Frage zu Dimensionen

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Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Dimensionen
Hi ich ahbe mal wieder eine kleine Frage zu einer aufgabe:

"Sei X={-5, -4, ..., 4, 5} Untermenge von . Sei V der -Vektorraum der reellwertigen Funktionen auf X.

Sei S Untermenge von V die Menge aller symetrischen Funktionen auf X (f: X --> ist symmetrisch, wenn für alle x X gilt: f(-x) = f(x)).

Sei A Untermenge von V die Menge aller antisymetrischen Funktionen auf X (f: X --> ist antisymmetrisch, wenn für alle x X gilt: f(-x) = -f(x)).

Zeigen sie:

-S, A sind Untervektorräume von V,
- V = direkte Summe von S und A

Berechnen sie dim(S) und dim(A) und geben sie Basen für S und A an."

Zu meinem Problem:

Ichahbe gezeigt dass S und A Untervektorräume sind und bin auch soweit gekommen dass ich gezeigt habe dass die direkte Summe von S und A = V ist.
Ich hänge jetzt an der stelle dass ich die Dimensionen Berechne soll und habe leider keine Ansatz.

danke im voraus

LG
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist dein Vektorraum nichts anderes als der , wobei man die Koordinaten hier sinnvollerweise nicht mit bis durchnumeriert, sondern mit bis . Der Unterraum der symmetrischen Funktionen besteht also aus allen Tupeln, bei denen die erste und die letzte Koordinate (Indizes und ), die zweite und die vorletzte (Indizes und ) usw. übereinstimmen. Wie viele Freiheiten hast du dann, ein 11-Tupel zu bestücken? Und die Anzahl der Freiheiten ist die gesuchte Dimension. Konkret kannst du natürlich auch eine Basis des Unterraums angeben. Sie liegt dann auf der Hand.
Ähnlich geht es dann mit den antisymmetrischen Funktionen.
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir das mit den Basen jetzt mal überlegt und erhalte dann als ergebniss:





das würde bedeuten, dass ich jeweils 6 Dimensionen erhalte.

Meines erachtens nach hätte ich dann 11 Dimensionen, da ich eine doppelt habe!

Der Dimensionsatz sagt jedoch dass:

"dim (A geschnitten S) = 0"

Wir würden jedoch erhalten:

dim (A geschnitten S) = 1.


Habe ich eine Denkfehler oder wo liegt das Problem bei meiner Folgerung?

LG
FELIX

*edit*
es ist formal alles nicht korrkt aufgeschrieben aber ich hoffe mal du erkennst was ich meine ;-)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den antisymmetrischen ist ein Basisvektor falsch.
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

also ist falsch und muss ersetzt werden durch


bzw. fällt weg!

ausgezeichnet... damit habe ich das Problem dann quasi gelöst :-)

seh ich das jetzt richtig ;-)?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nullvektor macht jedes System linear abhängig. Schnell weg damit! Der gehört nicht zur Basis. Grrrrrhhh ...

heißt für so viel wie: . Also muß die Koordinate mit dem Index 0 stets 0 sein. Das ist bei den anderen Basisvektoren ja der Fall. Was willst du mehr?
 
 
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

was soll ich mehr wollen... ;-)

wennich die aufgame damit gelöst habe bin ich glücklich ;-)

stellt sich nurnohc die frage wie ich es formell richtig aufschreiben kann ;-)
wenn es nicht zu viele umstände macht könntest du mir da noch einen tip geben ;-)

ist vielleicht eine doofe frage aber ich bin erst im ersten semester und weiß nicht genau wie ich machen soll,

LG
FELIX
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Übersetze deine Basisvektoren wieder zurück in Funktionenschreibweise. So entspräche dem Tupel



die Funktion mit der Wertetabelle:



Und so mußt du auch die anderen Tupel in Funktionen usw. übersetzen. Dann zeige, daß diese Funktionen den Unterraum der symmetrischen Funktionen erzeugen und linear unabhängig sind.
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, so werde ich es machen! vielen dank udn schönen abend noch

bye
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