Parametergleichung aus Geradengleichung und P

19.12.2005, 15:22

sannka

Parametergleichung aus Geradengleichung und P

Eine Ebene E ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt.
Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an.

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P (5/ -5/ 3)

Kann mir jemand sagen, wie das funktioniert, bitte?

19.12.2005, 15:57

JochenX

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hmmm, wenn du uns die wichtigste information vorenthältst, dann nein
wie hängen denn E und g,P zusammen?

ich vermute mal: g und P sollen in E liegen?
wenn ja: was für ein zweiter ebenenrichtungsvektor bietet sich denn an, der sicherstellt, dass P in E liegt?

19.12.2005, 18:06

sannka

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stand da nicht, ich habe die Aufgabe so abgetippt, wie sie dort stand

Ich habe es jetzt so gemacht,
weiß aber nicht, ob es richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 5-1 \\ -5-0 \\ 3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.12.2005, 19:00

guest

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Ja, kann man machen. Allerdings fehlt das " $\begin{eqnarray*} \vec x = \end{eqnarray*}$ " Augenzwinkern

Patrick

19.12.2005, 19:29

JochenX

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Zitat:

Original von LOED
ich vermute mal: g und P sollen in E liegen?

und gilt nur dann!

E wäre z.b. auch eindeutig bestimmt, wenn P in E liegen sollte und g normal zur ebene stehen sollte.....

du siehst also, so unwichtig ist die information nicht

05.02.2006, 10:43

Dorian

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Wenn folglich bekannt ist, dass P in der Ebene liegt, muss ich quasi einfach erst die Gleichung der Geraden üebernehmen und einen zweiten Richtungsvektor bilden?

Er bildet sich ja anscheinend aus dem gegebenen Punkt und einem kollinearen Stützvektor (Ich hoffe der Terminus stimmt) der Geradengleichung?

Nur wie genau? Den Punkt als Vektor schreiben und den kollinearen Vektor einfach mit Vorzeichen dahintersetzen und ausrechnen?

[Entschuldigt, aber mein Fachvokabular ist nicht das beste.]

/edit:

Will sagen:

Gegebener Stützvektor der Geraden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kollinearer Vektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (-1) \\ (-0) \\ (-3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und deshalb Vektor des Punktes

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ (-5) \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

minus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (-1) \\ (-0) \\ (-3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (5-1) \\ (-5-0) \\ (3-1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig?

05.02.2006, 11:24

riwe

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RE: Parametergleichung aus Geradengleichung und P

Zitat:

Original von sannka
Eine Ebene E ist durch den Punkt P und die Gerade g eindeutig bestimmt.
Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an.

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P (5/ -5/ 3)

Kann mir jemand sagen, wie das funktioniert, bitte?

ich fasse das so auf: der punkt P und die gerade liegen IN der Ebene E.
dann war dein weg vollkommen richtig.
du konstruierst E indem du noch den vektor A(ufpunkt der geraden)P samt parameter "hinzufügst".
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 5-1 \\ -5-0 \\ 3-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
alternativ kannst du E aufstellen mit den punkten A(1/0/1), P(5/-5/3) und einem beliebigen punkt auf g (z.b. für t = 1)
sollte E durch P und den RICHTUNGSVEKTOR der geraden g als normalenvektor von E festgelegt sein, bildest du einfach die ebene mit hilfe der normalvektorform
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 5 \\-5 \\ 3 \end{pmatrix}) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
immer vorausgesetzt P liegt nicht auf g.
werner

05.02.2006, 12:20

Dorian

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Erneut vielen Dank!

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