Additionstheorem der Sinusfunktion

08.12.2005, 17:50

Krümel

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Additionstheorem der Sinusfunktion

Halli Hallo!!!
Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Beweisen sie mithilfe der Potenzreihendarstellung das Additionstheorem für die komplexe Sinusfunktion.

Zu zeigen ist ja somit:
sin(x+y) = sinx cosx + siny cos y

Ich will aus meiner Gleichung ja folgendes erhalten:
sin z = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z^{2k+1} \end{eqnarray*}$ , wobei das z mein x,y ist.

Ich hab dann hin und her probiert und bin m einer Meinung nach auch ne ganze Ecke weit gekommen, nur der letzte Teil fehlt mir (hoffe ich) nur.

Meine letzte Zeile lautet lautet mittlerweile:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~(-1)^{k-i} \frac{1}{(2k-2i)!} (x^{4k-2i+1}+ y^{4k-2i+1}) \end{eqnarray*}$

Mit meinem ersten Teil bin ich ja nun schon da wo ich hin will.
Den zweiten Teil bekomm ich aber nicht zu $\begin{eqnarray*} z^{2k+1} \end{eqnarray*}$ umgeformt. Angeblich soll es da einen Trick geben.
Hat vielleicht jemand nen Tipp.
Soweit bin ich doch auf dem richtigen Weg, oder?

Hilfe

Hilfe

, ist echt dringend!!!

08.12.2005, 18:27

gargyl

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Setzt für das Argument (a+ib) ein

08.12.2005, 18:33

Krümel

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Danke für deine schnelle Antwort.
Was meinst du denn genau?
Für den letzten Teil den ich nicht wegbekomme, (a+ib) einsetzen?
Seh grad noch nicht wo mich das hinführt, aber scheinbar bin ich ja schon mal auf de richtigen Weg Tanzen

Tanzen

09.12.2005, 15:55

Krümel

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Hallo nochmal!!!
Hat vielleicht nochmal jemand ne Idee, wie ich die Aufgabe zu Ende bringen kann?
Hab grad nochmal einwenig nachgelesen und im Heuser hab ich zum Beispiel eine ganz andere Art der Beweisführung gefunden und bin nun noch verwirrter.
Deshalb wäre ich über Unterstützung sehr froh...

10.12.2005, 10:34

thoroh

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RE: Additionstheorem der Sinusfunktion

Zitat:

Original von Krümel
Halli Hallo!!!
Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Beweisen sie mithilfe der Potenzreihendarstellung das Additionstheorem für die komplexe Sinusfunktion.

Zu zeigen ist ja somit:
sin(x+y) = sinx cosx + siny cos y

Lautet das Additionstheorem nicht:
$\begin{eqnarray*} \sin (x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ich will aus meiner Gleichung ja folgendes erhalten:
sin z = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z^{2k+1} \end{eqnarray*}$ , wobei das z mein x,y ist.

Meinst du damit, dass die rechte Seite auf einen Ausdruck dieser Form gebracht werden soll, wobei das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ dein $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ ist?

Zitat:

Ich hab dann hin und her probiert und bin m einer Meinung nach auch ne ganze Ecke weit gekommen, nur der letzte Teil fehlt mir (hoffe ich) nur.

Meine letzte Zeile lautet lautet mittlerweile:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^k~(-1)^{k-i} \frac{1}{(2k-2i)!} (x^{4k-2i+1}+ y^{4k-2i+1}) \end{eqnarray*}$

Kann ich nicht ganz nachvollziehen. Kannst du vielleicht mal die Zwischenschritte andeuten?

10.12.2005, 15:04

Großes Fragezeichen

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Hab mir auch schon gedacht dass das Additionstheorem ja anders ist und auf diese Formel komm ich auch nicht.

Hab aber dieselbe Aufgabe, aber auch Schwierigkeiten es zu lösen. So wie ichs vestehe muss man doch zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} sin(x+y)=\sum_{k=1}^\infty~(-1)^n\frac{(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!} = sinxcosx+cosxsiny \end{eqnarray*}$ ist.

Dann hab ich gerechnet
$\begin{eqnarray*} sinxcosx = \sum_{k=0}^\infty~(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}* \sum_{k=0}^\infty~(-1)^n\frac{y^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

wegen Cauchy-Produkt
$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^\infty~ \sum_{k=0}^n~ (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}*(-1)^{n-k}\frac{y^{2(n-k)}}{(2(n-k))!} = \sum_{k=0}^\infty~(-1)^nx^{2k+1}y^{2(n-k)}\sum_{k=0}^n~\frac{1}{(2k+1)!}*\frac{1}{(2(n-k))!} \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich nicht. Für cosxsiny macht man das dann analog und addiert das Erhaltene. Ich kanns aber nicht zusammenfassen, so dass $\begin{eqnarray*} sin(x+y)=\sum_{k=1}^\infty~(-1)^n\frac{(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ rauskommt.

thoroh, vielleicht kannst du weiterhelfen? Hilfe

Hilfe

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10.12.2005, 15:40

thoroh

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Habe die eine Zeile mal richtiggestellt. Unter das erste Summenzeichen gehört $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} x^{2k+1}y^{2(n-k)} \end{eqnarray*}$ kann man nicht vor das zweite Summenzeichen ziehen, da kommt nämlich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ drinnen vor:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~ \sum_{k=0}^n~ (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}*(-1)^{n-k}\frac{y^{2(n-k)}}{(2(n-k))!} = \sum_{n=0}^\infty~(-1)^n\sum_{k=0}^n~\frac{1}{(2k+1)!(2n-2k)!}x^{2k+1}y^{2n-2k} \end{eqnarray*}$

Vielleicht kannst du geschickt eine Multiplikation mit 1 unterkriegen. $\begin{eqnarray*} 1=\frac{(2n+1)!}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Bei der linken Seite steht auch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unter dem Summenzeichen:

$\begin{eqnarray*} sin(x+y)=\sum_{n=1}^\infty~(-1)^n\frac{(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ riecht doch irgendwie nach binomischem Lehrsatz, oder?

10.12.2005, 16:18

Großes Fragezeichen

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Ok, vielen Dank für die Tipps. Wär nicht darauf gekommen den binomischen Satz anzuwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab das jeztz mit 1 multipliziert und komme auf:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{2n+1}!\sum_{k=0}^n~\frac{(2n+1)!}{(2k+1)!(2n-2k)!}x^{2k+1}y^{2n-2k} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{2n+1}!\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich aber eine Frage zum binomischen Satz. Ich weiss, dass
$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^{n-k}y^k \end{eqnarray*}$

Ist dann
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1} = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix}x^{2n-k}y^k * (x+y) \end{eqnarray*}$ ?

10.12.2005, 16:21

Großes Fragezeichen

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Hab nen Fehler in der ersten Zeile gemacht. Da muss stehen
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

10.12.2005, 17:00

Großes Fragezeichen

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hab jetzt da gleiche für cosxsinx gemacht und bin bei dieser Zeile stehegeblieben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{2n+1}!\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich das ja addieren, also
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} + \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1} \end{eqnarray*}$

Aber ich weiss leider nicht, wie man sowas addiert........ verwirrt

verwirrt

10.12.2005, 17:54

thoroh

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} +\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Jetzt hab ich aber eine Frage zum binomischen Satz. Ich weiss, dass
$\begin{eqnarray*} (x+y)^n = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^{n-k}y^k \end{eqnarray*}$

Ist dann
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1} = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n \\ 2k \end{pmatrix}x^{2n-k}y^k * (x+y) \end{eqnarray*}$ ?

Mit ein paar Änderungen wären das vielleicht die geraden Summanden, also 0.,2.,4.,...,2n. Aber wenn du es in gerade und ungerade Summanden aufteilen möchtest ist das auch nicht so schlecht, da sieht man dann die Gleichheit von linker und rechter Seite früher.

Ich fang mal an:
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1} = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix}x^{2k}y^{2n+1-2k} + \cdots \end{eqnarray*}$

[Ob man $\begin{eqnarray*} x^{2k}y^{2n+1-2k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x^{2n+1-2k}y^{2k} \end{eqnarray*}$ schreibt, ist ja egal.]

10.12.2005, 18:46

Großes Fragezeichen

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das wird immer verwirrender ....

Ich hab erstmal eine Frage, ob man das so machen kann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\big(\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} +\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1}\big) = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\big(\sum_{k=0}^n~(\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} +\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1}\big)) \end{eqnarray*}$

Das Rechnen mit den Summen hab ich noch nicht wirklich drauf...deshalb ist das Umformen jetzt ziemlich schwer.

Und dann noch eine zweite Frage zu

Zitat:

Ich fang mal an:
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1} = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix}x^{2k}y^{2n+1-2k} + \cdots \end{eqnarray*}$

Warum schreibst du da anstelle von k, 2k? Ich würd das so schreiben:
$\begin{eqnarray*} sin(x+y)=\sum_{n=0}^\infty~(-1)^n\frac{(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix}x^{k}y^{2n+1-k} \end{eqnarray*}$
Wo ist da mein Fehler?

10.12.2005, 19:55

Mathespezialschüler

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Verschoben

Dadurch dass ihr alles in eine Zeile schreibt, habe ich keine Lust, mir das ganze durchzulesen. Ich möchte nur erwähnen, dass

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1}=\sum_{k=0}^n~{2n+1\choose k}x^ky^{2n+1-k} \end{eqnarray*}$

gilt und nicht irgendetwas mit $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ oder Sonstigem.

Gruß MSS

10.12.2005, 21:31

Leopold

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Üblicherweise zeigt man zunächst die Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} \exp{(z+w)} = \exp{(z)} \cdot \exp{(w)} \end{eqnarray*}$

der Exponentialfunktion, was relativ einfach geht, und führt dann das Additionstheorem
des Sinus und Cosinus auf jene zurück, indem man die definierenden Formeln

$\begin{eqnarray*} \sin{z} = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \exp{(\operatorname{i}z)} - \exp{(- \operatorname{i}z)} \right) \, , \ \ \cos{z} = \frac{1}{2} \left( \exp{(\operatorname{i}z)} + \exp{(- \operatorname{i}z)} \right) \end{eqnarray*}$

verwendet. Denn wenn man das direkt zeigen will, wird das doch relativ kompliziert.

Beim folgenden direkten Beweis wird jeweils über alle $\begin{eqnarray*} \nu, \mu, n \geq 0 \end{eqnarray*}$ , die den angegebenen Bedingungen
genügen, summiert. Die Kongruenzen haben 2 als Modul, d.h. es wird nach gerade oder ungerade
unterschieden. Alle Reihenumformungen sind wegen der absoluten Konvergenz der Sinus- und
Cosinusreihe gerechtfertigt.

(EDIT: Im Folgenden Vorzeichenfehler ausgebessert.)

$\begin{eqnarray*} \sin{z} \cdot \cos{w} + \cos{z} \cdot \sin{w} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \left( \sum_{\nu \equiv 1}~\frac{(-1)^{\frac{\nu - 1}{2}} z^{\nu}}{\nu!} \right) \cdot \left( \sum_{\mu \equiv 0}~\frac{(-1)^{\frac{\mu}{2}} w^{\mu}}{\mu!} \right) \ + \ \left( \sum_{\nu \equiv 0}~\frac{(-1)^{\frac{\nu}{2}} z^{\nu}}{\nu!} \right) \cdot \left( \sum_{\mu \equiv 1}~\frac{(-1)^{\frac{\mu - 1}{2}} w^{\mu}}{\mu!} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \sum_{\nu \equiv 1 , \mu \equiv 0}~(-1)^{\frac{\nu + \mu - 1}{2}} \frac{z^{\nu} w^{\mu}}{\nu! \mu!} \ + \ \sum_{\nu \equiv 0 , \mu \equiv 1}~(-1)^{\frac{\nu + \mu - 1}{2}} \frac{z^{\nu} w^{\mu}}{\nu! \mu!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \sum_{n \equiv 1}~\sum_{\nu \equiv 1 , \mu \equiv 0 ; \ \nu + \mu = n}~(-1)^{\frac{\nu + \mu - 1}{2}} \, \frac{z^{\nu} w^{\mu}}{\nu! \mu!} \ + \ \sum_{n \equiv 1}~\sum_{\nu \equiv 0 , \mu \equiv 1 ; \ \nu + \mu = n}~(-1)^{\frac{\nu + \mu - 1}{2}} \, \frac{z^{\nu} w^{\mu}}{\nu! \mu!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \sum_{n \equiv 1}~\sum_{\nu + \mu = n}~(-1)^{\frac{\nu + \mu - 1}{2}} \frac{z^{\nu} w^{\mu}}{\nu! \mu!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \sum_{n \equiv 1}~(-1)^{\frac{n-1}{2}} \frac{1}{n!} \sum_{\nu + \mu = n}~\frac{n!}{\nu! \mu!} \, z^{\nu} w^{\mu} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \sum_{n \equiv 1}~\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}} (z+w)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \sin{(z+w)} \end{eqnarray*}$

10.12.2005, 23:10

Großes Fragezeichen

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Das Problem ist, dass wir das mithilfe der Potenzreihendarstellung machen sollten, und zwar so wie schon teilweise oben geschrieben. Es ist ziemlich viel, und wie du schon sagtest kompliziert, aber wir müssen es leider genau so machen..

10.12.2005, 23:19

Leopold

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Wie das geht, zeigt ja mein Beweis. (EDIT: dort Vorzeichenfehler korrigiert)
Und zu den Bezeichnungen, falls die dir nichts sagen: $\begin{eqnarray*} \nu \equiv 1 \end{eqnarray*}$ heißt so viel wie " $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ ungerade" und $\begin{eqnarray*} \nu \equiv 0 \end{eqnarray*}$ so viel wie " $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ gerade". An der Nomenklatur soll das Verständnis schließlich nicht scheitern.

11.12.2005, 11:47

thoroh

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Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
das wird immer verwirrender ....

Ich hab erstmal eine Frage, ob man das so machen kann:

Ja. Wie Leopold schon sagte, sind die Reihenumformungen wegen der absoluten Konvergenz von sin und cos gerechtfertigt
Es tut mir leid, dass ich mehr Verwirrung gestiftet habe, als ich Hilfestellung geben konnte. Ich möchte nochmal eine Entwirrung versuchen:

Ich würde die rechte Seite, also das $\begin{eqnarray*} \sin x \cos y + \cos x \sin y = ... \end{eqnarray*}$ , soweit du gekommen bist, mal stehen lassen. Wende dich der linken Seite zu.

Nach dem binomischen Lehrsatz gilt:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1}=\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}x^ky^{2n+1-k} \end{eqnarray*}$

Diese Summe schreibe ich nun etwas anders auf, und zwar nach dem folgenden Schema: $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ seien die Summanden von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n+1}a_k=a_0+a_1+a_2+...+a_{2n}+a_{2n+1}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(a_0+a_1)+(a_2+a_3)+...+(a_{2n}+a_{2n+1})=\sum_{k=0}^n(a_{2k}+a_{2k+1}) \end{eqnarray*}$

In unserem Fall sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{2n+1}{2k}x^{2k}y^{2n+1-2k} + \binom{2n+1}{2k+1}x^{2k+1}y^{2n+1-(2k+1)} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn du das verwendest, müsstest du eigentlich schon die Gleichheit von linker und rechter Seite erkennen.

11.12.2005, 16:25

Großes Fragezeichen

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@Leopold
Ok, dann hab ich das jetzt verstanden, danke für die Ausführungen.... smile

smile

@thoroh
Nein, die Verwirrung liegt nicht an dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und die Hilfestellungen haben mir sehr goholfen, ohne hätt ichs nicht geschafft!!

Aber wenn jetzt
$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2n+1} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{2n+1}{2k}x^{2k}y^{2n+1-2k} + \binom{2n+1}{2k+1}x^{2k+1}y^{2n+1-(2k+1)} \right) \end{eqnarray*}$

Dann ist man ja fertig, denn dann ist ja
$\begin{eqnarray*} sin(x+y) = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \sum_{k=0}^n \left( \binom{2n+1}{2k}x^{2k}y^{2n+1-2k} + \binom{2n+1}{2k+1}x^{2k+1}y^{2n+1-(2k+1)} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\big(\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} +\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1}\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} + \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sinxcosy+cosxsiny \end{eqnarray*}$

11.12.2005, 20:20

Mathespezialschüler

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Wie kommst du darauf, dass deine vorletzte Zeile $\begin{eqnarray*} =\sin x\cos y+\cos x\sin y \end{eqnarray*}$ ist? So ohne weiteres geht das ganz sicher so nicht.

Gruß MSS

11.12.2005, 20:52

Großes Fragezeichen

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Nein, einfach so hab ichs nicht gemacht. Das hab ich berechnet. Ich kanns ja eben nochmal schnell zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} sinxcosy= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^\infty~(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}* \sum_{k=0}^\infty~(-1)^n\frac{y^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^\infty~ \sum_{k=0}^n~ (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}*(-1)^{n-k}\frac{y^{2(n-k)}}{(2(n-k))!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^\infty~(-1)^nx^{2k+1}y^{2(n-k)}\sum_{k=0}^n~\frac{1}{(2k+1)!}*\frac{1}{(2(n-k))!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{2n+1}!\sum_{k=0}^n~\frac{(2n+1)!}{(2k+1)!(2n-2k)!}x^{2k+1}y^{2n-2k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{2n+1}!\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} \end{eqnarray*}$

Das gleiche macht man mit cosxsiny

Und dann addiert man das
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} + \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k+1 \end{pmatrix} x^{2k+1}y^{2n-2k} +\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2k \end{pmatrix} x^{2k}y^{2n-2k+1}\right) \end{eqnarray*}$

11.12.2005, 21:20

Mathespezialschüler

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So is es natürlich besser, auch wenn in der zweiten und dritten Zeile anstelle des $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ am Anfang ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stehen müsste! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

11.12.2005, 21:41

Großes Fragezeichen

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Juhuuuu endlich......jetzt kann man auch mal Prost

Prost

Und an euch alle ein Mit Zunge

Mit Zunge

für die Hilfe!!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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