Hesse Normalenform der Ebene

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19.04.2004, 08:37	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
Hesse Normalenform der Ebene Die gegebene Ebene heisst $\begin{align} E =\{v\in\calR ^3 :v =$\array{1\\0\\2}$ +r $\array{-2\\2\\1}$+s$\array{4\\1\\3}$\} \end{align}$ ich würde jetzt erstmal den Normalenvektor ausrechnen und da hab ich im Workshop(Vektoren) das so gefunden ich stelle 2 Gleichungen auf aus den Richtungsvektoren -2x + 2y + z = 0 4x + y + 3z = 0 und weil das Gleichungssystemm nicht eindeutig lösbar ist setze ich x = 1 und habe dann für y = 2 und für z = -2 dann wäre $\begin{align} n = (\array{1\\2\\-2}\) \end{align}$ so und wie rechne ich jetzt weiter um auf die Hesse Normalenform der Ebene zu kommen???
19.04.2004, 08:44	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hesse- Nornalvektor ist dadurch definiert, dass er die Länge 1 hat.Dein Vektor hat aber die Länge $\begin{align} \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} =3 \end{align}$ . Deshalb musst du ihn normieren, d.h. auf 1 bringen... ,..indem du ihn durch 3, bzw. die Wurzel teilst: $\begin{align} \frac{$\array{1\\2\\-2}$}{ \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} \end{align}$ $\begin{align} = 1/3(\array{1\\2\\-2}\) \end{align*}$ Gruss Johko
19.04.2004, 08:59	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke und wie gehts dann weiter mit der Hesse Normalen form? das is ja jetzte nur der Vektor
19.04.2004, 09:11	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal unter http://www.matheboard.de/thread.php?postid=10105#post10105 Dort in dem Beispiel unter 4. Ebenen (ganz unten) ist der Hessevektor nach meiner Berechnung $\begin{align} 1/9$\array{1\\8\\-4}$ \end{align*}$ , auch wenn er dort schon etwas verwurstet ist...
20.04.2004, 16:05	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
Is das vieleicht die Lösung??? $\begin{align} \vec{x} $\array{\frac{1}{9} \\\frac{2}{9} \\\frac{-2}{9} }$ +\frac{1}{3} = 0 \end{align}$ würde das bitte mal jemand überprüfen???
20.04.2004, 16:15	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich meinen Vktor von oben umforme, erhalte ich $\begin{align} 1/3$\array{1\\2\\-2}$ = $\array{1/3\\2/3\\-2/3}$ \end{align*}$ Entsprechend ändert sich auch der Rest.
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20.04.2004, 16:18	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das is aber nur der Vektor ich brauch die Hesse Normalenform
20.04.2004, 16:19	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Das meine ich doch mit dem REST. Wenn der HV schon falsch ist, ist doch alles falsch.
20.04.2004, 16:24	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
na ich habe den HV in die Punktnormalenform eingesetzt und dann in die allg Normalenform so wie das im Workshop gemacht wurde,ist nun mein Ergebnis falsch???
20.04.2004, 16:32	Filewalker	Auf diesen Beitrag antworten »
also du hast den normalenvektor n= 1 2 -2 und den punkt x0= 1 0 2 normalenform lauten nx=nx0 da du aber den hv brauchst, musst du durch 3 teilen 1/3nx=nx01/3 also /1/3\ \|2/3\| * x = -1 \-2/3/ bzw 1/3x + 2/3y -2/3*z = -1 sollte ich mich nicht vertan haben. und entschuldigt meine miese darstellungsweise, aber wie erstellt ihr die bildchen und setzt sie ein? formeleditor? wenn man fragen darf
20.04.2004, 16:35	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Öhmmmm.... Offenbar hast du doch den richtigen HV ausgesucht, aaaaber falsch übertragen. Das Beispiel dort ist doch nicht so einfach auf deins übertragbar. es gilt - noch mal gesondert: $\begin{align} \vec{x} \frac{\vec{n}}{\\|\vec{n}\\| } = \vec{x_0}* \frac{\vec{n}}{\\|\vec{n}\\| } \end{align*}$ @filewalker: Du hast den Normalvektor falsch abgeschrieben
20.04.2004, 16:50	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
also die Punktnormalenform ist dann $\begin{align} \[ \vec{x} -$\array{1\\0\\2}$ \] $\array{\\\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{-2}{3} }$ \end{align}$ und das wäre ja gleich -1 dann is die allg Normalenform $\begin{align} \vec{x}$\array{\\\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{-2}{3} }$+1 = 0 \end{align}$ richtig???und da ja mein Normalenvektor am Anfang die Länge 3 hatte muss ich alles durch 3 teilen oder seh ich das falsch jedenfalls machen die das im Workshop so als habe ich dann als Hesse - Normalenform $\begin{align} \vec{x}$\array{\\\frac{1}{9}\\\frac{2}{9}\\\frac{-2}{9} }$+\frac{1}{3} = 0 \end{align}$
20.04.2004, 16:53	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha , da liegt der Fehler: Ich hatte oben doch bereits den Hessevektor ausgerechnet. Les noch mal genau. dadiurch entfällt dein letzter Schritt. Johko
20.04.2004, 16:54	Filewalker	Auf diesen Beitrag antworten »
das was du als allg normalenform angibst, ist schon die hesssche normalenform, denn 1/3 2/3 -2/3 ist schon der normaleneinheitsvektor oder auch hessevektor gennant. da wurde quasi schon durch 3 geteilt. gruß luke
20.04.2004, 16:55	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
Sooo isses... 8)
20.04.2004, 16:56	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ich sehe ich brauche ja gar nit mehr durch 3 teilen das habe ich ja schon oben gemacht okay,mein Fehler also ,merci 8)

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