Stammfunktion von zusammengesetzer Funktion

05.05.2008, 21:37

Dunkit

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Stammfunktion von zusammengesetzer Funktion

Hallo nochmal.
Ich suche eine Stammfkt zu $\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x^2 & |x| \geq1 \\ 0 & |x| < 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Nun, damit $\begin{eqnarray*} F'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ sollte die Funktion auf $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ ja konstant sein, richtig?
und Für alle anderen x muss doch $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3} x^3 \end{eqnarray*}$ sein, oder irre ich da?!
Mein Problem ist, wenn ich zB die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} \frac{1}{3} x^3 & |x| \geq1 \\ 0 & |x| < 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ wähle, ist die doch garnicht überall stetig?! Das ist aber laut Definition gefordert. Wo ist jetzt der Denkfehler?

05.05.2008, 21:44

tmo

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Du musst wohl $\begin{eqnarray*} |x|\geq 1 \end{eqnarray*}$ nochmal aufteilen in $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ und dann jeweils die Integrationskonstanten anpassen, sodass die Stammfunktion stetig ist.

Edit: Allerdings wäre sie dann immer nocht nicht differenzierbar an den Nahtstellen verwirrt

verwirrt

Edit2: Ich bin der Meinung, dass keine Stammfunktion existiert. Nimmt man nämlich an, dass es eine differenzierbare Funktion F mit F' = f gibt, so kann man f(1)=F'(1)=0 folgern, was ein Widerspruch ist. Habe ich da einen Denkfehler?

05.05.2008, 22:02

AD

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Eine auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gültige Stammfunktion gibt es hier nicht. Vielleicht ist aber auch gar nicht eine Stamm-, sondern eine Integralfunktion zu dem gegebenen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gesucht? Ein kleiner, aber feiner Unterschied. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2008, 22:03

Dunkit

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guter Einwand...

gesucht ist wörtlich $\begin{eqnarray*} \int f(x) dx \end{eqnarray*}$ allerdings ist mir der Unterschied jetzt nicht so ganz klar?!

05.05.2008, 22:22

tmo

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Da ich nicht weiß, ob Arthur Dent noch da ist, um die Fragen zu klären, versuche ich mich mal daran:

Nach dem Hauptsatz ist ja eine Integralfunktion auch eine Stammfunktion. Aber dies gilt ja nur für stetige Funktionen.

Für integrierbare Funktionen ist die Integralfunktion so definiert:

$\begin{eqnarray*} I(x) := \int_a^x f(t)dt \end{eqnarray*}$

In diesem Falle gilt halt nicht $\begin{eqnarray*} I' = f \end{eqnarray*}$ , aber sehr wohl $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)dx = I(b)-I(a) \end{eqnarray*}$

05.05.2008, 22:26

Dunkit

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Ok gut na klasse...

Und wie komme ich jetzt an die Lösung meines eigentlichen Problems?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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05.05.2008, 22:33

tmo

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Manchmal ist die erste Idee halt doch die beste: Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von tmo
Du musst wohl $\begin{eqnarray*} |x|\geq 1 \end{eqnarray*}$ nochmal aufteilen in $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ und dann jeweils die Integrationskonstanten anpassen, sodass die StammIntegralfunktion stetig ist.

05.05.2008, 22:40

Dunkit

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was ich nicht verstehe:

Wenn die Integralfunktion gemeint ist, wieso steht da dann nicht $\begin{eqnarray*} \int _a ^x f(t)dt \end{eqnarray*}$ ?

Meine Idee gerade war übrigens $\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3} & x\geq1\\0 & |x| < 1 \\ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3} & < \leq -1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

kann ich das noch weiter verwerten? Big Laugh

Big Laugh

05.05.2008, 22:44

tmo

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Zitat:

Original von Dunkit
was ich nicht verstehe:

Wenn die Integralfunktion gemeint ist, wieso steht da dann nicht $\begin{eqnarray*} \int _a ^x f(t)dt \end{eqnarray*}$ ?

Das kann ich ehrlich gesagt auch nicht nachvollziehen. Ich dachte bis jetzt auch immer erst der Hauptsatz für stetige Funktionen legitimiert die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \int f(x)dx \end{eqnarray*}$ , aber dies scheint wohl nicht der Fall zu sein.

Zitat:

Original von Dunkit
Meine Idee gerade war übrigens $\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3} & x\geq1\\0 & |x| < 1 \\ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3} & < \leq -1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

kann ich das noch weiter verwerten? Big Laugh

Big Laugh

Ja. z.B. beweisen, dass dies wirklich eine mögliche Integralfunktion ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2008, 22:47

Dunkit

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d.h. die muss aber nicht stetig sein, oder wie?!

Ich glaube ich komme gerade ein bisschen mit den Schreibweisen durcheinander...

05.05.2008, 22:49

tmo

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Zitat:

Original von Dunkit
d.h. die muss aber nicht stetig sein, oder wie?!

Die von dir vorgeschlagene Funktion F ist doch nun stetig.

Aber halt nicht differenzierbar, weswegen halt der Hauptsatz nicht greift.

05.05.2008, 22:51

Dunkit

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öh also ich hatte Arthur jetzt so verstanden, dass sie das garnicht sein kann, weil es doch keine Stammfkt auf ganz R gibt?!
Ich hatte jetzt gedacht die scheitert auch an der Stetigkeit?! Oder woran scheitert die jetzt?! *verwirrung*

05.05.2008, 22:52

tmo

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Wenn es keine Stammfunktion gibt, dann scheitert es doch an der Differenzierbarkeit. Denn das ist ja die Bedingung einer Stammfunktion.

05.05.2008, 22:54

AD

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Dann hast du mich falsch verstanden: Eine Stammfunktion gibt es nicht, zumindest an den kritischen Unstetigkeitspunkten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , den für die Stammfunktion wird ja $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ gefordert - auch an diesen Stellen!

Eine Integralfunktion gibt es aber sehr wohl, denn für die gibt es keine derartige Differenzierbarkeitsforderung. Eine passende Integralfunktion hast du ja schon angegeben.

05.05.2008, 22:55

Dunkit

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Also laut dem Königsberger darf eine Stammfunktion eine höchstens abzählbare Menge an Punkten besitzen, in denen sie nicht differenzierbar ist...

05.05.2008, 22:58

AD

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Da das schon öfter hier diskutiert wurde:

Unterschied Stammfunktion / Integralfunktion
Unterschied zwischen Stammfunktion und Integralfunktion ???

Eine Boardsuche nach "Stammfunktion Integralfunktion" fördert noch mehr zu Tage.

05.05.2008, 23:00

Dunkit

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Ich habe gerade mal im Skript geblättert: Dort steht drin, dass der Prof mit $\begin{eqnarray*} \int f(x) dx \end{eqnarray*}$ die Menge aller Stammfunktionen oder explizit eine Stammfunktion bezeichnet. Es ist also definitiv eine Stammfunktion gesucht.

Dann baue ich mal auf die Königsberger Definition und sage, dass die stellen x=1 und x=-1 halt in dieser höchstens abzählbaren "Ausnahmemenge" sind, oder?!

05.05.2008, 23:02

AD

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Tja, offenbar geistern eine Menge Definitionen da rum.

05.05.2008, 23:13

Dunkit

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So jetzt bin ich gerade bei der Stetigkeit.
Die "kritischen" Stellen sind ja 1 und -1

Ich bin bei 1:
Da wiederrum unterscheide ich bei der Delta-Epsilon Definition der Stetigkeit zwischen |x|<1 und x>1. Ersterer Fall ist klar (weil f(x) = 0), letzterer macht mir gerade schwierigkeiten. zu zeigen ist (schon umgeformt)
$\begin{eqnarray*} |x-1| < \delta \Rightarrow |x^3 -1| = |(x-1)(x^2+x+1)| < 3\epsilon \end{eqnarray*}$
Polynomdivision bringt mich gerade nicht weiter. Ich muss doch irgendwie das Delta jetzt ins Spiel bringen?!

05.05.2008, 23:18

tmo

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Warum verwendest du denn das Delta-Epsilon-Kriterium? Darfst du nicht einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1}{3}(x^3-1) = 0 \end{eqnarray*}$ sagen?

Wenn du das Delta-Epsilon-Kriterium doch benutzen willst/musst, solltest du $\begin{eqnarray*} (x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen, was dir möglich ist, sobald du Delta einschränkst. (z.B. nicht größer als 1 werden lässt)

06.05.2008, 07:09

Leopold

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Man kennt das doch: Man geht, der Beschreibung folgend, durch einen Wald. Da wird das Unterholz immer dichter. Merkwürdige Vogelschreie. Der Himmel zieht sich zu. Plötzliche Windstöße von der Seite. Da traut man der Wegbeschreibung nicht mehr, sucht sich selbständig den Weg - und verirrt sich prompt. Dabei hätte man nur weiter den Angaben des Wanderführers folgen müssen, man wäre ans Ziel gekommen.

Und so ist es hier. Integralfunktionen sind immer stetig. Und es kommt auch alles von alleine richtig heraus, wenn man sich nur an die Regeln hält. Zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^x~f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Die untere Grenze ist gewissermaßen willkürlich. Wählt man eine andere, so wirkt sich das im Ergebnis nur als additive Konstante aus (Grund: Intervalladditivität des Integrals). Wegen

$\begin{eqnarray*} F(0) = \int_0^0~f(t)~\mathrm{d}t = 0 \end{eqnarray*}$

geht die von uns gewählte Integralfunktion durch den Urspung. Und jetzt nach den Regeln der Kunst integrieren. Dabei wird man sich an den bei der Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gemachten Fallunterscheidungen orientieren.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$

Auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,x] \end{eqnarray*}$ verschwindet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also auch das Integral: $\begin{eqnarray*} F(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

2. Fall: $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Man zerlegt: $\begin{eqnarray*} [0,x] = [0,1] \cup [1,x] \end{eqnarray*}$ . Auf dem ersten Intervall verschwindet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , auf dem zweiten ist $\begin{eqnarray*} f(t) = t^2 \end{eqnarray*}$ . Man verwendet die Intervalladditivität des Integrals und den Hauptsatz:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x~f(t)~\mathrm{d}t = \int_0^1 0 \ + \int_1^x~t^2~\mathrm{d}t = \frac{1}{3} \, x^3 - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Und den 3. Fall $\begin{eqnarray*} -1 \leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ bzw. 4. Fall $\begin{eqnarray*} x \leq - 1 \end{eqnarray*}$ kannst du nun selbst einmal rechnen (Alternative: Aus Symmetrieeigenschaften von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf Symmetrieeigenschaften von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ schließen). Einfach nur an die Regeln halten. Dann kommt's von ganz alleine heraus. Die Integrationskonstanten passen sich sozusagen von alleine richtig an.

06.05.2008, 11:20

Dunkit

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Aber ich hatte doch jetzt (nach herumblättern im Skript) herausgefunden, dass ich garkeine Integralfunktion sondern tatsächlich eine Stammfunktion suche?!

06.05.2008, 16:45

tmo

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Ob es deinem Skript nun Integralfunktion oder Stammfunktion heißt, ist doch eigentlich egal.

Du musst eine Funktion F angeben, sodass $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_a^x f(t)dt \end{eqnarray*}$ (mit irgendeinem festen a, z.b. 0) gilt. Das hast du ja schon getan.

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