Normen

04.05.2008, 19:23

MarinaMathe

Normen

Hallo!
Folgende Aufgabe macht mir zu schaffen:
Betrachten Sie den Vektorraum der reellen Polynome $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ und den Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mid\mid . \mid\mid_i \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] -> [0,\infty), i \in{1,2} \end{eqnarray*}$ , die definiert sind durch $\begin{eqnarray*} \mid\mid \sum_{k=0}^n~a_kX^k \mid\mid_1 = max_{k\in\mathbb N u {0}} ({\mid a_k \mid}) und \mid\mid \sum_{k=0}^n~a_kX^k \mid\mid_2 = max_{k\in\mathbb N u {0}} ({(k+1)*\mid a_k \mid}) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ ist nicht vollständig bezüglich $\begin{eqnarray*} \mid\mid . \mid\mid_1 \end{eqnarray*}$ .
b) $\begin{eqnarray*} \mid\mid . \mid\mid_1 und \mid\mid . \mid\mid_2 \end{eqnarray*}$ sind nicht äquivalent.

zu a) Ich weiß, dass ich überprüfen muss ob eine Cauchy-Folge immer gegen einen Wert in meinem Raum konvergiert, bzw. sollte hier wohl am besten an einem Gegenbeispiel zeigen, dass es eben nicht so ist. Ich habe nur leider keine Idee, wie ich das mache oder wo ich meine Folge her bekomme und welche da vielleicht grade günstig zu wählen wäre.
zu b) Ich weiß, dass ich zeigen muss: $\begin{eqnarray*} c*\mid\mid . \mid\mid_1\leq \mid\mid . \mid\mid_2\leq C*\mid\mid . \mid\mid_1. \end{eqnarray*}$ . In einem endlichdimensionalen Vektorraum lassen sich auch solche konstanden c,C>0 finden. Hier bin ich mir nur nicht sicher: Darf ich c,C= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ wählen? Oder sieht man das dann nicht mehr als ein konstantes c,C an?
Wäre klassen, wenn jemand nen Tipp für mich hat.
Liebe Grüße,
Marina
(P.S.: Sorry wegen der äußeren Form, ich bin noch nicht so fit in diesem Editor, ich hoffe alle können das trotzdem lesen.)

04.05.2008, 20:05

WebFritzi

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Zu (a): Betrachte die Polynome

$\begin{eqnarray*} p_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}x^k. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MarinaMathe
zu b) Ich weiß, dass ich zeigen muss: $\begin{eqnarray*} c*\mid\mid . \mid\mid_1\leq \mid\mid . \mid\mid_2\leq C*\mid\mid . \mid\mid_1. \end{eqnarray*}$ .

Nein. Du sollst gerade zeigen, dass es KEINE solche c und C gibt.

Zitat:

Original von MarinaMathe
Hier bin ich mir nur nicht sicher: Darf ich c,C= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ wählen?

Nein, natürlich nicht. c = unendlich macht sowieso gar keinen Sinn. Du meinst wahrscheinlich minus Unendlich oder Null, aber dann wären ja alle Normen äquivalent, und die Definition würde keinen Sinn mehr machen. c und C müssen positive reelle Zahlen sein.

06.05.2008, 13:55

MarinaMathe

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Bei der a) macht es mir im Moment noch große Probleme irgendwie die Norm mit einzubeziehen. Wie mache ich sowas? Was muss ich berücksichtigen?

06.05.2008, 22:04

WebFritzi

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Zitat:

Original von MarinaMathe
Was muss ich berücksichtigen?

Die Definition.

06.05.2008, 22:10

MarinaMathe