Eigenwert und Eigenvektor

20.04.2004, 14:49	Joda	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert und Eigenvektor Hallo zusammen! Mein Prof kam heute mit folgendem: "Sei $\begin{align} P_2 c \calR [X] \end{align}$ der Vektorraum der Polynome vom Grad $\begin{align} \leq 2 \end{align}$ und $\begin{align} D : P_2 -> P_2 \end{align}$ der lineare Endomorphismus $\begin{align} f -> X^2 \frac{d^2f}{dX^2} + X \frac{df}{dX} \end{align}$ . D hat Eigenwerte und Eigenvektoren. Diese können Sie sich ja selber suchen..." Könnt ihr mir da helfen?
20.04.2004, 16:19	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Du macvhst den Ansatz f(x)=ax^2+bx+c und erhältst aus der EW-Gleichung $\begin{align} Df=\lambda f \end{align}$ die Bedingung $\begin{align} \lambda (ax^2+bx+c ) = x^2 (2a)+ x(2ax+b) \forall x\in \calR \end{align}$ Koeffizientenvergleich erledigt den Rest... Liebe Grüße Mario Edit vom Ben: Hab die Formeln mal etwas lesbarer gemacht.
20.04.2004, 16:29	Joda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähh, sorry, aber was???????? Ich verstehe davon gerade gar kein Wort. Stehe ich mal wieder auf der Leitung, oder warum verstehe ich das nicht??
20.04.2004, 16:55	CalcDesaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe. Knapp und präzise. Etwas langsamer ist: Raum der Polynomfunktionen wird durch die $\begin{align} x^0,x^1,x^2 \end{align}$ aufgespannt also gehören dazu alle $\begin{align} f(x)=ax^2+bx+c \end{align}$ Was der Endomorphismus mit dem Vektor(Funktion) anstellt steht ja in der Aufgabe. Eigenwerte werden von der Abbildung nur um einen Faktor geändert also ist zu lösen: $\begin{align} Df(x)=\lambda f(x) \end{align}$ wie das geht schreibt Mario schon Hehe war bissl lasch, hoffentlich liest das kein anständiger Mathematiker
20.04.2004, 18:42	Joda	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau meinst du hier mit Koeffizientenvergleich? Den Anfang konnte ich jetzt schon nachvollziehen. Und was muß ich machen, um die Eigenvektoren zu erhalten?
20.04.2004, 18:53	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weisst doch, was Koeffizienten sind. Koeffizientenvergleich basiert auf der Regel, dass Polynome dann und nur dann gleich sind, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. (Denn die Monome 1,X,X^2 bilden eine Basis des Polynomvektorraumes.) Um die Eigenvektoren zu erhalten, rechnest du erst die Eigenwerte aus und dann löst du das Gleichungssystem $\begin{align} D f(x)=\lambda f(x) \end{align}$ , wobei lambda einer der Eigenwerte ist und das Polynom f(x) die Unbekannte ist (Koeffizientenvergleich).
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