Quadriken

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Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »
Quadriken
Hallo,

Ich habe eine kleine Frage zu Quadriken.
Und zwar wenn ich die Gleichung einer Quadrik in der Form:



habe und sie in Normalform bringen will, muss dann P:



zwangsläufig aus othonormalen Vektoren bestehen, wenn ich mit ihr weiterrechen will, oder langt es, das sie nur aus Eigenvektoren besteht, die nicht unbedingt orthonormal sind?
Ich weiss, das eine orthonormale Basis geschickt ist um das Inverse durch transponieren zu erhalten. Aber kommt denn etwas anderes für die Normalform heraus, wenn die Basis nicht orthonormal ist?

Und hier noch ein kleiner Verweis auf die anderen Themen, die ich noch offen habe:

Thema 1

Thema 2

Gruß
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

An welche andere Normalform denkst du in diesem Zusammenhang? Beachte, daß symmetrisch ist.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Da A symmetrisch ist, sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten othogonal. Das ist klar. Ich meine folgendes:

Um aus :



auf die Form:



zu gelangen, ersetze ich x durch x=Py und für d, d=bP.

Ich erhalte dann ja Vektoren y bezüglich anderer Basis. Mit diesen würde ich dann im Normafall durch quadratische Ergänzung auf eine der Normalformen gelangen.

Wenn ich die Eigenvektoren von P nicht orthonormalisiere und sie einfach für P heranziehe, wie sie nach dem lösen des Gleichungssystems für die verschiedenen Eigenwerte herauskommen, erhalte ich ein anderes d und demnach andere lineare Terme.

Mich beschäftigt, warum in meinem Script steht, das ich die Eigenvektoren unbedingt othonormalisieren muss um P anwenden zu dürfen .

Klar ist folgendes:

und

Hängt das vielleicht gerade damit zusammen?

Gruß
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es dir vor allem um das Normieren?
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich denke das würde mir als Erklärung schon sehr weiterhelfen.

Gruß
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Normieren ist üblich, aber man könnte vielleicht auch darauf verzichten.

Nehmen wir zwei zweidimensionale orthonormierte Vektoren . Es seien die Koordinaten eines Vektors bezüglich dieser Basis. Dann beschreibt die Gleichung



eine Ellipse. Wenn wir stattdessen die nicht mehr normierte Basis nehmen, dann sieht die Gleichung in den neuen Koordinaten jetzt so aus:



Wenn einem das gefällt, warum nicht? Eine Ellipse ist halt auch nur ein Kreis. Big Laugh
 
 
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich glaub ich hab verstanden, was du damit meinst. Ich würde zwar eine anderen Normalform herausbekommen bzgl anderer Basis, aber diese wäre im Prinzip doch gleich, nur eben bzgl anderer Basis. Die Form, die herauskommen würde, wäre aufgrund der verscheidenen Basen optisch verzerrt, aber im Endeffekt dennoch gleich.

p.s. Da mir deine Antworten bisher sehr weitergeholfen haben, würde ich mich freun, wenn du auch noch mein drittes Thema "Untervektorraumverband" durchsehen könntest, aber nur wenn dir der Sonntagabend nichts besserer bietet Augenzwinkern

Gruß
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ist mir zu mühsam!
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Ding. Trotzdem danke.

Gruß
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