Verständnisproblem zur delta funktion

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19.12.2005, 12:32	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem zur delta funktion Hi, ich hab nen kleines Verständnisproblem zur Delta-Funkltion. delta(x-x0) nimmt ja für alle x den Wert null an, abgesehen von x = x0 wo die Funktion unendlich wird. Wenn man die Funktion mit eine anderen Funktion f(x) unter nen Integral packt, erhält man den funktionswert f(x0). Für f(x) = 5 beispielsweise wäre das Integral(delta(x-xo)5)dx = 5. jetzt finde ich aber in manchen Lehrbüchern, dass die deltafunktion ohne Integral benutzt wird um zB Massendichten oder Ladungsdichten an einen bestimmten punkt zu definieren. beispiel: Die Masse eines atoms (welches als punktförmig angenommen wird und beträgt 12) in Abhängigkeit der Ortskoordinat x. masse(x) = 12delta(x-x0) Wenn das ganze ding unter einem Integral stehen würde hätte ich kein Problem damit, aber so geht die Deltafunktion am Punkt x0 doch gegen den Wert unendlich o_O. Stellen die das in dem Büchern vereinfacht da und gehen davon aus das man da selbstständig nen Integral drüber zieht, oder hab ich irgendetwas falsch verstanden? Ich hoffe ihr könnt mit helfen. Vielen Dank schonmal im vorraus
19.12.2005, 12:58	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisproblem zur delta funktion Ich verstehe nicht ganz, warum $\begin{eqnarray} \int \delta(x-x_0)5d x=5 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \delta(x-x_0)=\begin{cases}0 &: x=x_0\\ +\infty &: x\not= x_0\end{cases} \end{eqnarray}$ sein soll. Steh ich da irgendwie auf dem Schlauch? Bzgl. der Massedichten: Oft wird dazu in den Büchern das Diracmaß verwendet, welches auch das Symbol $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray*}$ besitzt. Bist du sicher, dass es sich immer um "deine" Funktion handelt?
19.12.2005, 13:01	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisproblem zur delta funktion Weil das integral über die rohe deltafunktion 1 ist.
19.12.2005, 13:06	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisproblem zur delta funktion Sorry, da muss dir dann wer anders helfen. Aus meiner Sicht wird das Integral unendlich, da die Domain von Delta ( $\begin{eqnarray} \operatorname{dom}\delta \end{eqnarray}$ ) eine Nullmenge ist. Edit: Nur Interesse halber: Was ist denn "die rohe" Deltafunktion?
19.12.2005, 13:26	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir sicher das es die Deltafunktion ist, da die Beispiele alle zum thema Deltafunktion waren. Das Integral der Deltafunktion hat auch immer den Wert 1. Das ist halt eine Eigenschaft der Deltfunktion. Wärend der Funktionswert für delta(0) gegen unendlich geht, geht die Breite der "delta zacke" gegen 0. Folgende Funktion ist die Darstellung einer deltafunktion: $\begin{eqnarray} delta_n = n e^{-pin^2x^2} \end{eqnarray*}$ geplottet für n = 100: Wenn man jetzt den lim n-> inf bildet würde die Darstellung in die deltafunktion übergehen. Die Fläche würde aber immer dieselbe beiben, nämlich 1 nur wenn man die Funktion jetzt nich unter nem integral stehen hat, enthält man für den wert 0 doch unendlich. --> damit kann doch keine mathematik getrieben werden!? o_O
19.12.2005, 13:29	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, ich kann meine Beiträge nicht editiren... Mit roher delta funktion meinte ich die deltafunktion ohne faktor, bz. mit dem faktor eins ^^ also Integral( delta(x) ) dx
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19.12.2005, 13:41	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zitat aus Wikipedia: "Die Diracshe-Delta-Funktion ist genau genommen gar keine Funktion, sondern eine Distribution, die nur über ihr Integral definiert ist. Die Integration über eine Diracshe-Delta-Funktion liefert 1, Integration über eine Diracshe-Delta-Funktion multipliziert mit einer Funktion f(x) liefert den Funktionswert f(a) von f an der Stelle a." Ich glaube es kann schon sein, dass Anwendungs-orientierte Bücher mit der strengen Definition es nicht so genau nehmen, solange sie nur damit rechnen können, und richtige Ergebnisse bekommen.
19.12.2005, 13:42	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich merke grad, dass ich da auch was verdreht habe. Denn du hattest ja diese Funktion vorgegeben: $\begin{eqnarray} \delta(x)=\begin{cases} +\infty &: x=0\\ 0 &: x\not= 0\end{cases} \end{eqnarray}$ Edit: Meinst du das so: $\begin{eqnarray} \delta(x)=\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)=\lim_{n\to\infty}n\cdot \operatorname{exp}\left\{\frac{1}{\pi n^2x^2}\right\} \end{eqnarray}$ ?
19.12.2005, 13:53	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, kann gut sein das das in den Lehrbüchern nicht so genau genommen wird.. eins heißt Mahtematik für Chemiker und eins ist irgend so ein Physikbuch g Naja, dann nehm ich das mal so hin. vielen Dank für die schnelle Hilfe.
19.12.2005, 13:55	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
@sts112358 jo, genau das meine ich
19.12.2005, 13:59	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber diese Grenzfunktion würde z.B. an der Stelle x=1 nie den Wert 0 annehmen.
19.12.2005, 14:14	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, das nicht. Aber im Grenzfall lim n->inf würde der Funktionswert für x = 1 gegen null gehn.
19.12.2005, 14:18	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum das denn? $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} n\cdot \operatorname{exp}\left\{\frac{1}{\pi n^2}\right\}=\infty \end{eqnarray}$
19.12.2005, 14:21	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, Exp[-n^2] läuft schneller gegen null, als n gegen unendlich läuft.
19.12.2005, 14:24	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \operatorname{exp}\{1/n\} \to 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ , oder nicht? edit: autsch - sag nichts ... sorry sorry sorry du meintest doch sicher $\begin{eqnarray} \delta_n(x)=n\cdot \frac{1}{\operatorname{exp}\{\pi n^2 x^2\}} \end{eqnarray}$ anstelle der funktion, die da oben steht oder?
19.12.2005, 14:28	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Exp[n] für n-> inf wird zu unendlich Exp[-n] = 1 / Exp[n] läuft für n-> unendlich gegen "1 / unendlich" also gegen null
19.12.2005, 14:30	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
-.- Sry.. is mir auch nicht aufgefallen g Kein Wunder das man dann an sich vorbeiredet -.-
19.12.2005, 14:34	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, nun haben wir uns aber deinem eigentlichen Problem kein Stück genähert, oder? So also noch ein Versuch: Ich stimme dir zu, dass das Integral über $\begin{eqnarray} \delta_n \end{eqnarray}$ für alle n den Wert 1 annimmt (hab es aber ehrlich gesagt nicht überprüft). Allerdings meine ich, dass dies nicht mehr für die Grenzfunktion zutrifft.
19.12.2005, 14:48	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, irgendwie nicht ^^ Naja, vielleicht muss man es tatsächlich so sehen das die Deltafunktion in machen Lehrbüchern aus mathematischer sicht nicht 100 %ig korrekt dargestellt wird. Das Problem war nur, ich muss da morgen nen Vortrag drüber halten. Und wenn man da was erzählt was man nicht genau verstanden hat steht man (falls tatsächlich wer fragen sollte) immer nen bissle doof da ^^ Und jetzt sag ich denen einfach: Wir Chemiker sind da nicht immer so genau g damit müssen sie sich dann zufrieden geben
19.12.2005, 14:55	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Sag denen einfach, dass es für hinreichend große n auf jeden Fall gilt.
19.12.2005, 15:09	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
also erstmal für alle Zweifler: man kann mit der delta-Distribution sehr wohl genaue exakte Mathematik betreiben, man braucht dafür allerdings einen verallgemeinerten Funktionsbegriff, eben den der Distribution. Wenn da Interesse besteht, kann ich das auch noch mal genauer erklären, aber für dein ursprüngliches Problem gibt es eine viel einfachere Lösung. Man muss genau zwischen Dichte und Masse unterscheiden. Es wird angesetzt, das die Dichteverteilung im Raum $\begin{eqnarray} 12\delta (x-x_0) \end{eqnarray}$ ist. Das ist equivalent zu der Aussage, das das Atom eine Punktmasse mit Masse 12 ist, denn die Gesamtmasse bestimmt man durch integrieren der Dichtefunktion über eine geeignete Umgebung. Das funktioniert genauso wie mit einer Dichte die überall endlich ist. Noch ein Punkt: der * zwischen einer Funktion f und der Deltadistribution ist kein Produkt sondern eine Faltung oder Convolution, die ist als $\begin{eqnarray} (f g)(x)=\int f(y)g(x-y)dy \end{eqnarray}$ definiert, für diese gilt dann $\begin{eqnarray} (f * \delta)(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für jede Funktion f
19.12.2005, 15:49	Gast2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht Sinn Klar, die Dichte der Masse wird für eine Punktförmige Masse unendlich. Das Integral ergibt dann wieder die Masse -.- Besten dank für die Erkenntnis

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