimaler Abstand
Zitat:
Original von Poff
die minimalste Entfernung senkrecht zur Symmetrieachse


Geht es denn noch minimaler als minimal? Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

minimal - minimaler - am minimalistischsten - epsilon - epsilon-Halbe - dx - Null - minus Null - minus Unendlich - minus (Unendlich hoch 2) - minus (Unendlich hoch Unendlich) - siebte Stufe der Hölle

... und weiter weiß ich's nicht; denn als wir so weit waren, wurde damals unser Religionslehrer krank - und wir hatten für fast ein halbes Jahr keine Religion mehr ...
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

*LOL*
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