funktionsscharen

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simmizi Auf diesen Beitrag antworten »
funktionsscharen
hallo!
bis anfang letzter woche haben wir in mathe kurvendiskussionen von gebrochen rationalen funktionen durchgenommen und ganz plötzlich haben wir jetzt mit einem neuen thema angefangen, das ich überhaupt nicht verstehe.
ich habe hier mal drei aufgabenteile...es wäre nett wenn ihr mir sagen könntet wie ich zum lösen vorgehe und warum ich das so machen muss.

Die Funktion lautet: fa(x)=x^3-3a²x a ist element von allen positiven rationalen zahlen, eingeschlossen 0

Für welchen wert a
a.)ist die 2te winkelhalbierende Tangente im Ursprung
b.)liegen die extrempunkte auf der 2ten winkelhalbierenden
c.)ist die tangente im schnittpunkt mit der positiven x-achse parallel zur ersten winkelhalbierenden

diese arbeit habe ich schon geleistet:
Nullstellen:
N1(0|0),N2(wurzel(3)a|0)

Extremstellen:
H(-a|2a^3)
T(a|-2a^3)

hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen!
vielen dank!
simmizi
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »



wie man sieht gibt es DREI nullstellen, zwei davon hast du ja gefunden.

trivialerweise:
und dann natürlich noch die BEIDEN lösungen von .


nullstellen sind bei + / - a wie du richtig erkannt hast.
aber der dazugehörige y-wert kann ned ganz stimmen.

soviel dazu Augenzwinkern

also nachdem die basis schonmal korrigiert ist, gehen wir mal die drei aufgaben an.

hast du schon nen ansatz dafür gemacht ?

was bedeutet des was da steht ?
was für infos werden dir da gegeben ?

schreib dir des mal alles raus!
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe auch die dritte gefunden allerdings war die nullstellenberechnung auch noch eine aufgabe die ich schon alleine gemacht habe und bei der man nur die nullstellen auf der positiven x-achse beachten sollte...daher fehlt eine

okay ich fang mal an:
a.)informationen: unsere funktion lautet fa(x)=x^3-3a²x und die der winkelhalbierenden y=(-x) und sie soll tangente in p(0|0) sein

b.)informationen: funktion der 2ten winkelhalbierenden lautet y=(-x) und unsere extrempunkte der funktion fa(x)=x^3-3a²x lauten H(-a|2a^3) und T(a|-2a^3)

c.)verstehe ich überhaupt nicht aber wenn sie parallel sind müssen ja beide die gleiche steigung haben und wenn es sich um den schnittpunkt mit der x-achse handelt, muss y an dieser stelle 0 sein



tut mir leid ich kann aus sowas nichts erkennen und selbst wenn ich informationen aus sowas ziehen kann, weiß ich nicht was ich damit machen muss
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

naja des is ja schonmal die halbe miete wenn du diese infos rausgezogen hast!

wenn du weisst das die winkelhalbierende im ursprung die tangente sein soll, dann bedeutet das ja, das die steigung dort gleich -1 sein muss..

na machst klick ? tipp: f'(x) ...
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

nein es macht leider nicht klick...was hat das ganze denn mit der ersten ableitung zutun?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ich geh davon das du weisst das die erste ableitung die steigung angibt, und dass steigung einer funktion gleich der tangente an dem punkt ist.

somit ist die steigung der tangente gleich der ersten ableitung.

das bedeutet das an der stelle 0 die erste ableitung gleich -1 sein muss..

das bedeutet f'(0)=-1..

dann musste nurnoch die werte für a ausrechnen für die des gilt und die erste aufgabe wäre gelöst.

mach das doch bitte mal !
 
 
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

nein das ist mir nicht bewusst...und ich habe auch keine ahnung wo ich da jetzt was nach a auflösen soll....ich kenne doch jetzt nur die ausgangsgleichung, die gleichung der 2ten winkelhalbierenden, den punkt(0|0) und wie du jetzt sagst die steigung -1 für die winkelhalbierende in diesem punkt.

aber die erste ableitung kann doch nicht die steigung für jeden punkt des graphes sein?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

doch, da du ja für die erste ableitung eine funktion rausbekommst, die sich auch ändert.

habt ihr das wirklich noch nicht gemacht ?
ich dachte immer so wird in der schule die differentialrechnung eingeführt *wunder*

naja, etz weisst dus: Die erste Ableitung gibt die steigung der Funktion an.

hier haste:
das ja der punkt 0 sein soll:


und DAS musst du auflösen.


hast du verstanden warum ?
wenn nein, dann frag lieber noch 4 mal nach, weil das ist sehr wichtig, und du wirst es noch einige male brauchen .. zumbeispiel für die nächsten zwei aufgaben!
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

also ich ermittle die steigung der ursprungsfunktion, indem ich die erste ableitung bilde...die lautet: fa'(x)=3x²-3a²
und danach muss ich für x null einsetzen, da ich die steigung im punkt x=0 (also bei P(0|0)) haben will...dadurch erhalte ich eine steigung für die ausgangsfunktion bei x=0 (also im ursprung) von -3a²

danach ermittle ich die steigung der 2ten winkelhalbierenden, indem ich y=(-x) ableite und erhalte -1......es gibt kein x mehr wo ich null einsetzen kann, darum gehe ich davon aus, dass die steigung immer -1 ist...auch im ursprung

jetzt setze ich die steigungen gleich und löse nach a auf....indem ich das mache gucke ich welches a ich brauche, damit die setigungen von der 2ten winkelhalbierenden und der ausgangsfunktion gleich sind.

also rechne ich:
-3a²=-1 |*(-1)
3a²=1 |/3
a²=(1/3) |wurzel
a=sqrt(1/3)

A: bei a=sqrt(1/3) ist die 2te winkelhalbierende tangente im ursprung

ist das so richtig und vor allem auch richtig erklärt oder ist das falsch formuliert?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

naja, paar ungenauigkeiten sind dabei:

" im punkt x=0 "
man sagt "stelle x=0" oder "punkt P(x,y)"
dann ist des natürlich seehr ausführlich.
da die 2te WH eine gerade ist, ist die steigung natürlich konstant.

und dann noch ein böser (weil überflüssiger und damit nerviger) fehler zum schluss:



die zweite lösung nicht vergessen .. solche schussligkeiten kosten wertvolle punkte !!!

ansonsten isses richtig und auch gut erklärt.

dann mal ran an die b)

die funktionsvorschrift für die 2te winkelhalbierende lautet y=-x.
was muss daher für alle punkte gelten die auf ihr liegen ?
was bedeutet das für die extrempunkte ?

servus
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst als 2te lösung -sqrt(1/3)
was hat diese programm-code-box zubedeuten in deinem letzten thread?

okay nun zu b.)
informationen: funktion der 2ten winkelhalbierenden lautet y=(-x) und unsere extrempunkte der funktion fa(x)=x^3-3a²x lauten H(-a|2a^3) und T(a|-2a^3)

war das mit schnittpunkten bzw. gemeinsamen punkten igrendwas mit gleichsetzen?
demnach würden wir folgende situation haben:
x^3-3a²x=-x
jetzt muss man noch irgendwie unsere extrempunkte miteinbringen....ich meine man musste irgendwie den x-wert (x-koordinate) für x einsetzen....also dass aus x=-a bzw. x=a wird
dann lösen wir nach a auf....
(-a)^3-3a²*(-a)=a
(-a)^3+3a^3-a=0
2a^3-a=0
a(2a²-1)=0
a=0 v 2a²-1=0 |+1 |/2
a=0 v a²=0,5 |sqrt
a=0 v a=sqrt(0,5) v a=-sqrt(0,5)

A: Wenn a den Wert 0;sqrt(0,5);-sqrt(0,5) annimmt, liegen die extrempunkte auf der 2ten winkelhalbierenden.

ich meine das ging so allerdings weiß ich nicht so recht, was man da genau macht....wäre dankbar wenn du es mir genauer erläutern könntest....

kann leider erst morgen abend wiederkommen aber ich würde mich sehr freuen wenn wir dann c gemeinsam erarbeiten könnten....hoffe dass ich es dienstag bei der klausur dann wenigsten halbwegs drauf hab....es macht nämlich etwa die halbe arbeit aus...
bis morgen dann!
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

da ich gerade ne menge freistunden habe, wage ich mich mal an c.) ran...
also man weiß, dass die steigung der ursprungsfunktion und der der tangente in diesem punkt gleich sind...und dass der schnittpunkt mit der positiven x achse bedeutet, dass dort y=0 ist....

unsere nullstelle lautet N(sqrt(3)*a|0)

nur wie muss ich dass jetzt wieder zusammen bringen um a zu errechnen?
das ist mein größtes problem...ich weiß einfach nicht wie ich sowas dann zusammensetzen muss.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Steigung hat denn die Winkelhalbierende?
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

aufgabenteil c.) beschäftigt sich doch gar nicht mehr mit der winkelhalbierenden?!?
und die steigung der tangente kennen wir ja nicht
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionsscharen
Zitat:
Original von simmizi
Für welchen wert a
c.)ist die tangente im schnittpunkt mit der positiven x-achse parallel zur ersten winkelhalbierenden
simmizi

Habe ich da was falsch verstanden? Die erste Winkelhalbierende ist doch die Gerade y=x oder habt ihr eine andere Definition?
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt du hast recht....da habe ich was falsch verstanden...
also dann mauss die steigung der tangente...genau wie die winkelhalbierenden 1 sein...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

genau! Freude
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

aber wie setze ich diese informationen jetzt geschickt zusammen?
ich weiß nicht wie ich diese informationen verarbeiten muss...

wir wissen doch jetzt:
1(steigung)=3x^2-3a²(erste ableitung)

aber wie bringe ich die nullstellen mit rein und die ableitung der winkelhalbierenden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du denn jetzt mit der Ableitung der Winkelhalbierenden? verwirrt
Setz doch für x den x-Wert der Nullstelle ein und berechne das a passend.
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

ich dachte ja nur...schließlich arbeiten wir ja auch mit der ableitung der ursprungsfunktion
1=3x^2-3a² |x=sqrt(3)*a
1=3*sqrt(3)*a-3a²
1=6a² |/6 |sqrt
sqrt(1/6)=a v -sqrt(1/6)=a

A:die tangente im schnittpunkt mit der positiven x-achse ist parallel zur ersten winkelhalbierenden wenn a=sqrt(1/6) oder a=-sqrt(1/6).

so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so. Allerdings fehlt ein Quadrat in der 2. Zeile. Und sollte das a nicht positiv sein?
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt hab ich schon wieder so blöde aufgaben bekommen...
eine funktionsschar ist a element R \{0}
fa(x)=ax^3+x²-(x/a)
a.)zeige, dass jeder zugehörige Graph genau 3 schnittpunkte mit der x-achse hat
b.)zeige, dass jeder graph genau einen hoch und einen tiefpunkt hat und bestimme diese punkte...

a.)also ich würde jetzt erstmal die funktion 0 setzen
0=ax^3+x²-(x/a)
0=x(ax²+x+(1/a)
x=0 v ax²+x+(1/a)=0 |/a
...???

aber wie kann ich jetzt zeigen, dass es immer 3 gibt?

b.)erstmal die erste ableitung o setzen
0=3ax²+2x-(1/a)
wie es jetzt weitergehen soll weiß ich nicht....durch 3a teilen?

edit: ja du hast recht...a ist element von R+.......quadrat hab ich vergessen aber das ergebnis müsste trotzdem stimmen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von simmizi
a.)also ich würde jetzt erstmal die funktion 0 setzen
0=ax^3+x²-(x/a)
0=x(x²+x+(1/a)

Hast du da nicht ein Vorzeichenfehler drin?

Bei b: nach x auflösen, das ist eine simple quadratische Gleichung.
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt...es muss in der 2ten zeile -(1/a) heißen....aber meine rechnung ist sowieso falsch,da ich das a im 2ten rechenschritt vergessen habe....
und wenn noch ein ax² da steht weiß ich nicht wie ich es lösen kann, da wenn ich durch a teile ich dann plötzlich ein (x/a) hätte....
alles sehr sehr seltsam

b.)das selbe problem hab ich auch hier...
0=3ax²+2x-(1/a) |/3a
0=x²+(2x/3a)-((1/a)/3a))
was soll denn das sein?...das kann man doch auch gar nicht in die p.q.formel einsetzen
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

nat[rlich kannst du das in die p/q/Formel einsetyen. bekommst dann halt nur x/Werte in Abhaengigkeit von a heraus.
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

0=x²+(2x/3a)-((1/a)/3a))

p=(2/3a)
q=-((1/a)/3a))

so oder wie?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

jup, so haette ich das gemacht.


und wie sieht das im Ergebnis aus??
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

bei a.) habe ich
x=0 v x=-((1/a)/2)+sqrt(((1/a)²/4)+(1/a²)) v x=-((1/a)/2)-sqrt(((1/a)²/4)+(1/a²))

b.) rechne ich jetzt
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

bei b.)
x=-((2/3a)/2)+sqrt(((2/3a)²/4)+((1/a)/3a)) v x=-((2/3a)/2)-sqrt(((2/3a)²/4)+((1/a)/3a))

nehmen wir mal an ich setze dies in die 2te ableitung ein....dann erkenne ich doch nicht, ob es ein hochpunkt oder tiefpunkt gibt....wie soll ich das also beweisen?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

also yu a( sieht richtig aus. wenn du dich dann auch bitte noch einmal mit dem LATEX-Code vertraut machen koenntest, denn bei groesseren Formel etc. wird das sonst ziemlich unuebersichtlich.

und bitte die editfunktion benutzen.Willkommen

edit also wenn ich meins in die 2.Ableitung einsetey, dann kuerzen sich bei mir die Parameter a weg.

vereinfache doch erst einmal deine unuebersichtlichen gleichungen.
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar werd ich machen....kenne nur noch nicht alle funktionen in diesem board

wie kann ich denn jetzt beweisen, dass egal bei welchem a es immer 3 schnittpunkte gibt?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

drei schnittpunkte der ausgangsfunktion mit dem graphen??

du hast doch ganz einfach jedes mal die funktion gleich 0 zusetzen und dann nach x aufzuloesen.

schau noch mal in meinen vorangegangenen thread rein.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von simmizi
bei a.) habe ich
x=0 v x=-((1/a)/2)+sqrt(((1/a)²/4)+(1/a²)) v x=-((1/a)/2)-sqrt(((1/a)²/4)+(1/a²))

Das mal mit Latex:

Hast du das mal vereinfacht?
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

a.) vereinfacht
und x=0
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

edit> das ist noch nicht vereinfach. du kannst im Radikanten noch etwas ausklammern.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und was soll das x=0 dahinten dran? verwirrt
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

sowas konnte ich noch nie....kann man ausklammern?




edit: die 0 ist eine andere nullstelle, die bei der berechnung zuvor herausgekommen ist
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

sie ist doch jetzt bei den Nullstellen der ausgangsfunktion und da ist das ohne weiteres moeglich. das x-0 eine Nullstelle ist.


at simi: richtig das ausklammern und nun auch noch den radikanten vereinfachen, indem du aus 1|a`2 die wuryel ziehst
simmizi Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK mit x=0, sah irgendwie komisch aus.
In würde ich erstmal den Ausdruck unter der Wurzel auf Hauptnenner bringen und dann die Wurzel in Zähler und Nenner ziehen.

Zu dem davor: jetzt ist genau das passiert, was ich befürchtet habe. Du hast die Wurzelgesetze mißachtet.

@brunsi: ich bin schon seit einiger Zeit daran. Wäre nett, wenn du dich etwas zurückhältst. Augenzwinkern
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