"Einfaches" GLeichungssystem

09.12.2005, 12:12

Smarti

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"Einfaches" GLeichungssystem

huhu,

ich soll die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf lineare unabhängigkeit prüfen.

Gut, ich denke der Anfang ist mir klar, ein LGS aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier ist mir schon aufgefallen, dass es absolut symmetrisch ist...nur habe ich keine Ahnung, was mir das bringen soll. Also hab ich gerechnet, bis ich auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & -2x+x^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gekommen bin, also $\begin{eqnarray*} x=0, x=2 \end{eqnarray*}$

Nur wie mache ich jetzt weiter? Das x einsetzen bringt mir irgendwie nichts Hilfe

Hilfe

09.12.2005, 12:16

20_Cent

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für x=0 und für x=2 ist sind die vektoren anscheinend NICHT linear unabhängig, sondern abhängig.
für alle anderen x sind sie linear abhängig, da nur die triviallösung existiert.
mfG 20

09.12.2005, 12:18

Smarti

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Ja das ist mir schon klar, aber muss ich das nicht irgendwie weiterprüfen? ISt das etwa schon alles? ...danke, dann war es zu einfach für mich Big Laugh

Big Laugh

edit: Wie sähe es denn aus, wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} Z_3 \end{eqnarray*}$ ersetzen würde...immernoch genauso, oder?

09.12.2005, 12:20

20_Cent

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wenn x nicht 0 oder 2 ist, dann muss die dritte variable deines LGS 0 sein, und damit auch alle anderen => l.u.
wenn x=0 oder x=2, dann ist die dritte variable beliebig, das müsste schon reichen, damit du sagen kannst, dass die vektoren l.a. sind.
mfG 20

edit: hmm... im $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ bin ich nicht sicher.

09.12.2005, 12:29

Smarti

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hab es grad nochmal geprüft, für x=0 sind sie l.a. aber für x = 2 irgendwie nicht..grml

09.12.2005, 12:40

20_Cent

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hmm.. bist du sicher, dass du das LGS richtig gelöst hast?
ich komme auf ein anderes Ergebnis.
mfG 20

edit: meine letzte zeile lautet nämlich: 0 0 x^3

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09.12.2005, 12:47

Smarti

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & x \\ 0 & 1-x^2 & -x \\ 1 & x & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist mein vorletzter Schritt, dann rechne ich II-I*(1-x^2) ...

ok ich komme nun auf -2x+x^3 ...

09.12.2005, 12:51

20_Cent

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das -x ist glaube ich falsch.
schreib mal alle schritte auf, bzw. überprüfe nochmal auf Vorzeichenfehler.
mfG 20

09.12.2005, 12:56

Smarti

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

III=III - II*x

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & x \\ 0 & 1-x^2 & -x \\ 1 & x & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

II=II - I*(1-x^2)

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & -2x+x^3 \\ 1 & x & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2005, 13:05

20_Cent

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oh, ich hatte mich vertan, das ist richtig so.
also ist es für welche x linear abhängig?
mfG 20

09.12.2005, 13:11

Smarti

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nur für x=0...x^3 steigt eindeutig schneller als 2x..

aber wie siehts nun mit Z_3 aus? *kopfkratz*

09.12.2005, 13:13

20_Cent

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Zitat:

Original von Smarti
nur für x=0...x^3 steigt eindeutig schneller als 2x..

was meinst du damit?
wann ist denn die gleichung erfüllt? (nicht nur bei x=0...)
mfG 20

Wie gesagt, für den $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ warte mal lieber auf jemand anderes...

09.12.2005, 13:17

Smarti

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ich komm wegen dem x^3 nicht klar mit dem auflösen nach x..aber in meiner Welt gilt die Gleichung nur, wenn x=0 ist...ka?

09.12.2005, 13:24

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} -2x+x^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>x(-2+x^2)=0 \end{eqnarray*}$

das gilt, wenn x=0 oder x=...
mfG 20

09.12.2005, 13:27

Smarti

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Upalla, x ist ja aus den Reellen Zahlen ...also auch wenn $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ... das erschwert auch die Sache mit dem $\begin{eqnarray*} Z_3 \end{eqnarray*}$ erheblich Big Laugh

Big Laugh

edit: Also ich bräuchte noch Hilfe bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} Z_3 \end{eqnarray*}$ ..da weiss ich gar nicht weiter

09.12.2005, 14:39

hxh

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Zitat:

Original von Smarti
Upalla, x ist ja aus den Reellen Zahlen ...also auch wenn $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ... das erschwert auch die Sache mit dem $\begin{eqnarray*} Z_3 \end{eqnarray*}$ erheblich Big Laugh

Big Laugh

edit: Also ich bräuchte noch Hilfe bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} Z_3 \end{eqnarray*}$ ..da weiss ich gar nicht weiter

$\begin{eqnarray*} x=-+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
so stzimmts

09.12.2005, 15:02

Gust

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Was macht ihr da eigentlich? Sobald die determinante ungleich null ist, sind die drei l.u.

also:

$\begin{eqnarray*} \det(\vec{a_1};\vec{a_2};\vec{a_3})=\begin{vmatrix}0&1&x\\1&x&1\\x&1&0\end{vmatrix}=x^3-2x \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x_1=0; x_{2;3}=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \det(\vec{a_1};\vec{a_2};\vec{a_3})=0 \end{eqnarray*}$

also sind dann die drei Vektoren l.a. - sonst nicht. Fertig ist die Laube.

09.12.2005, 15:15

20_Cent

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soweit waren wir ja auch mit dem "normalen" lösen des LGS gekommen...
(Ich hab die Determinante in der Schule nicht gehabt, vergesse immer, dass das auch geht...)
Der Punkt ist aber:
Wie sieht das im $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ aus?
mfg 20

09.12.2005, 15:25

bil

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hi...
also in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ gilt, so wie ich mich erinnere, das gleiche verfahren. da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3=\{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ ergibt die gleichung $\begin{eqnarray*} x^3-2x=0 \end{eqnarray*}$ nur 0 falls x=0 ist. für x=1 kommt 2 raus und für x=2 kommt 1 raus.

gruss bil

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