Exponential- und Kosinusfunktion + Additionstheorem beweisen

18.12.2005, 21:51

Großes Fragezeichen

Exponential- und Kosinusfunktion + Additionstheorem beweisen

Hallo,
ich sitze gerade an drei Aufgaben und komme teilweise nicht weiter, wär nett wenn mir da jemand helfen könnte.

1. Ich muss die komplexe Kosinusfunktion C(z) durch die komplexe Exponentialfunktion E(z)ausdrücken.

2. Beweisen Sie das Additionstheorem dür den Kosinus mit Hilfe der Eulerschen Formel.

3. Beweise Sie, dass die reelle Exponentialfunktion streng monoton wachsend ist.

Zu 1:
Also soweit ich weiss ist ja
C(z):= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~(-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$ und

E(z):= $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{z^k}{k!} \end{eqnarray*}$

und dann hängen die beiden ja folgendermaßen zusammen:
$\begin{eqnarray*} C(z) = \frac{1}{2}(E(iz)+E(-iz)) \end{eqnarray*}$ .

Muss ich dann einfach einsetzen? Also
$\begin{eqnarray*} C(z) = \frac{1}{2}(\sum_{k=0}^\infty~\frac{(iz)^k}{k!}+\sum_{k=0}^\infty~\frac{(-iz)^k}{k!}) \end{eqnarray*}$
und das dann auflösen? Oder ist die Aufgabe anders gemeint?

Zu 2:
Das Additiontheorem lautet: $\begin{eqnarray*} cos(x+y)=sin(x)sin(y)+cos(x)cos(y) \end{eqnarray*}$

Die eulersche Formel ist $\begin{eqnarray*} e^{iz}=cos(z)+isin(z) \end{eqnarray*}$ und dann hat man ja
$\begin{eqnarray*} cos(z)= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin(z)= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray*}$

Ich hab das doch bewiesen wenn ich nun diese Gleichung auflöse:
$\begin{eqnarray*} cos(z+y)= \frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2} = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}* \frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i} + \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}*\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}= sinxsiny+cosxcosy \end{eqnarray*}$
Weiss nur noch nicht wie das gehen soll mit dem Auflösen...

Zu 3. hab ich leider noch keine Ahnung. Ein Tipp wäre sehr hilfreich Augenzwinkern

18.12.2005, 22:03

Lazarus

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zu drei:
streng monoton wachsend -> f'(x)>0 ...

is doch relativ zu beweisen oder ?

19.12.2005, 19:46

thoroh

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RE: Exponential- und Kosinusfunktion + Additionstheorem beweisen

Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
Zu 1:
...
$\begin{eqnarray*} C(z) = \frac{1}{2}(E(iz)+E(-iz)) \end{eqnarray*}$ .

Also ich würde meinen, das ist die komplexe Kosinusfunktion ausgedrückt durch die komplexe Exponentialfunktion. Wie erhält man diese Darstellung?

Zitat:

Zu 2:
Das Additiontheorem lautet: $\begin{eqnarray*} cos(x+y)=sin(x)sin(y)+cos(x)cos(y) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig. Das Additionstheorem für den Kosinus lautet vielmehr:

$\begin{eqnarray*} \cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} cos(x+y)= \frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2} = \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal ein guter Anfang. Was gilt nun für $\begin{eqnarray*} e^{i(x+y)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-i(x+y)} \end{eqnarray*}$ nach der Eulerschen Formel?

20.12.2005, 14:53

Großes Fragezeichen

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Es gilt doch für

$\begin{eqnarray*} e^{i(x+y)} = cos(x+y)+isin(x+y) \end{eqnarray*}$
und für
$\begin{eqnarray*} e^{-i(x+y)} = cos(x+y)-isin(x+y) \end{eqnarray*}$

Aber hilft mir das weiter? Ich kann das doch nicht in $\begin{eqnarray*} cos(x+y)= \frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen, denn dann bekomme ich doch einfach, dass cos(x+y)=cos(x+y)...Oder meinst du was anderes?

20.12.2005, 15:13

Großes Fragezeichen

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Ach so, du meinst bestimmt das:

$\begin{eqnarray*} cos(x+y)= \frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2} = \frac{e^{ix}e^{iy}+e^{-ix}e^{-iy}}{2} = \frac{(cosx+isinx)(cosy+isiny)+(cosx-isinx)(cosy-isiny)}{2} = cosxcosy-sinxsiny \end{eqnarray*}$

Und damit ist es doch gezeigt smile

Und zu 1.
Ich muss ja die komplexe Kosinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken. In der Vorlesung hatte wir dann diese Formel

$\begin{eqnarray*} C(z) = \frac{1}{2}(E(iz)+E(-iz)) \end{eqnarray*}$

Und ich würde ja auch sagen, dass das ja schon die Darstellung des Kosinus durch die Exponentialfunktion ist.
Deshalb weiss ich nicht was ich zu dieser Aufgabe noch machen soll... verwirrt

21.12.2005, 15:52

thoroh

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Für gewöhnlich erhält man die Darstellung der Kosinusfunktion mit der Eulerschen Formel.

$\begin{eqnarray*} e^{iz}=\cos z +i \sin z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-iz}=... \end{eqnarray*}$

Addition bringt die Darstellung für den Kosinus, Subtraktion die für den Sinus.

Mehr fällt mir dazu eigentlich auch nicht ein.

07.01.2006, 17:26

Großes Fragezeichen

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Hey,

ich hab zu 3) noch eine kliene Frage.
Also ich muss beweisen, das die Exponentialfunktion monoton wachsend ist. Leider kann ich das wohl nicht so machen, wie es Lazarus vorgeschlagen hat, da ich das unter Zugrundelegung der in der Vorlesung bewiesenen Tatsachen beweisen muss.

Und das waren vier:

a.) $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0<e^x<1 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 1<e^x< \infty \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb Q: \lim_{n \to \infty} \frac{e^x}{x^a} = + \infty \end{eqnarray*}$

e) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -\infty} e^x = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mir aber gedacht, dass die Monotonie eigentlich schon aus c) hervorgeht. c) zeigt ja, dass die Exponentialfunktion stärker wächst, als jede Potenz. Und da c) bewiesen wurde, ist doch damit gezeigt, dass e^x monoton wachstend ist, oder?
Wäre lieb, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Begründung so richtig ist....

07.01.2006, 17:43

thoroh

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Habe einen anderen Vorschlag:
Darfst du das Additionstheorem für die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} e^{x+y}=e^x e^y \end{eqnarray*}$ verwenden?

Sei $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x-y<0 \end{eqnarray*}$

Aus a.) folgt $\begin{eqnarray*} 0<e^{x-y}<1 \end{eqnarray*}$
usw.

07.01.2006, 18:41

Großes Fragezeichen

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Ja, das nehm ich doch an, dass wir das dürfen.

Dann ist es doch richtig, wenn ich rechne:

$\begin{eqnarray*} 0<e^{x-y}<1 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 0<e^xe^{-y}<1 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 0<e^x< \frac{1}{e^{-y}} = e^y \end{eqnarray*}$

Bei b) macht man das ählich, und damit ist die Exp.funtk. monoton wachsend. :-)

Cool, danke Wink

07.01.2006, 20:34

thoroh

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Sei $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
Dann ist es doch richtig, wenn ich rechne:

$\begin{eqnarray*} 0<e^{x-y}<1 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 0<e^xe^{-y}<1 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 0<e^x< \frac{1}{e^{-y}} = e^y \end{eqnarray*}$

w.z.z.w.

Zitat:

Bei b) macht man das ählich,

Was meinst du damit?

lg
thoroh

08.01.2006, 01:16

Großes Fragezeichen

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Naja, damit hat man das doch nur gezeigt, also das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<e^x<1 \end{eqnarray*}$ monoton wachsend ist. Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ und dem Intervall $\begin{eqnarray*} 1<e^x< \infty \end{eqnarray*}$ .

Muss man da nicht noch folgendes rechnen ums komplett zu machen:

Sei x<y und 0<y-x.

Dann folgt aus b):

$\begin{eqnarray*} 1<e^{y-x}< \infty \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 1<e^ye^{-x}< \infty \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} e^{x} = \frac{1}{e^{-x}}<e^y< \infty \end{eqnarray*}$

Ich dachte nur, dass man das schon noch zeigen muss .... verwirrt

08.01.2006, 14:31

thoroh

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$\begin{eqnarray*} x<y \Rightarrow x-y<0 \end{eqnarray*}$

Also wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und du subtrahierst die größere Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von der kleineren Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , ist das Ergebnis immer negativ, ganz gleich ob $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ positiv oder negativ ist.

Damit ist schon alles erledigt.

lg
thoroh

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