sin, tg, cos...

04.05.2008, 16:06

steffi86

sin, tg, cos...

Hallöchen an alle Wink

Ich weiß nicht recht, wie ich an diese Aufgabe gehen soll.

Aufgabe:

Finde Formeln, die $\begin{eqnarray*} \sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \cos(\gamma) \end{eqnarray*}$ ;

$\begin{eqnarray*} \tan(\gamma) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cot(\gamma) \end{eqnarray*}$ aus der Größe

$\begin{eqnarray*} t:=tan \frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ berechnen.

04.05.2008, 16:12

therisen

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$\begin{eqnarray*} \gamma=2\arctan t \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \sin(\gamma)=\sin(2\arctan t)=\frac{2t}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

usw.

04.05.2008, 16:18

steffi86

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Was ist überhaupt sinn davon ? Könntest du mir deinen Schritt nochmal genau erklären..was bringt das überhaupt..dann verstehe ich das..hoffentlich Big Laugh

04.05.2008, 16:30

therisen

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Der Sinn ist wohl eher in der Numerik zu suchen (mal abgesehen davon, dass die Formeln hübsch sind). Wenn man $\begin{eqnarray*} t:=\tan\frac\gamma2 \end{eqnarray*}$ aus einem Experiment gewonnen hat und man möchte dann $\begin{eqnarray*} \sin\gamma \end{eqnarray*}$ berechnen, wäre es sehr unklug, zunächst $\begin{eqnarray*} \gamma=2\arctan t \end{eqnarray*}$ numerisch zu berechnen und dann noch $\begin{eqnarray*} \sin\gamma \end{eqnarray*}$ numerisch zu bestimmen (zwei Quellen für Rundungsfehler). Kennt man dagegen die Formel $\begin{eqnarray*} \sin(\gamma)=\frac{2t}{1+t^2} \end{eqnarray*}$ , so hat man quasi nur den Messfehler im Endergebnis (und keine zusätzlichen Rundungsfehler).

EDIT: Ach ja, die Formeln findest du hier.

EDIT 2: Universalsubstitution ist natürlich auch ein gutes Stichwort (@Arthur).

04.05.2008, 16:32

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Zitat:

Original von steffi86
Was ist überhaupt sinn davon ?

Ihr seid nicht zufällig gerade dabei, Integrale von Winkelfunktionsausdrücken zu betrachten? Da hast du deinen Sinn. Augenzwinkern

04.05.2008, 16:38

steffi86

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Jetzt ist mir schon einiges klarer geworden.

Nur wie kommst du von

$\begin{eqnarray*} \gamma =2*arctan(t) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} sin(\gamma)=\frac{2t}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

??

Nein. Wir sind im ersten Semester und das gehört zum Stoff der Elementarmathematik.
Der Prof. hat erstmal die gesamten Funktions"typen" wiederholt. Potenz. Exp...

04.05.2008, 17:14

therisen

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$\begin{eqnarray*} \frac{2\tan x}{1+\tan^2x}=\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=2\sin x\cos x=\sin (2x) \end{eqnarray*}$ (trig. Pythagoras)

04.05.2008, 17:25

steffi86

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Wie kommst du auf den trig. Pythagoras überhaupt. Ich bin irgendwie leicht verwirrt.

Wir haben

$\begin{eqnarray*} t:=tan \frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ , dass du dann umformst zu

$\begin{eqnarray*} \gamma=2*arctan(t) \end{eqnarray*}$ .

so, und ab dann, kann ich dir ni cht mehr folgen.setzt du dann das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$

hier: $\begin{eqnarray*} sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ ein ? oder wie ? wäre schön, wenn du mir das schritt für schritt erklären könntest. Wenn ich das begriffen habe, könnte ich damit , dann die Formeln für cos/tan etc..selber errechnen. Nur dazu muss ich erstmal das 1. Beispiel verstehen..liegt wohl an meiner beschränkten auffassungsgabe..

04.05.2008, 17:42

therisen

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Zitat:

Original von steffi86
$\begin{eqnarray*} \gamma=2*arctan(t) \end{eqnarray*}$ .

so, und ab dann, kann ich dir ni cht mehr folgen.setzt du dann das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$

hier: $\begin{eqnarray*} sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ ein ? oder wie ?

Ja, genau. Verwende die von mir bewiesene Identität und $\begin{eqnarray*} \tan(\arctan(t))=t \end{eqnarray*}$ .

04.05.2008, 18:32

steffi86

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Naja..

dann steht da:

$\begin{eqnarray*} sin(2arctan(t)) \end{eqnarray*}$

Ich wüsste jetzt nicht , wie ich deine Identität anwenden sollte.

Mein Ansatz wäre mit dieser Formel hier etwas zu machen:

$\begin{eqnarray*} sin(arctan(t)) = \frac{t}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

bzw hiermir:

$\begin{eqnarray*} sin(y) = \frac{tan(y)}{\sqrt{1+tan^2(y)}} \end{eqnarray*}$

Nur steht ja in meiner Rechnung

$\begin{eqnarray*} sin(2*arctan(t)) \end{eqnarray*}$ ...daher weiß ich nicht, wie ich mit der 2 da umgehen sollte...

04.05.2008, 19:41

therisen

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} \frac{2\tan x}{1+\tan^2x}=\frac{2\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}=2\sin x\cos x=\sin (2x) \end{eqnarray*}$ (trig. Pythagoras)

Wähle $\begin{eqnarray*} x:=\arctan t \end{eqnarray*}$ . Was steht dann da?

04.05.2008, 20:04

steffi86

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Müsste doch, wenn ich mich nicht verrechnet habe, das rauskommen, was du oben schon gepostet hast

$\begin{eqnarray*} \frac{2t}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

Wenn das stimmt, frag ich mich immernoch, wie du auf

$\begin{eqnarray*} \frac{2tan(x)}{1+tan^2(x)} \end{eqnarray*}$

kommst... woher nimmt man denn die Formel.

oder hast du dir die hergeleitet aus

$\begin{eqnarray*} sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)=..... \end{eqnarray*}$

also diese Formel, die du uns schon bereits präsentiert hast.

04.05.2008, 20:07

therisen

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Zitat:

Original von steffi86
Wenn das stimmt, frag ich mich immernoch, wie du auf

$\begin{eqnarray*} \frac{2tan(x)}{1+tan^2(x)} \end{eqnarray*}$

kommst... woher nimmt man denn die Formel.

Zum Beispiel aus einer Formelsammlung oder durch scharfes Hinsehen. Der Beweis besteht ja nur aus 2 Gleichheitszeichen.

04.05.2008, 20:17

steffi86

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ah okay.

das heißt , bei nächsten Beispiel hab ich jetzt wieder

$\begin{eqnarray*} \gamma=2*arctan(t) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich also wieder, aber diesmal für und $\begin{eqnarray*} cos(2x) \end{eqnarray*}$
eine Formel finden und dann, wenn ich sie gefunden habe

$\begin{eqnarray*} x=2arctan(t) \end{eqnarray*}$ in diese Formel einsetzen ?

04.05.2008, 20:27

steffi86

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ich verstehe aber immernoch nicht, warum man

$\begin{eqnarray*} sin(2*x) \end{eqnarray*}$ nimmt.

wir haben beim nächsten Beispiel

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \gamma=2arctan(t) \end{eqnarray*}$

da müsste man doch jetzt von dem ausgehen

$\begin{eqnarray*} cos(2*arctan(t)) \end{eqnarray*}$

mir ist immernoch nicht klar, wie man auf deine Formel kommt, bzw wie ich jetzt darauf für die folgenden beispiele mir meine formel herleiten soll.

04.05.2008, 20:50

therisen

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Zitat:

Original von steffi86
ich verstehe aber immernoch nicht, warum man

$\begin{eqnarray*} sin(2*x) \end{eqnarray*}$ nimmt.

wir haben beim nächsten Beispiel

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \gamma=2arctan(t) \end{eqnarray*}$

da müsste man doch jetzt von dem ausgehen

$\begin{eqnarray*} cos(2*arctan(t)) \end{eqnarray*}$

Du willst doch $\begin{eqnarray*} \sin(\gamma) \end{eqnarray*}$ berechnen, oder nicht? Außerdem behauptest du, dass $\begin{eqnarray*} t=\tan\frac\gamma2 \end{eqnarray*}$ . Also setzt man eben an: $\begin{eqnarray*} \sin(\gamma)=\sin(2\arctan t) \end{eqnarray*}$ . Nun braucht man irgendeine Formel, die $\begin{eqnarray*} \sin(2x) \end{eqnarray*}$ für irgendwelche(!) x in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \tan(x) \end{eqnarray*}$ ausdrückt. Denn dann kann man ja einfach $\begin{eqnarray*} x=\arctan t \end{eqnarray*}$ setzen und erhält sofort das gewünschte Ergebnis!

04.05.2008, 20:52

WebFritzi

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Du solltest mit den Identitäten

$\begin{eqnarray*} \cos(\arctan(x)) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\arctan(x)) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

sowie den Additionstheoremen alles lösen können.

04.05.2008, 21:45

wrtwerwe

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ich raff überhaupt nix. mir ist der ansatz bis hier hier klar:

sin(y)=sin(2 arcsin (t) )

soweit alles normal
jetzt verstehe ich nicht, wie mann dann bei sin(2x)=2tan(x)....
da jetzt irgendwie mit x=arctan(t) irgendwie einsetzen soll.

es wird einfach nicht klar. dieser zusammenhang zwischen dem sin(2x) etc etc...

04.05.2008, 21:58

WebFritzi

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OK, vergiss mal alles wieder. Du hast die Formeln, die ich dir oben gegeben habe (nennen wir sie (1) und (2)) und die beiden Folgerungen aus den Additionstheoremen:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x). \end{eqnarray*}$

Damit folgt dann

$\begin{eqnarray*} \sin(2\arctan(t)) = 2\sin(\arctan(t))\cos(\arctan(t)). \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch in die Formeln (1) und (2) einsetzen.

04.05.2008, 22:06

steffi86

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Ein Licht am Ende des Tunnels : )

Analag wird das wohl auch für cos/tan und cotan funktionieren. Wie kommt man auf diese 2. Identitäten ?

Danke für die Geduld Big Laugh

04.05.2008, 22:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von steffi86
Analag wird das wohl auch für cos/tan und cotan funktionieren. Wie kommt man auf diese 2. Identitäten ?

Ein Weg führt über die Euler-Formel:

$\begin{eqnarray*} \cos(x+y) + i\sin(x+y) &=& e^{i(x+y)} = e^{ix}e^{iy} = (\cos(x) + i\sin(x)) (\cos(y) + i\sin(y))\\ &=& \left(\cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\right) + i\cdot\left(\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\right). \end{eqnarray*}$

Vergleicht man nun Real- und Imaginärteil, dann folgen die Additionstheoreme:

$\begin{eqnarray*} \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y). \end{eqnarray*}$

Um die Formeln (3) und (4) im letzten Posting zu erhalten, setze einfach x = y.

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