Würfelproblem und Konvexität - wurde gelöscht,deshalb noch einmal!

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cybercat Auf diesen Beitrag antworten »
Würfelproblem und Konvexität - wurde gelöscht,deshalb noch einmal!
Hallo zusammen,

ich habe leider gerade von johko erfahren, dass er aus versehen mein Würfel-Thema gelöscht hat. Find ich echt ärgerlich, wo ich mir das noch nicht mal ausgedruckt hatte und wieder bei Null dastehe :-((((. Vielleicht könntet ihr erneut eure Gedanken niederschreiben und ich drucke es mir lieber nach jedem Beitrag aus :-((((.

DANKE!!!!

Also hier noch mal die Aufgabe:
Gegeben sei der Würfel . Man gebe einige lineare Abbildungen bzw. einige Matrizen an, für die gilt. Wieviele dieser Matrizen gibt es?

Ich wäre euch wirklich furchtbar dankbar, wenn ihr noch einmal eure Tipps dazu schreiben könntet!!!

Vielen Dank!
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, was hatte ich gestern festgestellt? *gruebel*

Erstens stellen wir zunaechst einmal fest, dass unter einer linearen Abbildung die konvexe Huelle von M auf die konvexe Huelle des Bilds von M abgebildet werden:

Das sollte mithilfe der Definition der konvexen Huelle einfach nachzurechnen sein.

Zweitens kannst du die 24 Drehungen und 24 Spiegelungen des Wuerfels als Beispiele angeben. Musst halt noch dazugehoerigen Matrizen von einigen dazu ausrechnen.

Drittens werden wegen (erstens) Ecken auf Ecken abgebildet. Es sind je drei Eckpunkte des Wuerfels linear unabhaengig, bilden also eine Basis. Da eine lineare Abbildung durch das Bild einer Basis eindeutig bestimmt ist, haben wir also hoechstens 8*7*6 solche moeglichen linearen Abbildungen. Es sind vermutlich dann doch weniger...
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich klemm mir meinen Beitrag, da waren weit bessere... Augenzwinkern

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind nicht je drei beliebige Ecken linear unabhaengig (gegenueberliegende nicht), aber es gibt drei linear unabhaengige Ecken, z.B. drei Ecken derselben Seitenflaeche.


Jetzt faellt mir aber nochwas ein! Irgendsoeine Volumenformel besagt, dass das Volumen des Bildes gleich dem Volumen des Urbildes mal dem Betrag der Determinante der Abbildung ist. Unsere gesuchten Abbildungen A haben also die Determinante +1 oder -1, sind insbesondere bijektiv (umkehrbar eindeutig).

Und: Kanten werden auf Kanten abgebildet. Begruendung:
Erstmal werden Kanten abgebildet auf Strecken, die zwei Ecken verbinden (wegen linear). Wenn die Bildstrecke nun keine Kante ist, sondern diagonal auf einer Seite ist oder quer durch den Wuerfel geht, dann gibt es eine weitere Strecke, die die Bildstrecke mittig schneidet und ganz im Wuerfel liegt (bei einer Seitendiagonale z.B. die andere Diagonale, und bei der Raumdiagonale eine andere Raumdiagonale).
Das Urbild dieser zweiten Strecke ist aber eine Strecke (wegen bijektiv und linear!), die die urspruengliche Kante in einem Punkt schneidet - das geht aber nicht, wenn sie ganz im Wuerfel sein soll.

OK, benachbarte Ecken werden damit auf benachbarte Ecken abgebildet.
...

Gruss,
SirJective
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, natuerlich. Ein Fehler meinerseits. Ich hab aber ne Ausrede: Der Rubiks Cube liegt nicht neben mir! Augenzwinkern
cybercat Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie steig ich da noch nicht ganz hinter :-(. Wie sieht z.B. so eine Matrix aus (also wie berechne ich diese)?

Danke erst mal!
 
 
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Such dir eine Bewegung des Würfels aus, zum Beispiel die Drehung um 180° um die z-Achse.

Dann wählst du eine Basis des Raumes, und schaust, wohin die Punkte abgebildet werden. Am einfachsten ist es, zu schauen, wohin die drei kanonischen Einheitsvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) abgebildet werden.

Da wir um die z-Achse drehen, auf der (0,0,1) liegt, bleibt der Punkt fest, wird also auf (0,0,1) abgebildet.
Wohin wird (1,0,0) abgebildet? Die 180°-Drehung um die z-Achse transportiert diesen Punkt nach (-1,0,0).
Und der Bildpunkt von (0,1,0) ist (0,-1,0).

Nun solltest du aus deiner linearen Algebra wissen, wie man die Matrix berechnet, wenn man eine Basis und deren Bildpunkte gegeben hat.
Wenn nicht, dann erfährst du's demnächst hier...

Gruss,
SirJective
cybercat Auf diesen Beitrag antworten »

Also meine Basen stellen die Eckpunkte dar, stimmt das?
Das wären also:
b=
[0 0 0
0 0 1
1 0 1
1 0 0
0 1 1
1 1 1
1 1 0
0 1 0]

Ich kann zwar nachvollziehen, welcher Bildpunkt nach einer Drehung entsteht, aber ich kann es nicht mathematisch ausdrücken traurig (Matrizen)

Habe noch eine Frage. Wie kann ich das nachvollziehen? Die 6 steht für die 6 Seiten des Würfels, aber wie kommt man auf die 7 und 8.
Zitat:
Da eine lineare Abbildung durch das Bild einer Basis eindeutig bestimmt ist, haben wir also hoechstens 8*7*6 solche moeglichen linearen Abbildungen. Es sind vermutlich dann doch weniger...


Jede Seite hat 4 Ecken und der Würfel hat 6 Seiten, d.h. es gibt 24 Drehungen, aber die zusätzlichen 24 Spiegelungen kann ich nicht ganz nachvollziehen?

Wieviele Matrizen gibt es denn nun: 8*7*6=336 oder 24+24=48????

Danke!
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt genau 48 solcher Matrizen. Dass es schonmal mindestens soviele sind, kann man leicht sehen, denn es gibt 24 Drehungen und 24 Spiegelungen des Würfels.

Dann haben wir ja schon herausgefunden, dass Ecken auf Ecken abgebildet werden (was du in deiner Lösung etwas genauer nachrechnen müsstest, damit es einwandfrei da steht). Da eine lineare Abbildung durch das Bild einer Basis eindeutig bestimmt ist, so ist eine obere Schranke für die Anzahl unserer Matrizen also die Anzahl dreier linear unabhängiger Eckpunkte des Würfels. Das sind sicherlich weniger als 8!/5!=8*7*6 (die 6 hat nichts mit den Seiten des Würfels zu tun).
SirJective hat begründet, dass benachbarte Ecken auf benachbarte Ecken abgebildet werden bzw. Kanten auf Kanten. Und damit verbleiben nur noch unsere 48 Matrizen von vorhin (was man für eine schöne Lösung natürlich auch noch genauer begründen müsste).

Also einen guten Leitfaden hast du jetzt und eigentlich nur noch 2 Stellen, an denen du noch ein wenig Zeit investieren müsstest. Wenn ic dein Skript hätte, dann könnte ich dir bestimmt genauer sagen, aus welchen Sätzen der Vorlesung die 2 Stellen folgen, aber das Herauszufinden ist jetzt deine Aufgabe.

Und zu den Beispielmatrizen:
Die Einheitsmatrix wäre eine solche Matrix. Damit bleibt der Würfel unverändert.
Und für die anderen Matrizen, die du angeben möchstest, nimmst du dir die Eckpunkte des Würfels und des Bildwürfels mal her (kannst dich ein wenig spielen, welchen Bildwürfel du haben möchstest, vielleicht eine Drehung, vielleicht eine Spiegelung des Würfels) und weisst dann, dass deine Matrix A die A*x=y ist, wobei x ein Eckpunkt des Würfels ist und y sein Bild ist. Und dann kommst du auf ein Gleichungssystem, dass du lösen kannst.
Oder du probierst es einfach aus, ob eine von dir erstellte Matrix tut, was du möchtest.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Oder du nimmst dir eine dieser Abbildungen vor und überlegst, was diese mit den kanonischen Einheitsvektoren macht. Diese Bildvektoren schreibst du in eine Matrix, und da steht sie dann, deine Abbildungsmatrix.

Gruß vom Ben
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