berechnungen mit zufälligen größen

08.12.2005, 13:07

flixgott

berechnungen mit zufälligen größen

hallo,

ich soll folgendes überprüfen:
$\begin{eqnarray*} \{ \limsup_{n \to \infty} X_n > a\} = \{X_n > a \ \ unendlich \ \ oft \} \ \ mit \ \ a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

wobei folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} X_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{m=n}^\infty X_m \end{eqnarray*}$

also ich hab im moment keine idee, wie ich da formal rangehen soll, intuitiv erscheint mir aber die gleichheit nicht richtig und es muß wahrscheinlich wie folgt heissen:

$\begin{eqnarray*} \{ \limsup_{n \to \infty} X_n > a\} \subset \{X_n > a \ \ unendlich \ \ oft \} \ \ mit \ \ a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

analog dazu soll ich noch folges nachrechnen:
$\begin{eqnarray*} \{ \limsup_{n \to \infty} X_n < a\} = \{X_n > a \ \ schließlich \ \ immer \} \ \ mit \ \ a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

müßte aber eigentlich analog zum ersten teil gehen (auch hier vermute ich eine echte linksseite inklusion)

ich hoffe, es gibt jemand, der mir hilfestellung liefern kann und bednkae mich jetzt schonmal dafür Augenzwinkern

22.12.2005, 10:33

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(Spät kommt die Antwort, doch sie kommt...)

Nein, die Gleichheiten sind beide richtig. Ich weiß allerdings nicht so richtig, was die Schreibweise

Zitat:

Original von flixgott
hallo,
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} X_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{m=n}^\infty X_m \end{eqnarray*}$

darstellen soll - was sind Mengenlimites messbarer Funktionen (nichts anderes sind ja Zufallsgrößen) ??? verwirrt

Was wirklich dort stehen muss, ist

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} [X_n > a] = \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{m=n}^\infty [X_m > a] \end{eqnarray*}$ ,

wobei

$\begin{eqnarray*} [X_n > a] := \left\{ \omega\in\Omega \bigm| X_n(\omega) > a \right\} \end{eqnarray*}$

nur eine Abkürzung für bestimmte Ereignisse darstellt.

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