Durchschnittliche Entfernung zwischen n Punkten in einem Kreis

13.12.2005, 09:48

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well

Durchschnittliche Entfernung zwischen n Punkten in einem Kreis

Guten Morgen,

ich habe einen Kreis mit dem Radius r. In dem Kreis befinden sich n gleichverteilte Punkte.

Zwischen allen Punkten bestehen Geraden. Wie ist die durchschnittliche Länge der Geraden?

13.12.2005, 10:05

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brunsi

RE: Durchschnittliche Entfernung zwischen n Punkten in einem Kreis

was hast du dir denn schon selbst überlegt? hast du schon eine skizze gemacht, die du posten könntest?

13.12.2005, 13:01

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well

Hallo brunsi,

das einzige was ich mir herleiten konnte ist, dass die durchschnittliche Enternung vom Kreismittelpunkt zu allen anderen Punkten 2/3*r beträgt. Diesen Wert erhalte ich aus der Entfernung y zwischen Kreismittelpunkt und dem Schwerpunkt bei einem Kreisausschnitt:
$[latex]y= \frac{2r*sin(\frac{\alpha}{2})* 180}{3*\pi *\frac{\alpha}{2}} [/latex]$

Wobei alpha der Winkel des Kreisausschnittes ist. Wenn ich den Winkel unendlich klein setze (was einer Gerade entspricht) ergibt diese Formel 2/3*r.

Ich habe selbst noch rumgedockert und sehe die Lösung wie folgt:

Der Ansatz in meinem Vorbeitrag erscheint mir sinnvoll. Auf der Schwerpunktlinie des Kreises, die - wie bereits berechnet - den Radius 2/3 r hat, liegen die "repräsentativen" Punkte des Kreises. Auf dieser Basis sollte sich das gesuchte Ergebnis aus dem Mittelwert der Entfernungen zwischen den Punkten auf der Schwerpunktlinie ergeben. Die Strecke s zwischen zwei Punkten eines Kreisbogens beträgt (gemäß Blick in meine Formelsammlung):

$[latex]s=2*r*\sin(\frac{\alpha}{2})[/latex]$

Da wir den Schwerpunktradius betrachen gilt:

$[latex]s=2*2/3*r*\sin(\frac{\alpha}{2})[/latex]$

bzw.

$[latex]s=4/3*r*\sin(\frac{\alpha}{2})[/latex]$

Jetzt könnte ich $[latex]\alpha=45[/latex]$ als "repräsentiv" für die mittlere Entfernung zwischen den Punkten nehmen. Das ergibt bei einem Kreisradius von r=1 (respektive Schwerpunktradius von 2/3) s=0,943.
Ich operiere gerne mit Excel und wenn ich für unzählige Winkel $[latex]\alpha[/latex]$ s berechne, ergibt sich als Durchschnittswert 0,849.

Somit behaupte ich, dass die durchschnittliche Länge der Geraden zwischen n gleichverteilten Punkten in einem Kreis (mit dem Radius r) 0,849 r beträgt.

Stimmt meine Behauptung? verwirrt

verwirrt

EDIT: Doppelpost zusammengefügt. Bitte benutze die «EDIT-Funktion»

13.12.2005, 14:13

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schnudl

Die Länge der Sekante unter dem Winkel $[latex]\alpha[/latex]$ ist
$[latex]l(\alpha) = \sqrt 2 r \sqrt{1-cos \alpha}[/latex]$

Die mittlere Länge derselben ist

$[latex]\bar l = \frac{\int_0^{2\pi}l(\alpha) d\alpha}{2\pi}[/latex]$

Ausintegriert über $[latex]\alpha[/latex]$ ergibt dies ...

** keine Komplettlösung **
aber jedenfalls nicht die oben beschriebene Lösung

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13.12.2005, 14:23

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Frooke

@schnudl: Bitte das nächste Mal keine Komplettlösungen Gott

Gott

13.12.2005, 15:00

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well

geschockt

Bedeutet "** keine Komplettlösung **" das Frooke den Beitrag von schnudl entsprechend gekürzt hat?

Sehr seltsames Gebahren! Möglicherweise geschieht es didaktischen Gründen. Ich bin jedoch kein Schüler, nicht mal Student!
Insofern ist es überflüssig Antworten an mich zu zensieren.

13.12.2005, 15:03

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20_Cent

naja, es dient eher dazu, dass man sich gedanken machen soll, selber auf die lösung kommen soll...
hilft dir schnudl's tipp denn weiter?
mfg 20

13.12.2005, 15:20

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well

Hallo 20 cent,

Schudl's Sektantenformel ist identisch mit meiner, ausser das er mit dem cos und ich mit dem sin arbeite.

Interessant ist für mich der Ansatz das Integral von 0 bis $[latex]2\pi [/latex]$ zu bilden und durch $[latex]2\pi [/latex]$ zu teilen. Das kann ich nicht ausrechnen. Integrale sind für mich unbekanntes Terrain.

Wenn Schnudl's Ansatz stimmt, würde es mich wundern, wenn nicht das gleiche Ergebnis wie bei mir herauskommt. Ich würde sein Ergebnis jedoch gerne sehen.

13.12.2005, 15:26

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20_Cent

mmh...
wenn man das integral löst (zugegeben, ist etwas komplizierter, wenn du integrale nicht kennst...), dann kommt

$[latex]\frac{4r}{\pi}[/latex]$

raus, wenn ich mich nicht irre...
hilft dir das?

mfG 20

13.12.2005, 15:37

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riwe

oder die hälfte???
werner

13.12.2005, 15:43

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schnudl

Zitat:

Original von 20_Cent... dann kommt

$[latex]\frac{4r}{\pi}[/latex]$

raus, wenn ich mich nicht irre...
hilft dir das?

mfG 20

kann ich bestätigen !

Ich wüsste auf die Schnelle aber nicht wie man das ohne Inegral lösen kann. Mit trickreichem Vorgehen aber sicher möglich. Meine Lösung ist irgendwie der Standardweg für Fussgänger wo man nicht viel nachdenken muss...

13.12.2005, 15:47

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schnudl

Zitat:

Original von well
geschockt

geschockt

Bedeutet "** keine Komplettlösung **" das Frooke den Beitrag von schnudl entsprechend gekürzt hat?

Das hab ich selbst gekürzt. Das Integral auszurechnen sollte ja (für Eingeweihte) nicht das Problem sein...

13.12.2005, 16:08

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well

Vielen Dank 20 Cent, vielen Dank Schnudl!

Für r=1 ergibt $[latex]\frac{4r}{\pi }[/latex]$ 1,273. Multipliziert mit 2/3 ergibt sich 0,849, was exakt meiner Lösung entspricht. :-)

Ich habe die Sekantenformel 1800 mal in Excel angewendet und zwar von 0 bis 180 Grad in 0,1 Grad-Schritten und bildete daraus den Mittelwert.

Es wäre nett den Lösungsweg für das Integral hier reinzustellen, weil es mir den Anlass böte, mich mal ein wenig mit Integralen anhand eines Beispiels auseinander zu setzen.

An wernerrin: Wenn man das Integral von 0 bis $[latex]\pi [/latex]$ anstelle von 0 bis $[latex]2\pi [/latex]$ setzt, wäre das Integral m. E. durch $[latex]\pi [/latex]$ anstelle von $[latex]2\pi [/latex]$ zu teilen und das Ergebnis wäre das Gleiche?!

13.12.2005, 16:15

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20_Cent

ja, kommt das gleiche raus.
mfG 20

13.12.2005, 16:48

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riwe

@20cent: kannst du mir sagen, wo ich die 2 verliere?
$[latex]I=2\int_{0}^{2\pi}~sin\frac{\alpha}{2}~d\alpha =-4cos\frac{\alpha}{2}\mid _{0}^{2 \pi}=4[/latex]$
steh wohl auf der leitung oder so
danke schön
werner
ach gott, bin ich blöd! cos(pi)<> 0
hat sich erledigt, trotzdem, dankeschön

13.12.2005, 16:55

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20_Cent

der letzte schritt ist falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

$[latex]-4\cos{(\frac{2\pi}{2})}-(-4\cos{(\frac{0}{2}))}=4+4=8[/latex]$

mfg 20

edit: gut, hast es noch gemerkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.12.2005, 17:10

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schnudl

Für den Lösungsweg des Integrals: habe nur in Tabelle nachgeschaut...

13.12.2005, 17:28

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well

Herzlichen Dank für die Integrallösung der durchschnittlichen Sekantenlänge!

Was bleibt ist noch die prinzipielle Frage, ob die Annahme, dass die durchschnittliche Sekantenlänge bezogen auf die Schwerpunktlinie des Kreises tatsächlich dem durchschnittlichen Abstand aller Punkte im Kreis entspricht? verwirrt

verwirrt

Wer traut sich dazu was zu sagen?

13.12.2005, 17:41

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AD

Diese Annahme ist falsch. Ich habe auch gerade ein bisschen gerechnet, und habe als Integral für die tatsächliche durchschnittliche Streckenlänge (ist ja i.a. keine Sekante) folgendes raus:

$[latex]\frac{4r}{\pi} \int\limits_{t_1=0}^1 ~ \int\limits_{t_2=0}^1 ~ \int\limits_{\varphi=0}^{\pi} ~ t_1t_2\sqrt{t_1^2+t_2^2-2t_1t_2\cos\varphi} ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}t_2 ~ \mathrm{d}t_1[/latex]$

Der Integralausdruck ist von r unabhängig - wer kann den mal bitte ausrechnen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Im Ursprungsposting war von einer "Gerade" die Rede. Ich hab jetzt nicht alles hier durchgelesen, aber ich nehme einfach an, dass die Verbindungsstrecke der beiden zufälligen gleichverteilten Punkte gemeint ist. Oder doch die Länge der zugehörigen Sekante, also wenn die Verbeindungsgerade den Kreis schneidet? verwirrt

verwirrt

13.12.2005, 18:19

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well

Hallo Arthur,

ja, die Gerade ist die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten im Kreis.

Bist Du Dir sicher, dass das Ergebnis Deiner Formel ungleich $[latex]\frac{4r}{\pi}*\frac{2}{3}[/latex]$ sein wird?

Zugegeben: Ich bin überfordert Dein Integral zu lösen.

13.12.2005, 18:33

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Poff

Das Mittel über sämtliche Strecken in einer Strecke ist sicherlich
ungleich der Strecke. Damit sollte das Mittel aller Strecken ebenfalls
ungleich dem Mittel über parallele Sehnen sein.

13.12.2005, 19:02

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well

Hallo Poff,

es geht nicht um eine einzelne Strecke.

Es geht um einen Kreis mit (unzähligen) n Punkten. Diese Punkte sind allesamt miteinander verbunden, in Form von Geraden. Gesucht ist die mittlere Länge aus allen Geraden.

Der Ausflug zur Sekante konnte nur zustande, weil im ersten Schritt gesagt wurde, dass die Punkte auf der Schwerpunktlinie des Kreises als "repräsentativ" für alle Punkte im Kreis angesehen werden können. Setzt man dies voraus, ist "nur" noch der Mittelwert aller Strecken zwischen den Punkten auf der Schwerpunktlinie zu berechnen (und dafür wurde die Sekantenformel genutzt!) und mit 2/3 zu multiplizieren (weil der Radius der Schwerpunktlinie 2/3 des Kreisradius beträgt).

Alle Klar..., äh Unklarheiten beseitigt?

13.12.2005, 20:00

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Poff

Ich weiß, ich war auch nur drübergehuscht. Das mit der Multiplikation
mit 2/3 hab ich garnicht 'gesehen'.

Aber die Mittelwertbildung dürfte auch nicht stimmen. Das müsste

Pi/2 * r sein

und aus dem Rest halte ich mich mal raus,

13.12.2005, 20:38

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AD

Also wenn ich MuPad trauen darf, dann kommt hier

$[latex]\frac{4r}{\pi} \int\limits_{t_1=0}^1 ~ \int\limits_{t_2=0}^1 ~ \int\limits_{\varphi=0}^{\pi} ~ t_1t_2\sqrt{t_1^2+t_2^2-2t_1t_2\cos\varphi} ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}t_2 ~ \mathrm{d}t_1 = \frac{128}{45\pi}r[/latex]$

heraus.

P.S.: Auch MuPad hatte symbolisch die Waffen gestreckt, aber der numerisch ermittelte Wert des Integrals lag so verdammt nah an $[latex]\frac{32}{45}[/latex]$ , dass ich das einfach mal frech als Wert des Integrals genommen habe.

----------------
Ach ja, die Herleitung mal noch: Die genaue Verteilungsfunktion des Abstandes [latex]X[/latex]

[latex]X[/latex]

eines dieser Punkte [latex]P[/latex]

[latex]P[/latex]

vom Kreismittelpunkt [latex]M[/latex]

[latex]M[/latex]

ergibt sich aus der Gleichverteilung:

$[latex]F_X(x) = P(X<x) = \frac{\pi x^2}{\pi r^2} = \frac{x^2}{r^2}[/latex]$ für $[latex]0\leq x\leq r[/latex]$ ,

woraus dann auch die Dichte $[latex]f_X(x) = F_X'(x) = \frac{2x}{r^2}[/latex]$ folgt.

Betrachten wir nun zwei dieser Punkte [latex]P_1[/latex]

[latex]P_1[/latex]

und

[latex]P_2[/latex]

sowie den Winkel $[latex]\Phi = \overline{\angle P_1MP_2}[/latex]$ . Eine kurze Überlegung ergibt, dass dieser Winkel gleichverteilt in $[latex][0,\pi][/latex]$ ist, und dass $[latex]X_1,X_2,\Phi[/latex]$ paarweise unabhängig sind.

Wie groß ist nun die Länge der zugehörigen Verbindungsstrecke?

$[latex]L = l(X_1,X_2,\Phi) = \overline{P_1P_2} = \sqrt{X_1^2+X_2^2-2X_1X_2\cos\Phi}[/latex]$

Die durchschnittliche Streckenlänge ergibt sich nun gemäß

$[latex]E(L) &=& \int\limits_{x_1=0}^r ~ \int\limits_{x_2=0}^r ~ \int\limits_{\varphi=0}^{\pi} ~ l(x_1,x_2,\varphi) ~ f_{\Phi}(\varphi) f_X(x_1) f_X(x_2) ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}x_2 ~ \mathrm{d}x_1\\ &=& \int\limits_{x_1=0}^r ~ \int\limits_{x_2=0}^r ~ \int\limits_{\varphi=0}^{\pi} ~ \sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2\cos\varphi} \frac{4x_1x_2}{\pi r^4} ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}x_2 ~ \mathrm{d}x_1\\ &=& \frac{4r}{\pi} \int\limits_{t_1=0}^1 ~ \int\limits_{t_2=0}^1 ~ \int\limits_{\varphi=0}^{\pi} ~ t_1t_2\sqrt{t_1^2+t_2^2-2t_1t_2\cos\varphi} ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}t_2 ~ \mathrm{d}t_1[/latex]$

mit den Substitutionen [latex]x_1 = r t_1[/latex]

[latex]x_1 = r t_1[/latex]

und

[latex]x_2 = r t_2[/latex]

. Das mittlere Längenquadrat ist übrigens viel einfacher bzgl. der Integration:

$[latex]E(L^2) &=& \frac{4r^2}{\pi} \int\limits_{t_1=0}^1 ~ \int\limits_{t_2=0}^1 ~ \int\limits_{\varphi=0}^{\pi} ~ t_1t_2(t_1^2+t_2^2-2t_1t_2\cos\varphi) ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}t_2 ~ \mathrm{d}t_1 = r^2[/latex]$

13.12.2005, 21:02

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well

Hallo Arthur,

Freude

Freude

alle Achtung!

Zwischen Deinem Ergebnis und meinem liegen 6,6666666...% Unterschied. Vielleicht klingt die Frage blöd: Warum kommt gerade eine solche Abweichung zustande? (zwar keine gerade Zahl als Abweichung, aber doch aufällig...). verwirrt

verwirrt

Was hälst Du eigentlich von meinem Kniff, dass die Punkte auf der "Schwerpunktlinie" des Kreises die Verteilung sämtlicher Punkte im Kreis "repräsentieren" und dass deren mittlerer Abstand mit dem mittleren Abstand zwischen allen Punkten des Kreises identisch ist?

Dritte und letzte Frage: Was ist ein MuPad? :-)

13.12.2005, 21:12

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AD

Zitat:

Original von well
Was hälst Du eigentlich von meinem Kniff, dass die Punkte auf der "Schwerpunktlinie" des Kreises die Verteilung sämtlicher Punkte im Kreis "repräsentieren" und dass deren mittlerer Abstand mit dem mittleren Abstand zwischen allen Punkten des Kreises identisch ist?

Da hatte ich oben schon beantwortet:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Diese Annahme ist falsch.

Das liegt hauptsächlich daran, dass die gesuchte Streckenlänge (als dritte Dreiecksseite via Kosinussatz berechenbar, wie man in meiner Herleitung auch sieht) nichtlinear von den Mittelpunktentfernungen abhängt. Bei linearen Zusammenhängen hat man mit deiner Methode meist noch eine gute Chance, und kann das auch sauber begründen. Hier klappt das nicht.

Ach ja: Ein MuPad ist ein liebes Tierchen, das man mit Formeln füttert, und was dann Ergebnisse (wie z.B. Integrale) ausspuckt.

13.12.2005, 21:45

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well

Nochmal herzlichen Dank!!!

Hm..., ja, ...stimmt, der Kiff mit der Schwerpunktlinie ignoriert, dass ein nicht-linearer Zusamménhang vorliegt.

Dass es sich um genau 6,666666...% Abweichung zwischen den beiden Lösungen handelt, hat keine tiefere Bedeutung?

Nettes Tierchen, das MuPad ... (aber für mich wohl eine Nummer zu groß).

13.12.2005, 21:51

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Poff

Zitat:

Original von well
Vielleicht klingt die Frage blöd: Warum kommt gerade eine solche Abweichung zustande? (zwar keine gerade Zahl als Abweichung, aber doch aufällig...). verwirrt

verwirrt

schon interessant Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hätte Pi/4 * r als Ergebnis vermutet und das Merkwürdige daran
ist, dass 'dein' Ergebnis fast genau in der Mitte davon liegt.

(128/(45*Pi) + Pi/4) / 2 - 4/Pi * 2/3 = -0.0034198874

in Relation zu r (r=1) bedeutet das 4/Pi * 2/3 liegt um 0.34%
neben diesem Mittelwert .... Zufall oder Arthurs Ergebnis falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.12.2005, 22:38

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Frooke

Zitat:

Original von well
geschockt

geschockt

Bedeutet "** keine Komplettlösung **" das Frooke den Beitrag von schnudl entsprechend gekürzt hat?

Ich hab gar nichts gekürzt. Hat schnudl selbst gemacht! Und ich habe auch betont, bitte das nächste mal! Ich bin nie für das Zensieren bereits geschriebener Beiträge...

13.12.2005, 22:53

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AD

Zitat:

Original von Poff
Zufall oder Arthurs Ergebnis falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tja, ich ersuche ausdrücklich um Bestätigung oder Widerlegung von

$[latex]\int\limits_{t_1=0}^1 ~ \int\limits_{t_2=0}^1 ~ \int\limits_{\varphi=0}^{\pi} ~ t_1t_2\sqrt{t_1^2+t_2^2-2t_1t_2\cos\varphi} ~ \mathrm{d}\varphi ~ \mathrm{d}t_2 ~ \mathrm{d}t_1 \stackrel{?}{=} \frac{32}{45}[/latex]$

Selbst Mathematica geht bei der exakten Berechnung irgendwie in die Knie. Es rechnet schon ein paar Minuten und es ist noch kein Ende abzusehen... verwirrt

verwirrt

13.12.2005, 23:00

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20_Cent

hmm... derive spinnt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

das gibt (P) aus, wenn ich auf gleich drücke kommt p, danach immer nur noch p...
keine Ahnung, was das bedeutet, vielleicht weiß es einer?
mfG 20

14.12.2005, 21:16

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schnudl

vielleicht hätte ich gleich schauen sollen dass bei der Originalangabe stand

im Kreis

und nicht an der Kreislinie.

So hätten wir uns die ganze Sekantentheorie ersparen können

Trotzdem nette Spielerei...

smile

smile

smile

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