Konvergenzradius von Potenzreihen |
07.12.2005, 18:16 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Konvergenzradius von Potenzreihen Ich muss folgende Aufgabe lösen und komme nicht weiter.... Man bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: a) b) c) Ok, ich weiß das man die endweder mit dem Wurzel- oder dem Quotientenkriterium lösen kann. Bei (A) habe ich es so versucht: R=1/L mit L:= ==> So und ich hatte jetzt gedacht, dass das nun k ist und dann hätte ich ja 1/k und das divergiert ja, weil es eine Reihe ist, also kann man dann sagen, dass es keinen Konvergenzradius gibt???Da die Folge nicht konvergiert... Zu (B) da habe ich es mit dem Quotientenkriterium versucht Dann habe ich es soweit umgeformt so, nun weiß ich nicht mehr weiter?!?!?! bei (c) habe ich es analog wie bei (b) gemacht und bleibe auch an dieser Stelle wieder stehen.... Über nen kleinen Hinweis würde ich mich freuen.... |
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07.12.2005, 18:22 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
merke: konvergenzradius gibts immer!, und wenn er nur "0" enthält (für z=0 ist die konvergenz trivial) übrigens ist der grenzwert der k-ten wurzel aus (k^3) 1 und nicht k zu b) beachte: (n+1)!=(n+1)*n! und du kannst kürzen! c) substituiere doch mal y=(1,5*z) |
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07.12.2005, 18:38 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, dann habe ich das mit dem Konvergenzradius noch nicht so ganz verstanden.. Also muss ich bei (a) noch die Bedingung stellen das z ungleich null sein muss?!?! ansonsten ist der Konvergenzradius 1??? Zu (b) Aber ich komme trotzdem nicht so ganz weiter, wenn ich mir das nun so anschaue, würde ich sagen das es gegen unendlich geht und dann wäre ja der Konvergenzradius null oder habe ich das falsch??? |
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07.12.2005, 19:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hum?? kovergenzradius: intervall, aus dem du z nehmen darfst, so dass das ganze konvergiert zur anderen: geht 2/(n+1) wirklich gegen unendlich?? |
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07.12.2005, 19:33 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok nochmal... Bei (a) ist der limes superior ja 1 also habe ich einen Radius von 1 so nun muss ich schauen, wenn der Betrag von z < R --> Reihe konvergiert Betrag von z >R --> Reihe divergiert Betrag von z = R --> keine allgemeine Aussage möglich Stimmt das nun so?? Ok, bei (b) stimmt es nicht, es geht gegen null, aber wie kann ich das zeigen??Und wenn das gegen null geht ist es doch eigentlich nicht definiert, da man nicht durch null teilen darf oder bin ich wieder falsch??? |
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07.12.2005, 19:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nein, für diese speziellen fälle musst du einsetzen und eben mit einem anderen kriterium nachprüfen
du hast probleme damit warum 2/(n+1) gegen 0 konvergiert?
es ist doch nicht 0, außerdem berechnest du ja den konvergenzradius mit 1/(limsup), wobei dieser doch auch unendlich sein kann! |
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07.12.2005, 19:45 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ne ich habe keine Probleme damit, das es gegen Null geht, nur wie kann ich so meinen Konvergenzradius ausrechnen?? Gut 1/unendlich = 0, aber wenn das hier gegen 0 geht, müsste ich doch 1 durch 0 teilen.. Haben bis jetzt erst eine Aufgabe gerechnet und da kam ne Zahl raus, deswegen habe ich hier leider keine Ahnung.... |
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07.12.2005, 19:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmmm, denk dran: alles grenzwertig! limsup 1/n=0 als GRENZWERT und dann läuft ja 1/limsup gegen unendlich => konvergenzradius ganz IR |
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07.12.2005, 20:00 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, langsam glaube ich verstehe ich das ganze schon ein wenig besser... Bei (b) ist also der Konvergenzradius ganz IR, da der lim sup gegen 0 geht und 1/lim sup dadurch gegen unendlich und unendlich ist ja der ganz IR.. Hoffe das habe ich nun richtig wieder gegeben... |
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07.12.2005, 20:17 | Poldi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn Du noch welche üben möchtest: hier sind noch zwei Aufgaben, bei denen ich neulich Probleme hatte. Gruß Poldi |
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07.12.2005, 20:20 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm, naja, das mi dem ausdrücken ist schwierig 1/n geht gegen 0, der limsup IST 0.... argh ergebnis b) ist auf jeden fall richtig |
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07.12.2005, 20:42 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Poldi danke dir, wenn ich meine verstanden habe, werde ich die bestimmt auch noch mal versuchen... Ja mit dem korrekt ausdrücken und aufschreiben happert es noch ein wenig, aber nun weiß ich ja schon mal ob es so richtig ist... So habe nun noch mal (c) versucht: habe nun y= 1,5z dann: ==> (habe betragsstriche vergessen.. So das habe ich dann mit einander multiplieziert und dann die klammern aufgelöst, dann kommt daraus: Kann man das nun nach dem Majorantenkriterium weitermachen?? Denn wenn ich das nun richtig gemacht habe kommt dann 1/7 raus.. Dann hätte ich ja einen Konvergenzradius von 7, aber da ich vorher ja y=1,5z gesetzt habe muss ich das ja wieder um ändern.. es konvergiert wenn: betrag von z < R betrag von y/1,5 < R betrag von y < 1,5R =10,5 Wäre das so in Ordnung???Meine die Gedanken richtig?? |
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07.12.2005, 20:46 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
der limsup ist eindeutig 1 ich weiß nicht, was du da in der situation dem majorantenkriterium willst!? ich fürchte, hier hilft weder wurzel noch quotientenkrit. übrigens: ohne das y^k würde die reihe schon konvergieren, dann konvergiert sie auf jeden fall für |y|<=1 1/7 ist da also auf jeden fall zu wenig |
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07.12.2005, 20:50 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Brauche ich also nach dem ausmultipliezieren nur noch die größte Potenz betrachten und die dann durcheinander teilen??? |
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07.12.2005, 21:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
habe ich das wirklich gesagt? wir sind doch bei potenzreihen :-\ nach dem bilden von a_(n+1)/a_n einfach den ganzen bruch durch k^3 kürzen und du siehst, limsup ist 1 du musst bei a) und c) aber noch die randwerte des konvergenzradius betrachten! |
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08.12.2005, 16:10 | Sheli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab mal noch eine Frage zu c) Kann man da nicht das Wurzelkriterium benutzen? Ich hab das nämlich so gemacht: , und dann kann man doch folgendes machen, wenn ich mich jetzt nicht irre: und damit ist doch der Konvergenzradius Oder? |
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08.12.2005, 16:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wir haben nix anderes raus |1,5*z|<1 => |z|<2/3 wie dus machst gehts natürlich auch, vielleicht sogar mit weniger aufwand |
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08.12.2005, 16:39 | Sheli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
huh....hab mich wohl verlesen :-) aber zu a) hab ich noch eine Frage. Wie meinst du das
Ich habe a) nämlich so gemacht: , dann Wurzelkrit. anwenden: . Und für diesen Fall hatten wir gesagt, dass Radius 1 ist, dann keine allgemeine Aussage möglich ist, wie Thorsten das bereits gesagt hat. Weiss jetzt nicht wirklich weiter.... |
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08.12.2005, 16:53 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das ist doch bei allgemeinen reihen, hier hast du doch ganz klare vorstellungen (ich hab da ja auch kurz geschwankt) sei a_n*z^n die folge unter der reihe, dann muss doch limsup (a_n*z^n)<1 sein ist der limsup von a_n=1, muss eben |z|<1 sein hier hast du doch kein problem mit limsup=1, da du es mit dem z "ausgleichen" kannst |
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08.12.2005, 17:18 | Sheli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hab jetzt nochmal nachgeschaut. Wir hatte das so aufgeschrieben: => Konv.-Radius: , konvergenz, falls: und für keine allg. Ausage möglich. Aber in dem speziellen Fall weiss ich jetzt nicht was ich machen soll. Muss ich jetzt ein anderes Kriterium anwende, und das damit versuchen? Oder wie mach ich das? Wie "gleiche ich es aus" mit z? |
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08.12.2005, 17:32 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ach so geht es dir jetzt um die grenzen? BSP: es war ja der KR zu bestimmen von: eingesehen, es konvergiert für |z|<2/3 noch nachzuprüfen: z=+/- 2/3 fall 1: z=2/3 untersuche nun also auf konvergenz |
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08.12.2005, 18:43 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ohh, habe meinen blöden Fehler gesehen... Ok, aber das mit den Grenzen habe ich noch nicht so ganz verstanden, warum müssen wir das jetzt nun machen??? Den unser Professor hat die immer das der allgemeinen Aussage geschrieben und mehr nicht... |
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08.12.2005, 18:45 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sei R dein Konv-radius für variable z dann hast du konvegenz für |z|<R und divergenz für |z|>R dann musst du doch noch eine aussage treffen für z=R und z=-R bei meinem obigen sieht man doch gleich: für z=2/3 konvergiert das auch noch, am ende folgt dann konvergenz für z aus [-R,R] |
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08.12.2005, 18:47 | Thorsten82 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mhh, ja das eigentlich ja nicht so schwer, hat mich nur gewundert da wir das nie gemacht hatten, sondern das immer so hingenommen... |
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08.12.2005, 21:01 | Sheli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also im Prinzip versteh ich das. Aber wir haben doch gesagt, dass wenn , dann keine allg. Aussage möglich. Ich erinnere mich noch genau, dass unser Tutor gesagt hat, dass wenn |z|=R, dann (wenn mans geometrisch betrachtet) z genau auf dem Rand des Konvergenz-Kreises liegt. Alle z innerhalb des Kreises Konvergieren, außerhalb des Kreises liegt keine Konvergenz vor. So hab ichs verstanden (hoffentlich richtig). Aber hab ich dich jetzt richtig verstanden, dass man in deinem Beispiel Konvergenz im Intervall hat, und das weil die Reihe über konvergiert? Wenn da keine Konvergenz vorliegen würde, dann hätte man Konvergenz im Intervall ? |
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08.12.2005, 23:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm, das konvergenzintervall kann (-R,R) sein, aber auch [-R,R] aber natürlich sind auch (-R,R] oder [-R,R) denkbar man muss also stets beide fälle noch betrachten, dabei ist der negative randpunkt oft schnell mit leibniz zu erschlagen in unserem beispiel haben wir also erst gezeigt, dass auch für z=2/3 konvegenz vorliegt im falle z=-2/3 haben wir dann auch wirklich schön das leibnizkriterium; alternierende summation einer nullfolge |
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11.12.2005, 23:56 | Großes Fragezeichen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, ich hab mir das hier mal durchgelesen und haben ein paar Fragen. Wenn ich jetzt für den Konvergenzradius bestimmen muss, mach ich ja Ist dann der Konvergenzradius 1 und alle |z|<1 konvergieren? Und so wie ich es jetzt verstanden habe muss ich schauen, ob die Reihe für z = 1 und z=-1 auch konvergiert. Dann divergiert und konvergiert Und damit ist das Konvergenz-Intervall [-1,1[ . Oder lieg ich mit meinen Überlegungen falsch? pls |
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12.12.2005, 01:19 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
fast alles richtig, abe für z=-1 musst du nochmal nachdenken...... da divergiert das nämlich auch! (achtung, kein leibniz, keine nullfolge!) |
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12.12.2005, 20:20 | Großes Fragezeichen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Stimmt...das ist natürlich keine Nullfolge. Damit ist doch das Konvergenz-Intervall (-1.1) und bei hat man doch Konvergenz-Intervall da die Reihe für beide z konvergiert. (hoffe ich hab mich diesmal nicht verrechnet) Eine Frage noch, wenn in der Aufgabe steht, dass ich den Konvergenzradius berechnen soll, heißt es dann, dass ich auch das Intervall angeben muss? Denn sonst wär ich ja fertig, wenn ich einfach berechnet hätte, dass der Radius für ist. |
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12.12.2005, 21:40 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hehe, also ich würde unter konvergenzradius immer konvergenzbereich (inklusive ränder) auffassen ansonsten hättest du auch probleme, wenn z.b. statt z^n (z-1)^n steht und du den normalen konvergenzradius noch "verschieben" musst aber am besten dazu mal deinen übungsleiter oder dozenten fragen |
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