Restklassen modulo n

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mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassen modulo n
hallo,

ich hab hier eine Definition gelesen und wollte wissen ob ich das richtig verstanden habe!

Definition (Restklasse): Ist n >= 2 eine natürliche Zahl, dann fasst man ganze Zahlen mit gleichem Rest bei Division durch n zusammen zu so genannten Restklasse modulo n.

ein Beispiel:

n=6

10= 4 (6)
16= 4 (6)
22= 4 (6)
28= 4 (6)
34= 4 (6)
40= 4 (6)
46= 4 (6)
..... usw.....

das bedeutet 10,16,22,28,34,40,46 ... sind die Restklassen modulo 6???

ODER

-10= 2 (6)
-16= 2 (6)
-22= 2 (6)
-28= 2 (6)
-34= 2 (6)
-40= 2 (6)
-46= 2 (6)

das bedeutet -10,-16,-22,-28,-34,-40,-46 ... sind die Restklassen modulo 6???
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde es eher so ausdrücken:

4 ist die Restklasse.



also 10 ist kongruent zu 4 im bezug zu modulo 6, bzw. 10 liegt in der restklasse 4.
(genau so auch 16, 22, 28, etc...)

mfG 20
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, fast richtig, also erst mal ist die Schreibweise etwas komisch besser wäre vielleicht

Ansonsten sind Restklassen wie der Name schon sagt Klassen und keine Elemente. Somit gehören die Zahlen 10,16,22,28,34,40,46 der selben Restklasse modulo 6 angehören.
Edit:Gibt unterschiedliche Schreibweisen, aber bitte verwende nie das "="-Zeichen.
mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »

so damit ich mir 100% sicher bin, dass ich es auch verstanden habe, werde euch ein kleines Beispiel vorführenBig Laugh

Z11={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} : ist die Menge der Restklassen

[1] = {....,-21,-10,-9,-2,-1,1,12,45,56,100,...}
[2] = {usw}
[3] = {..}
[4] = {...}
[5] = {...,5,16,60,...}
[6] = {...}
[7] = {.....,18,40,..}
[8] = {...}
[9] = {...}
[10] = {....,21,10,32}
in den eckigen Klammern sind die Äquivalenzklassen oder die Restklassen modulo 11.

45 1 mod 11 => 45 liegt in der Klasse 1
18 7 mod 11 => 18 liegt in der Klasse 7
.... usw
=> das ist kein Ring, sondern ein Integritätsbereich, weil sie keine Nullteiler hat!
und das ist kein Körper, weil nicht jedes Element bez. der beiden Operationen einen Inversen besitzen.



aber bei uns im Buch steht so:
45= 1 (11) .... warum kann ich das nicht so schreiben???

Zitat:
Sciencefreak
.....aber bitte verwende nie das "="-Zeichen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathefreakjan
[1] = {....,-21,-10,-9,-2,-1,1,12,45,56,100,...}

???
mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »

ohh Big Laugh

[1] = {....,-21,-10,1,12,23,34,45,56,100,...}

so wollte ich das eigentlich schreiben LOL Hammer
 
 
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathefreakjan
aber bei uns im Buch steht so:
45= 1 (11) .... warum kann ich das nicht so schreiben???

Also ich glaub ich brauch mich nicht mehr zu wundern, warum die Schulmathematik nichts bringt, wenn man sich nicht mal die richtigen Sachen anschaut. Das mit den Eckigen Klammern ist ja meinetwegen noch in Ordnung, wenn du so Klassen kennzeichnest, aber wenn du dann das "=" benutzt, dann sagst du ja, dass eine einzelne Zahl identisch mit einer Klasse ist, was schon sinnlos ist, da die Klasse unendlich viele Elemente hat
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn wir uns mal in bewegen:

Es ist , es ist auch bzw. in Alternativschreibweise .

Nun ist es so, dass die Zahlentheoretiker dann auch mal schnell schreiben, wobei hier dann das = in der Bedeutung des zu sehen ist. Ich empfinde das auch als unschön, obwohl es keine Katastrophe ist, da der Sinn immer noch an dem angehängten erkennbar ist.

Leider kann eine in dem Sinne schlampige Schreibweise auf diesem Gebiet äußerst verunsicherte Leser wie mathefreakian ganz schnell aus dem Tritt bringen, und das ist hier wohl passiert, wie ich an jetzt bereits mehreren Threads von mathefreakian merke.


@Sciencefreak

Mir scheint, dass dir die Schreibweise



nicht geläufig ist, die ist aber in manchen Büchern durchaus üblich.
mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »

so OK hab verstanden DANKE Gott
sagt mir bitte jetzt zum Schluss ob mein Beispiel richtig ist, damit ich das Thema abschliessen kann Big Laugh

Zitat:
Original von mathefreakjan
so damit ich mir 100% sicher bin, dass ich es auch verstanden habe, werde euch ein kleines Beispiel vorführenBig Laugh

Z11={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} : ist die Menge der Restklassen

[1] = {....,-21,-10,1,12,23,34,45,56,100,...}
[2] = {usw}
[3] = {..}
[4] = {...}
[5] = {...,5,16,60,...}
[6] = {...}
[7] = {.....,18,40,..}
[8] = {...}
[9] = {...}
[10] = {....,21,10,32}
in den eckigen Klammern sind die Äquivalenzklassen oder die Restklassen modulo 11.

45 1 mod 11 => 45 liegt in der Klasse 1
18 7 mod 11 => 18 liegt in der Klasse 7
.... usw
=> das ist kein Ring, sondern ein Integritätsbereich, weil sie keine Nullteiler hat!
und das ist kein Körper, weil nicht jedes Element bez. der beiden Operationen einen Inversen besitzen.

thoroh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathefreakjan
=> das ist kein Ring, sondern ein Integritätsbereich, weil sie keine Nullteiler hat!
und das ist kein Körper, weil nicht jedes Element bez. der beiden Operationen einen Inversen besitzen.


Ist ein Integritätsbereich nicht ein nullteilerfreier kommutativer Ring?
Heißt das, dass du nicht für einen Körper hältst?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@mathefreakjan

Was deine letzten beiden Sätze sollen, ist mir schleierhaft, denn:

Jeder Integritätsbereich ist auch ein Ring, schon nach Defintion. Und jeder endliche Integritätsbereich, wie hier , ist insbesondere auch ein Körper. Genaueres siehe hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Integrit%C3%A4tsbereich
mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »

ohhh dahinter steckt ein gemeiner Denkfehler ... Teufel

Ring:
*1 => abelsche Gruppe (Halbgruppe,Monoid,kommutativ,jedes Element hat einen Inversen)
*2 => ist eine Halbgruppe (assoziativ)
usw..

Körper:
*1 => Abelsche Gruppe mit Einselement
*2 => Abelsche Gruppe mit Einselement (ohne das Einselement von *1)
usw...

so ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring mit Einselement und natürlich Nullteilerfrei!

und wenn ein Ring ein endlicher Integritätsbereich ist, dann ist das ein Körper!
Und mit endlich ist gemeint, dass die Integritätsbereich bez. der 2. Operation einen Inversen hat, was in einem kommutativen Ring mit Einselement nicht der Fall ist!!!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathefreakjan
Und mit endlich ist gemeint, dass die Integritätsbereich bez. der 2. Operation einen Inversen hat, was in einem kommutativen Ring mit Einselement nicht der Fall ist!!!

Was soll denn das jetzt wieder (ein Bock nach dem anderen schießen)! geschockt

Endlich heißt einfach nur endlich viele Elemente, nichts anderes. Jedes ist endlich.

Die Endlichkeit hat nichts, aber auch gar nichts mit der Existenz einer Inversen zu tun.

Um es klar zu stellen: Für ist ein Integritätsbereich und auch Körper, falls eine Primzahl ist. Ansonsten ist es keins von beiden, also weder Integritätsbereich noch Körper.
mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Um es klar zu stellen: Für ist ein Integritätsbereich und auch Körper, falls eine Primzahl ist. Ansonsten ist es keins von beiden, also weder Integritätsbereich noch Körper.


mmhh...wie kann eine Struktur gleichzeitig Körper und Integritätsbereich sein???
das ist doch widerspruchlich??

- Körper:
*1 => Abelsche Gruppe mit Einselement
*2 => Abelsche Gruppe mit Einselement (ohne das Einselement von *1)

- Ein kommutativer Ring R mit Einselement heisst Integritätsbereich genau dann, wenn er keine Nullteiler hat!!

und du meinst, wenn m eine Primzahl ist, dann ist Zm Integritätsbereich UND Körper???
Ein Integritätsbereich kann doch nie ein Körper werden, weil sie ein kommutativer Ring mit Einselement ist, und hat keine Inverse bez. der 2. Operation????

Integritätsbereich (OHNE Inverse bez. der 2. Operation)
Körper (MIT Inverse bez. beide Operationen)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathefreakjan
Ein Integritätsbereich kann doch nie ein Körper werden, weil sie ein kommutativer Ring mit Einselement ist, und hat keine Inverse bez. der 2. Operation????

Völliger Humbug. Das ist etwa so, als wenn du sagst, dass ein Rechteck kein Trapez ist - Mathematik a la Günther Jauch.

Zitat:
Original von Arthur Dent
Jeder Integritätsbereich ist auch ein Ring, schon nach Defintion. Und jeder endliche Integritätsbereich, wie hier , ist insbesondere auch ein Körper. Genaueres siehe hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Integrit%C3%A4tsbereich

Sehr seltsam, dass du eine andere Auffassung von Integritätsbereich hast als die übrige mathematische Welt. Lies dir z.B. mal den Wikipedia-Beitrag durch.
mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »

also erstmal vielen Dank euch allen für die wunderbaren Antworten, MÜHE und die kostbaren Zeit, die ihr für mich geopfert habt Gott


mmmhh... ich gibs ja zu, dass ich mit dem Thema net ganz vertraut bin, weil das total neu für mich ist und es kann sein, dass meine Fragen manchmal total daneben waren aber solche Bemerkungen und Sprüche bringen mich echt nicht weiter!!!

Zitat:
Original von Arthur Dent
Völliger Humbug. Das ist etwa so, als wenn du sagst, dass ein Rechteck kein Trapez ist - Mathematik a la Günther Jauch.


Zitat:
Original von Arthur Dent
Was soll denn das jetzt wieder (ein Bock nach dem anderen schießen)!


und hier hab ich schon alles gelesen!!! Es liegt nicht an Literaturmangel, weil man im Internet immer alles finden kann aber die Frage ist, ob man es auch versteht, was man gefunden hat!! Und der Sinn des Forums ist, glaube ich, dass man das GELERNTE hier durch Fragen zu verstehen versucht!!

Zitat:
Original von Arthur Dent
http://de.wikipedia.org/wiki/Integrit%C3%A4tsbereich
Sehr seltsam, dass du eine andere Auffassung von Integritätsbereich hast als die übrige mathematische Welt. Lies dir z.B. mal den Wikipedia-Beitrag durch.



schönen Abend Arthur Dent Forum Kloppe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin kein Pädagoge und deshalb manchmal etwas ungehalten, dafür entschuldige ich mich. Aber es stört mich halt, wenn trotz klaren Hinweisen dieselben völlig falsche Sachen von dir immer und immer wieder wiederholt werden, als würdest du meine Beiträge und auch den von thoroh völlig ignorieren.

P.S.: Die Analogie mit dem Rechteck war schon zutreffend.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal um das abzuschließen, bevor hier am ende noch irgendwer traurig ist:




jeder körper ist ein ring, umkehrung gilt nicht

in einem ring gelten die ganzen ringaxiome (wenn es ein ring mit eins ist, dann gibt es eben noch eine eins dazu, wenn er kommutativ ist, dann ist er eben kommutativ etc)

ein körper ist ein ring, der nur zusätzlich noch gewisse bedingungen erfüllen muss
das wären zum einen die eins und kommutativität, zum anderen eben auch die inversen bzgl * zu jedem element außer dem nullelement (additivies neutralelement)

da diese bedingungen aber nur zusätzlich sind, erfüllt er damit jedes ringaxiom, ergo ist er ein ring

@jan: wie habt ihr denn den begriff "körper" eingeführt?
ich vermute kaum, dass ihr alle axiome noch mal aufgeschrieben habt, schau mal in deinen aufschrieb
nach der definition von Ring ist dann "ein körper ein kommutativer Ring R mit Eins, mit " eine simple definition




genauso gilt auch, dass jeder körper sogar ein integritätsbereich ist, das er ein kommutativer ring mit eins ist haben wir schon gesehen
das im körper nullteilerfreiheit gelten muss, kann man zeigen
andersrum gilt das wieder nicht, z.b. ist (Z,+,*) als integritätsbereich natürlich kein körper





beachte also: wenn eine struktur gewisse axiome erfüllen muss und diese erfüllt, so ist sie das, was sie sein soll
wenn sie dazu noch mehr erfüllt ist sie vielleicht sogar mehr, aber deswegen ist sie trotzdem auch weniger Augenzwinkern

z.b. ist (Z,+) ein Monoid; dass es sogar eine gruppe ist, ist toll, aber trotzdem bleibt es (auch!) ein monoid; gewöhn dich dran!





edit: im latex mengendifferenzzeichen eingefügt, \ reicht nicht
mathefreakjan Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur Dent
ohhh Mit Zunge du brauchst dich nicht zu entschuldigen!!!

du hast ja Recht... ich versuche nur alles auf einmal zu verstehen und das geht bissl in die Hose Big Laugh

versuch demnächst weniger mich mit Mathe zu beschäfigen aber INTENSIVER!



@LOED
danke, werde mir erstmal alles unter die Lupe nehmen, bevor ich hier noch mehr Schaden einrichte Hammer



Wink
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