ableitung (quotientenregel)

13.12.2005, 19:12

GsJ

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ableitung (quotientenregel)

hallo erstmal!

ich habe irgendwie immer probleme mit der quotientenregel bzw. beim vereinfachen danach!
Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+x^2+2x}{x^3-x^2+2x} \end{eqnarray*}$

Nach der Quotientenregel habe ich raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3x^2+2x+2)(x^3-x^2+2x)-(3x^2-2x+2)(x^3+x^2+2x)}{(x^3-x^2+2x)^2} \end{eqnarray*}$

beim vereinfachen, bin ich mir überhauptnicht sicher und ich bekomme immer das falsche ergebnis.

ach ja dann brauche ich natürlich noch die 2. und 3. ableitung um eine vollständige kuvendiskussion durchzuführen, aber das werde ich naatürlich erst einmal selber versuchen, nachdem ich das vereinfachte ergebnis habe...

vielen dank

13.12.2005, 19:14

JochenX

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kürze doch erst einmal ein x heraus, danach siehts doch gleich schon mal freundlicher aus

achja: vor dem x kürzen, x<>0 zuschreiben

13.12.2005, 19:18

GsJ

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meinst du ausklammern?!

und gleich am anfang oder nachdem ich die quot. regel angewandt habe?

13.12.2005, 19:20

klarsoweit

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gleich am Anfang vor dem Ableiten.

13.12.2005, 19:22

GsJ

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ok dann habe ich :

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+2}{x^2-x+2} \end{eqnarray*}$

oder???

daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+1)(x^2-x+2)-(x^2+x+2)(2x-1)}{(x^2-x+2)^2} \end{eqnarray*}$

13.12.2005, 19:23

brunsi

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ja und nun ableiten mit quotientenregel

@klarsoweit sorry, wollt emich zurückhalten Big Laugh

Big Laugh

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13.12.2005, 19:27

JochenX

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Zitat:

Original von GsJ
daraus folgt dann:

wenn man davon absieht!

schreibe genauer:
f(x)=....
und dann f'(x)=...

deine ableitung ist richtig, kann aber noch enorm zusammengefasst werden

13.12.2005, 19:30

GsJ

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genau da ist ja auch mein problem! das mit dem zusammenfassen liegt mir leider irgendwie nicht!
wenn ich jetzt alles ausmultipliziere, muss das rechts neben den 'minus' noch mal in eine klammer?

nach dem ausmultiplizieren :

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{-2x^2+4}{(x^2-x+2)^2} \end{eqnarray*}$

wenn das richtig ist, wie mache ich dann die 2. bzw. 3. Ableitung?
jetzt kann ich ja nichts mehr kürzen oder?

13.12.2005, 21:05

GsJ

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hilfeeeeeeeee,

Hilfe

Hilfe

das ergebnis stimmt schon wieder nicht

13.12.2005, 22:22

klarsoweit

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Welches Ergebnis stimmt nicht? Wenn ich richtig gerechnet habe, stimmt die 1. Ableitung.

13.12.2005, 22:24

20_Cent

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dem schließt derive sich an...
mfG 20

14.12.2005, 17:19

GsJ

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ok danke,

aber jetzt habe ich das gleiche problem mit der zweiten Ableitung!!!!!
Da taucht im nenner plötzlich x^7 auf traurig

traurig

ich glaube ich mache den Fehler immer beim Vereinfachen...

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{-4x(x^2-x+2)^2-(-2x^2+4)[2(x^2-x+2)]}{(x^2-x+2)^4} \end{eqnarray*}$

wie soll ich denn jetzt vorgehen???

14.12.2005, 18:48

GsJ

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kann mir denn niemand weiterhelfen????
brauche es dringend......
ich muss die 2. Ableitung irgendwie vereinfachen
Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

14.12.2005, 19:32

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

klammere im zähler $\begin{eqnarray*} x^2-x+2 \end{eqnarray*}$ aus.

das geht übrigens fast immer, wenn du die zweite ableitung von brüchen machst...

mfg 20

14.12.2005, 19:47

bounce

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so okay das haben wir erstmal

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-4x(x^2-x+2)^2-(-2x^2+4)[2(x^2-x+2)]}{(x^2-x+2)^4} \end{eqnarray*}$

nun wie schon gesagt wurde ausklammern dann sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{(x^2-x+2)[-4x(x^2-x+2)-2(-2x^2+4)]}{(x^2-x+2)^4} \end{eqnarray*}$

jetzt kann man das hier einmal kürzen: $\begin{eqnarray*} (x^2-x+2) \end{eqnarray*}$

dann steht dann das da:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-4x(x^2-x+2)-2(-2x^2+4)}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

so und jetzt einfach ausrechnen und zusammenfassen

hoffe ist jetzt ein wenig klarer ; ) wenn nicht frag nochmal

mfg bounce

14.12.2005, 21:26

GsJ

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dan hab ich da raus:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-4x^3+8x^2-8x+4}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt den nenner nullsetzte, um die wendepunkte rauszukriegen, dann kann ich das nicht nach x auflösen: ausklammern geht nicht und p q formel ebenfalls nicht.......

14.12.2005, 21:33

bounce

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ich glaub wenn ich mich jetzt nciht irre muss man probieren und dann mit POlynom division oder Nährngsverfahren aber bin mir net sicher...warten wir auf mehre Kommentare lieber : )

mfg ist das mit dem ausklammern bei der Ableitung jetzt verständlich ?

14.12.2005, 21:36

GsJ

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ja das mit dem ausklammern ist jetzt klar thx, das problem ist ich weiss nie ob ich jetzt ausklamern kann oder nicht?! weil das sumanten oder so sind

14.12.2005, 21:36

20_Cent

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das ergebnis ist leider falsch (nur der zähler...), wirst wohl irgendwas falsch zusammengefasst haben...
mfG 20

14.12.2005, 21:42

bounce

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hmm ok ich guck nochmal was rauskommt

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-4x^3+4x^2-8x+4x^2-8}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

dann wird das zu

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-4x^3+8x^2-8x-8}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

smile

smile

jetzt müsste es stimmen

mfg jetzt weißte bestimtm weiter

14.12.2005, 21:45

GsJ

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danke, aber ich kann doch trotzdemnichts ausklammern oder die p q formel anwenden oder?

14.12.2005, 21:47

20_Cent

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nein, wieso willst du denn die p-q-formel anwenden??

das ergebnis ist übrigens immer noch falsch...

mfG 20

14.12.2005, 21:51

GsJ

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nneeeeiiiiiiiinnnnnnnnnnnn, was genau ist denn falsch?
achja ich will ja noch den nenner nullsetzten, um die wendepunte herauszufinden!!!desswegen p q formel

14.12.2005, 21:52

20_Cent

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da musst du nicht den nenner null setzen, sondern den zähler!
dafür musst du dann eine nullstelle raten, dann polynomdivision...
mfG 20

14.12.2005, 22:00

GsJ

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stimmt meine ich ja aber das Ergebnis ist ja immer noch falsch und ich komme einfach nicht drauf!!!

14.12.2005, 22:12

20_Cent

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Zitat:

Original von GsJ
f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{-2x^2+4}{(x^2-x+2)^2} \end{eqnarray*}$

das war die erste ableitung...
ich machs mal vor:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{-4x(x^2-x+2)^2-(-2x^2+4)*2*(2x-1)*(x^2-x+2)}{(x^2-x+2)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-4x(x^2-x+2)-(-2x^2+4)*2*(2x-1)}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{-4x^3+4x^2-8x-[-8x^3+16x+4x^2-8]}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4x^3-24x+8}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{4(x^3-6x+2)}{(x^2-x+2)^3} \end{eqnarray*}$

mfG 20

14.12.2005, 22:15

GsJ

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vielen dank!!!!!!!!!!!!!!!111

ich lerne schon seit 5 uhr für die morgige klausur. mein kopf raucht gerade!

ich bringe irgendwie alles durcheinander!
wärst du bitte so nett und würdest mir auch die dritte ableitung so ausführlich erläutern???

14.12.2005, 22:17

20_Cent

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die würde ich nicht machen...
wenn du die gefundenen wendestellen überprüfen willst, dann mach einen vorzeichenwechsel... bei der 3. ableitung verrechnet man sich zu schnell...
mfG 20

14.12.2005, 22:19

GsJ

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wie macht man den vorzeichenwechsel?

14.12.2005, 22:22

20_Cent

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du setzt werte knapp unter und knapp über der gefundenen wendestelle in die 2. ableitung ein, beim einen muss was negatives rauskommen, beim anderen was positives.
(das ist fast dasselbe, wie eine nullstelle in der 3. ableitung)
mfg 20

14.12.2005, 22:24

GsJ

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ja und wie finde ich dann den genauen punkt???

14.12.2005, 22:25

20_Cent

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1. Schritt: 2. Ableitung =0 setzen.

2. Schritt: x-werte bestimmen.

3. Schritt: Auf Vorzeichenwechsel überprüfen.
(alternativ eben in die dritte abl. einsetzen...)

4. Schritt: in die funktion einsetzen, dann bekommst du den y-wert des wendepunkts.

mfg 20

14.12.2005, 22:30

GsJ

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ok vielen dank..........................................

14.12.2005, 22:40

derkoch

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kleine ergänzung: Die funktion liefert"ganz böse" Nullstellen! beim nullsetzen der 2. ableitung traurig

traurig

traurig

ich weiß nicht ob du es von "hand" aus bestimmen kannst!

14.12.2005, 22:48

20_Cent

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mit raten und polynomdivision ist da jedenfalls nichts zu machen...
entweder Taschenrechner oder PC (was ich empfehle...)
(es gibt auch noch formeln zum von hand ausrechnen...)
mfG 20

14.12.2005, 23:39

GsJ

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was mir jetzt auch gerade einfällt: wie löse ich denn die gleichung, nach dem ich sie null gesetzt habe???????????????????
$\begin{eqnarray*} f(x)=4x^3-24x+8 \end{eqnarray*}$

14.12.2005, 23:46

20_Cent

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siehe die beiden posts darüber...
PC ist zu empfehlen...

naja, zeichnen kann man die funktion schon ganz gut ohne die Wendepunkte...

mfg 20

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