wieder einmal konvergenz...

11.12.2005, 19:32

glocke

wieder einmal konvergenz...

hallo

folgende aufgabe wurde mir gestellt:

sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \end{eqnarray*}$

konvergiert.

Quotientenkriterium funktioniert leider nur, wenn strenge Monotonie gegeben wäre, und die suche nach einer passenden Majorante war bis jetzt erfolglos...

11.12.2005, 22:17

Mathespezialschüler

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Hallo!
Ich nehme an, dass alle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ positiv sein sollen oder?

Gruß MSS

11.12.2005, 23:03

glocke

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darüber wird keine aussage getroffen...

11.12.2005, 23:27

Mathespezialschüler

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Dann ist die Aussage falsch, wie man an $\begin{eqnarray*} a_n=-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sieht.

Gruß MSS

11.12.2005, 23:32

glocke

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Vorraussetzung: $\begin{eqnarray*} a_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty}(a_n)=A=\lim_{N \to \infty}(a_{n+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~(\frac{a_{n+1}}{a_n})-1= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~(\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n})\leq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~(\frac{a_{n+1}-a_n}{a_1})= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1}\sum_{1=1}^N~(a_{n+1}-a_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{a_1}(a_{N+1}-a_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty}\frac{1}{a_1}(a_{N+1}-a_1)=\frac{1}{a_1}(A-a_1) \end{eqnarray*}$

damit habe ich eine Majorante, das Ding konvergiert, also konvergiert meine Reihe ebenfalls.

irgendwas übersehen ?

11.12.2005, 23:48

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Nein, MSS liegt richtig: Sein Beispiel ist tatsächlich ein Gegenbeispiel für deine Aussage. Ich nehme auch an, dass die Folge positiv sein soll, zumindest ab einem gewissen Index.

12.12.2005, 00:23

Mathespezialschüler

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Natürlich hast du was übersehen. Was bringt dir deine Abschätzung? Majoranten kann man nur für Reihen mit positiven Gliedern angeben. Bei negativen Glieder gilt dein Beweis nicht.

Gruß MSS

12.12.2005, 00:31

glocke

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Richtig

habe es mir noch vor 4 Stunden unterstrichen. Hammer

Dennoch DankeSchön für die Fackel in der Dunkelheit

14.12.2005, 00:55

glocke

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ich muß noch etwas nachtragen:

@MSS

Dein Gegenbeispiel ist selbstverständlich über alles erhaben, aber Dein Argument bzgl. der Majorante zweifle ich an.
der Teil $\begin{eqnarray*} (a_{N+1}-a_1) \end{eqnarray*}$ ist immer nicht-negativ, das folgt aus der Monotonie. Ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1} > 0 \end{eqnarray*}$ steht meine Majorante und sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1} < 0 \end{eqnarray*}$ sein, so gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_1}(a_{N+1}-a_1)<(a_{N+1}-a_1) \end{eqnarray*}$ . In diesem fall ist diese meine Majorante.
Dies sollte richtig sein, weil die Folge $\begin{eqnarray*} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \end{eqnarray*}$ >= 0 für genügend große n ist. (editiert)

14.12.2005, 08:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von glocke
Dies sollte richtig sein, weil die Folge $\begin{eqnarray*} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \end{eqnarray*}$ immer >= 0 ist.

Woher weißt du das? verwirrt

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}-1 = \frac{a_{n+1} - a_n}{a_n} \end{eqnarray*}$
Der Zähler ist wegen der steigenden Monotonie >= 0. Aber der Nenner?

14.12.2005, 12:32

glocke

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RE: wieder einmal konvergenz...
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}>=1 \end{eqnarray*}$ für genügend große n (insofern nicht für alle n Augenzwinkern

)

14.12.2005, 12:52

klarsoweit

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RE: wieder einmal konvergenz...
Bitte nochmal: woraus folgerst du das? verwirrt

Siehe auch das Beispiel a_n = -1/n.

14.12.2005, 12:56

20_Cent

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die folge ist monoton wachsend.
also ist

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\ \geq\ a_n \end{eqnarray*}$

wenn man davon ausgeht, dass die vorzeichen gleich sind, dann ist der quotient immer größer gleich 1.

mfg 20

14.12.2005, 12:59

klarsoweit

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Genau das eben nicht. Da man über das Vorzeichen von a_n nichts weiß, kann es auch negativ sein. Wenn a_n < 0 ist, kehrt sich beim Dividieren durch a_n das Vorzeichen um!

Wie wärs mit: erst denken, dann posten? Augenzwinkern

14.12.2005, 13:04

20_Cent

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Beipiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{5}=\frac{-10}{-5}=2\ \geq\ 1 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} 10\ \geq\ 5 \end{eqnarray*}$

oder nicht??
mfG 20

PS: wie gesagt, das ganze gilt nur, wenn alle glieder ab einem bestimmten n positiv oder negativ sind.
Aber davon gehe ich bei einer monoton wachsenden folge ja wohl aus...

14.12.2005, 13:09

glocke

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wenn alle folgenglieder < 0 sind ist die angelegenheit einfach.
genauso für den fall > 0. wechseln die folgenglieder unterwegs das vorzeichen, so existiert ein index n, ab dem die folgenglieder alle positiv sind, und ab diesem index baue ich meine partialsumme auf.

14.12.2005, 13:09

klarsoweit

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Ist das denn so schwer? Oder rede ich gegen den Wind? verwirrt

Nehme a_n = -1/n. Die wächst monoton.
a_3 = -1/3 a_4 = -1/4
a_4 / a_3 = 3/4 < 1 !!!
Und da kann man das n noch so groß wählen. Der Quotient bleibt immer < 1.

14.12.2005, 13:11

20_Cent

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ich sollte mehr schlafen...
mfg 20

edit: oder auf meine signatur achten...

14.12.2005, 13:12

glocke

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ich habe doch vorhin gepostet, daß (a_n):=-1/n über alle zweifel erhaben ist...

so nebenbei: gibt es noch mehr solche folgen ? (keine derivate) die sich dem wiedersetzen ?

14.12.2005, 13:18

klarsoweit

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Es geht doch darum, daß an deinem Beweis etwas nicht stimmt. Entweder ist da eine falsche Umformung oder eine falsche Abschätzung (meine Vermutung), die nur dann gelten, wenn noch weitere Bedingungen an das a_n geknüpft werden.
Im Prinzip widersetzen sich alle Folgen, die dauerhaft negative Folgenglieder haben.

14.12.2005, 13:42

glocke

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vielleich habe ich am wochenende genügend zeit, um den fehler zu finden. es scheint wirklich so zu sein wie du behauptest. (a_n):=-1/n^2 funktioniert ebenfalls nicht (zumindest behauptet mathematica das). wenn ich weiß, wo der hase im pfeffer liegt, stelle ich es hier rein.

14.12.2005, 14:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von glocke
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~(\frac{a_{n+1}}{a_n})-1= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~(\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n})\leq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~(\frac{a_{n+1}-a_n}{a_1}) \end{eqnarray*}$

irgendwas übersehen ?

Die folgende Abschätzung muß man schon mit Vorsicht genießen:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n} \leq \frac{a_{n+1}-a_n}{a_1} \end{eqnarray*}$
Da du nichts über das Vorzeichen der a_n weißt, kann diese schon falsch sein, wenn a_n und a_1 unterschiedliches Vorzeichen haben.

Im Grunde geht es um die Konvergenz von folgender Partialsumme:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n} \end{eqnarray*}$
Wenn a_n negativ ist und monoton steigt, dann besteht die Partialsumme aus negativen Summanden. Die Folge der Partialsummen ist also monoton fallend. Für die Konvergenz der Partialsumme brauchst du also eine konvergente Minorante, nicht Majorante!.

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