Mengenbeweis durch surjektive Abbildung (war: Bitte mal reinschauen)

07.12.2005, 17:15

XOR

Mengenbeweis durch surjektive Abbildung (war: Bitte mal reinschauen)

Hallo.

Also ich habe 3 Aufgaben zu erledigen, bei einer Aufgabe hönge ich jedoch noch. Ich würde mich freuen wenn ihr mal schauen könntet ob alles so stimmt wie ich es geschrieben habe und mir bei der einen Aufgabe evtl. helfen könntet.

a) Die Relation "ist weniger mächtig" (ich nehm mal $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ dafür) ist reflexiv und transitiv.

Beweis:

refl.: $\begin{eqnarray*} (A,A) \in \leq \Rightarrow A = A \end{eqnarray*}$
trans.: $\begin{eqnarray*} (A,B) \in \leq \can (B,C) \in \leq \Rightarrow A \leq B \can B \leq \C \Rightarrow A \leq C \end{eqnarray*}$

b) Die Relation "ist gleichmächtig" (ich nehm mal $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ dafür) ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis:

refl.: $\begin{eqnarray*} (A,A) \in \equiv \Rightarrow A \equiv A \end{eqnarray*}$
sym.: $\begin{eqnarray*} (A,B) \in \equiv \can (B,A) \in \equiv \Rightarrow A \equiv B \can B \equiv A \end{eqnarray*}$
trans.: $\begin{eqnarray*} (A,B) \in \equiv \can (B,C) \in \equiv \Rightarrow A \equiv B \can B \equiv \C \Rightarrow A \equiv C \end{eqnarray*}$

c) A und B seien 2 Mengen. $\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$ gilt genau dann, wenn es eine totale, surjektive Abb. von B nach A gibt.

Hier hab ich für die "<--" - Richtung nur den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \forall b \in B: f(b) = a \can \forall a \in A \exists b \in B: a = f(b) \end{eqnarray*}$ .

Weiter weiß ich dann leider nicht mehr verwirrt

Schöne Grüße

07.12.2005, 17:20

XOR

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Sry, hatte wohl einige Fehler im Text.

a) Die Relation "ist weniger mächtig" (ich nehm mal $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ dafür) ist reflexiv und transitiv.

Beweis:

refl.: $\begin{eqnarray*} (A,A) \in \leq \Rightarrow A = A \end{eqnarray*}$
trans.: $\begin{eqnarray*} (A,B) \in \leq (B,C) \in \leq \Rightarrow A \leq B B \leq C \Rightarrow A \leq C \end{eqnarray*}$

b) Die Relation "ist gleichmächtig" (ich nehm mal $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ dafür) ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis:

refl.: $\begin{eqnarray*} (A,A) \in \equiv \Rightarrow A \equiv A \end{eqnarray*}$
sym.: $\begin{eqnarray*} (A,B) \in \equiv & (B,A) \in \equiv \Rightarrow A \equiv B B \equiv A \end{eqnarray*}$
trans.: $\begin{eqnarray*} (A,B) \in \equiv (B,C) \in \equiv \Rightarrow A \equiv B B \equiv C \Rightarrow A \equiv C \end{eqnarray*}$

c) A und B seien 2 Mengen. $\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$ gilt genau dann, wenn es eine totale, surjektive Abb. von B nach A gibt.

Hier hab ich für die "<--" - Richtung nur den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \forall b \in B: f(b) = a & \forall a \in A \exists b \in B: a = f(b) \end{eqnarray*}$ .

Weiter weiß ich dann leider nicht mehr verwirrt

Schöne Grüße

07.12.2005, 22:40

JochenX

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also bei a) und b) hast du rein gar nix bewiesen, sondern nur hingeschrieben, was da rauskommen soll

die reflexivitätsbedingung bei a) ist dazu noch unsinn

07.12.2005, 22:46

XOR

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Hallo.

Ja bei a) sollte das kein = sein, sondern das die beiden Mengen gleichmächtig sind, aber was solls.

Ich habs jetzt so gemacht das bei a) die Funktion injektiv ist und dafür die Reflexivität und Transitivität gezeigt, ich denke aber das es nicht richtig ist. Bei b) habs ichs dann über die Bijektivität gemacht.

für c) hab ich keine Ahnung wie ich das anstellen soll. unglücklich

Vielleicht könntest du mir ein paar Tipps geben was ich richtig machen kann bzw. wie ich c) lösen könnte ? smile

07.12.2005, 22:57

JochenX

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zu c) was ist denn eine "totale" abbildung? verwirrt

a)/b) kannst du bei endlichen mengen natürlich über injektive bijektive abbildungen zeigen
musst nur noch überlegen, warum das auch bei unendlichen mengen reicht

und dann sind reflexivität und transitiviät ein leichtes zum aufschreiben

andererseits für eine gleichmächtig-relation eigentlich etwas viel
natürlich ist gleichmächtigkeit über die existenz einer bijektion definiert, aber...... naja, muss wohl.

wenn du deine genauen formulierungen überprüft haben willst, schreib sie hier rein

23.01.2006, 12:32

dunkel

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gibt es eigentlich ein offizielles Zeichen für gleichmächtig?

23.01.2006, 13:02

papahuhn

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Dafür könnte man $\begin{eqnarray*} \cong \end{eqnarray*}$ benutzen. Eigentlich steht es für "isomorph", was aber für Mengen als Struktur das gleiche ist.

23.01.2006, 13:38

JochenX

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nicht so faul: 2x mehr euer kardinalitätszeichen (#, card, |...|,....) schreiben und dann =

|A|=|B| ist doch schön offiziell und nicht soooo schreibaufwändig.
isomorph habe ich noch nie dafür gesehen, wird auch probleme bereiten, wenn du mir dann schreiben sollst, dass die D_6 und die S_4 gleichmächtig sind, oder, papahuhn?

edit: natürlich D12 und S4, nicht D6 *umpf*

23.01.2006, 14:40

papahuhn

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Zitat:

Original von LOED
isomorph habe ich noch nie dafür gesehen, wird auch probleme bereiten, wenn du mir dann schreiben sollst, dass die D_6 und die S_4 gleichmächtig sind, oder, papahuhn?

Ich sag ja, wenn man als Struktur nur die Menge sieht, kann man das machen. Eine Bijektion muss sich dann keine Gedanken um Strukturfunktionen und -relationen machen. Wenn man Gruppen vergleicht, sieht das natürlich anders aus.

Nachtrag: Als ich das mit dem Isomorphiezeichen geschrieben habe, sind mir die Betragsstriche lustigerweise überhaupt nicht in den Sinn gekommen. Die sind natürlich die bessere Wahl.

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