Gruppenhomomorphie beweisen (C,* und R,*) |
| 18.12.2005, 21:24 | reen13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppenhomomorphie beweisen (C,* und R,*) ich hab hier eine Übungsaufgabe, bei der ich mit meinem Ansatz etwas unsicher bin. 1. Gegeben seien die Gruppen G1 = (\{0},*) und G2 = (\{0},*) (a) Zeigen Sie dass G1>G2 mitr f(z)=|z| ein Gruppenhomorphismus ist (b) Beschreiben Sie geometrisch Kern(f)! (c) Beschreiben Sie die zugehörende Faktorgruppe (d) Schraenken sie G2 so ein, dass die Abbildung surjektiv wird. Auf welche AUssage führt dabei der Homomorphiesatz? Also erstmal zu (a): Ich hab mir überlegt, dass ja damit gemeint ist (ich muss das erstma theoretisch für mich verstehen), dass 2 komplexe zahlen miteinander multipliziert dasselbe abbilden wie zwei reele zahlen. oder seh ich das falsch? sprich, wenn ich zwei komplexe zahlen habe und die miteinander multipliziere ergibt dasselbe wie die multiplikation zweier reelen zahlen. Grundlegend habe ich die Eigenschaft bzw. Charakter der Homomorphie verstanden (Zwei Gruppen,Monoide usw. werden miteinander verknüpft und die Eigenschaften bleiben erhalten). So, jetz hab ich also für G1: z=(x1+iy1)*(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(y1x2+y1y2) und für g2 z=a*b Aber wie jetzt weiter? Oder hab ich da grundlegend einen Denkfehler drin? Habe auch scho einiges zu Homomorphie gelesen, aber den Knackpunkt noch nicht verstanden. Sprich, WAS ich eigentlich WIE nachweise. Das was ist mir halbwegs klar, nur am WIE hapert es noch ziemlich ^^. Danke im vorraus, schönen Abend |
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| 18.12.2005, 22:45 | lhc | Auf diesen Beitrag antworten » |
f 
A,+)->(B,x) ist Gruppenhomomorphismus gdw. f(a+a') = f(a) x f(a').In deinem Falle ist + die Addition auf C und x die Addition auf R. Als Beweis reicht also zu zeigen: f(z + z') = f(z) + f(z'), also |z + z'| = |z| + |z'|, wobei links jeweils die Addition auf C und rechts die Addition auf R steht. |
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| 18.12.2005, 22:49 | lhc | Auf diesen Beitrag antworten » |
Arr, entschuldige: In meiner Antwort soll es nicht speziell um Additionen gehen, sondern um eine beliebige Operation. In deiner Aufgabe wohl Multiplikation, also zu zeigen: |z*z'| = |z|*|z'| |
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| 18.12.2005, 23:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine hübsche Aufgabe - die gefällt mir! 
Endlich einmal etwas anderes als das Übliche ... Vor allem: Wie Strukturprinzipien der Algebra mit Geometrie und Analysis zusammenfließen! Dufte! |
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