Lineare Abbildung durch Matrix

18.12.2005, 11:23	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung durch Matrix Hi! Ich habe folgende Aufgabe: Zeigen Sie, für jede k-lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f: K^m \rightarrow K^n \end{eqnarray}$ kann man Basen von $\begin{eqnarray} K^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ so wählen, dass die Matrix $\begin{eqnarray} M(f) \end{eqnarray}$ bezüglich dieser Basen nur Nullen und Einsen als Einträge besitzt, wobei die Einsen sämtlich auf der Hauptdiagonalen stehen. Mir ist schon mal klar, wie diese Matrix aussehen soll. Und ich vermute mal, ich muss über den Kern und das Bild der Abbildung gehen. Aber wie genau kann ich denn diese Basen bestimmen? Es müssen doch m und n an der Zahl sein, in der Form $\begin{eqnarray} v_1, ..., v_m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_1, ..., v_n \end{eqnarray}$ . Schon mal danke im Voraus für eure Hilfe!
19.12.2005, 23:23	IchDerRobot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es gibt da diese hübsche allgemeine Formel $\begin{eqnarray} \forall x\in K^m\colon f(k_B(x)) = k_A(M_A^B(f)\cdot x) \end{eqnarray}$ bei der $\begin{eqnarray} f: V \to W \end{eqnarray}$ linear ist, $\begin{eqnarray} A = \{a_1, ..., a_m\} \end{eqnarray}$ eine Basis von V, B eine Basis von W, $\begin{eqnarray} k_A: K^m \to V, k_A(x) = x_1 a_1 + ... + x_m a_m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k_B: K^n \to V \end{eqnarray}$ die Koordinatenabbildungen sind, und $\begin{eqnarray} M_A^B(f) \end{eqnarray}$ die darstellende Matrix von f bzgl. der Basen A und B ist. Diese Formel solltest du kennen. In deinem Fall ist V = K^m, das könnte zu Verwirrung führen, weil V mit seinem Koordinatenraum übereinstimmt - aber der Koordinatenvektor x wird zur Basis A betrachtet, und erst k_A(x) ist der eigentliche Vektor in V, der von x dargestellt wird. Nun rechne dir aus, was passiert, wenn M_A^B(f) die angegebene Gestalt hat: Setze x = (1, 0, ..., 0) in die Formel ein und schau, was du über die Basis B erfährst - in Abhängigkeit von der Basis A. Robot

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