Summenbildung

02.05.2008, 16:56

Romaxx

Summenbildung

Hallo,

Die Aufgabe lautet:

Vervollständigen Sie den Beweis von Satz 10.1-5:

Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} X \to f^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ die Summenbildung respektiert, d. h. für Unterräume $\begin{eqnarray*} X, Y \leq im f \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(X + Y ) = f^{-1}(X) + f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ .

Dazu hier Satz 10.1-5:

Sei $\begin{eqnarray*} f : V \to W \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus, und sei $\begin{eqnarray*} X\leq W \end{eqnarray*}$ . Dann ist: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)=\{ x\in V | f(x) \in X \} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} ker f \end{eqnarray*}$ enthält.

Ist darüberhinaus $\begin{eqnarray*} X \leq imf \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f(X)^{-1}/ker f \cong X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X\to f^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ definiert eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen der Menge der Unterräume von $\begin{eqnarray*} imf \end{eqnarray*}$ und der Menge der Unterräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} ker f \end{eqnarray*}$ enthalten.

Diese Inklusion respektiert Summe und Durchschnitt von Unterräumen.

Meine Lösung lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)=\{ \tilde x\in V | f(\tilde x) \in X \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y)=\{ \tilde y\in V | f(\tilde y) \in Y \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(X+Y)=\{ \tilde z\in V | f(\tilde z) \in X+Y \} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x+y))=f(\tilde z)=x+y=f(\tilde x)+f(\tilde y)=f(\tilde x+\tilde y)=f(f^{-1}(x)+f^{-1}(y)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {f^{-1}} \end{eqnarray*}$ angewandt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(x+y)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Beh.

Ich bin mit dem Beweis irgendwie nicht ganz zufrieden, irgendwie kommt mir die Sache etwas zu einfach vor, sicherlich hab ich etwas übersehen.

Gruß

02.05.2008, 18:43

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Argumentation ist rein formal. Wenn man dich fragen würde, was welches Symbol an welcher Stelle bedeute, könntest du darauf nicht antworten. Denn damit hast du dich nicht beschäftigt. Stattdessen schiebst du Symbole, die ohne Inhalt für dich sind, hin und her.
Um es kurz zu machen: Was du schreibst, ist unbrauchbar.

Du solltest dir erst einmal über die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ klar werden. Kannst du in deinen eigenen Worten sagen, was dieses Zeichen sagt?

02.05.2008, 21:26

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich mir fast gedacht.

Bedeutung in eigene Worte gefasst:

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bildet Elemente aus $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ab. Dabei ist die Abbildung wie folgt definiert: Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ losgelassen wird, werden genau die Elemente $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ erwischt, die zuvor von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in den Unterraum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgebildet wurden.

Kannst du mir einen anderen Ansatz geben, an dem ich weiter tüffteln kann?

Gruß

03.05.2008, 07:16

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Roman Föll
Das hatte ich mir fast gedacht.

Bedeutung in eigene Worte gefasst:

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bildet Elemente aus $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ab.

Und das war es, was ich mir fast gedacht habe. $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bezeichnet hier mitnichten eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Vielmehr ist das so definiert, wie du es in deinem ersten Beitrag zitiert hast. $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist hier eine Mengenabbildung. Sie ordnet jedem Unterraum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ denjenigen Unterraum $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ zu, der aus den Urbildern der Elemente von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ besteht.

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f: \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \, , \ \ f(x_1,x_2,x_3) = (x_2,x_1+x_2+x_3) \end{eqnarray*}$

Was ist nun $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ für den von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ erzeugten Unterraum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2008, 08:54

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

Danke für die erleuchtenden Worte.

Zu deinem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} | x_2=0\} \end{eqnarray*}$

Gruß

03.05.2008, 12:43

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)=\{ \tilde x\in V | f(\tilde x) \in X \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y)=\{ \tilde y\in V | f(\tilde y) \in Y \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(X+Y)=\{ \tilde z\in V | f(\tilde z) \in X+Y \} \end{eqnarray*}$

Wir zeigen:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(X+Y) \end{eqnarray*}$ ist der größte Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , der in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)+f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

$\begin{eqnarray*} X,Y,X+Y\leq imf, X,Y\subseteq X+Y \end{eqnarray*}$

Seien $\begin{eqnarray*} \tilde x \in f^{-1}(X), \tilde y \in f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f(\tilde x)\in X, f(\tilde y)\in Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(\tilde x+\tilde y)=f(\tilde x)+f(\tilde y) \in X+Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \tilde x+\tilde y \in f^{-1}(X+Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(X)+f^{-1}(Y)\subseteq f^{-1}(X+Y) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum, der in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)+f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ enthalten ist, $\begin{eqnarray*} U'= U + kerf \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U'\subseteq f^{-1}(X)+f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(U')\subseteq f(f^{-1}(X)+f^{-1}(Y)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(U')\subseteq X+Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U\subseteq U'= f^{-1}(f(U'))\subseteq f^{-1}(X+Y) \end{eqnarray*}$

Also enthält $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X+Y) \end{eqnarray*}$ jeden Unterraum, der in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)+f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}(X+Y)=f^{-1}(X)+f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$

Gruß

04.05.2008, 21:31

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, das stimmt. Ist aber etwas mühsam. Warum machst du es nicht so:

$\begin{eqnarray*} \text{zu zeigen:} \ \ f^{-1}(X+Y) \subseteq f^{-1}(X) + f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$

Sei dazu $\begin{eqnarray*} \tilde{z} \in f^{-1}(X+Y) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(\tilde{z}) \in X+Y \end{eqnarray*}$ .

Es gibt dann $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\tilde{z}) = x + y \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zum Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gehören, kann man $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{y} \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} f(\tilde{x}) = x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\tilde{y}) = y \end{eqnarray*}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \in f^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{y} \in f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ . Und das ist schon fast, was wir suchen. Wenn jetzt nämlich $\begin{eqnarray*} \tilde{z} = \tilde{x} + \tilde{y} \end{eqnarray*}$ gälte, wären wir fertig. Da sind wird aber nicht sicher. Immerhin ist aber klar, da die Bilder der beiden Seiten dieselben sind, daß die Differenz im Kern liegen muß:

$\begin{eqnarray*} \tilde{x} + \tilde{y} + u = \tilde{z} \ \ \text{mit einem} \ u \in \operatorname{Kern}(f) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ kann man jetzt aber zu $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} \tilde{y} \end{eqnarray*}$ ) ziehen, ohne die Eigenschaft, dem Unterraum $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ ) anzugehören, zu verlieren. Nehmen wir $\begin{eqnarray*} \tilde{x}' = \tilde{x} + u \end{eqnarray*}$ . Das zeigt:

$\begin{eqnarray*} \tilde{z} = \tilde{x}' + \tilde{y} \in f^{-1}(X) + f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$

04.05.2008, 21:38

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir vielmals für das Drübersehen.
Ich habe die Beweistechnik aus der Vorlesung, als wir die Schnitte diskutiert haben, da wurde das ähnlich bewiesen.

Gruß

Neue Frage »

Antworten »

Summenbildung

Verwandte Themen