p-Norm und max-Norm

06.05.2008, 22:17	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
p-Norm und max-Norm Mal wieder ein Aufgabenblatt und es ist zu zeigen $\begin{eqnarray} \lim_{p \to \infty} \|\|x\|\|_p = \|\|x\|\|_\infty \end{eqnarray}$ Irgendwie steht das wie eine Wand vor mir. Die p-Norm ist ja definiert durch $\begin{eqnarray} \left( \sum_{i=1}^n \|x_i\|^p \right)^{1/p} \end{eqnarray}$ Nun habe ich versucht, da durch die Höldersche Ungleichung oder ähnliches umzuformen, aber bist jetzt hat nichts geholfen... Kann mir jemand zumindest ansatzweise sagen, wie ich das machen muss?
06.05.2008, 22:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte $\begin{eqnarray} \|x_i\|\leq \\|x\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ . Außerdem ist die Supremumsnorm in diesem Fall auch Maximumsnorm - was genau bedeutet das?
06.05.2008, 22:39	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Supremumsnorm kenne ich bisher nur aus der Analysis im Zusammenhang mit Funktionen als $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_D := \sup \{ \|f(x)\| : x \in D \} \end{eqnarray}$ Wie hilft mir das denn jetzt in diesem Zusammenhang weiter?! Noch habe ich ja keine Funktion...
06.05.2008, 22:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \\| x \\|_{\infty} \end{eqnarray}$ ist die Supremumsnorm. Hier im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ist das natürlich identisch mit der Maximumnorm, also $\begin{eqnarray} \\| x \\|_{\infty} = \max\limits_{1\leq i\leq n} \|x_i\| \end{eqnarray}$ Überlege dir, warum die Sandwich-Ungleichung $\begin{eqnarray} \\| x \\|_{\infty}^p \leq \sum_{i=1}^n \|x_i\|^p \leq n\cdot \\| x \\|_{\infty}^p \end{eqnarray}$ gilt und inwieweit die dir nach p-ter Wurzel bei der Grenzwertbildung $\begin{eqnarray} p\to\infty \end{eqnarray}$ hilft...
06.05.2008, 23:05	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Danke! Die Ungleichung ist ja recht einfach (daher schreibe ich sie hier nicht nochmal bewiesen hin). Dann ist $\begin{eqnarray} \lim_{p \to \infty} (\|\|x\|\|_\infty ^p)^{1/p} = \lim_{p \to \infty} (n \cdot \|\|x\|\|_\infty ^p)^{1/p} = \|\|x\|\|_\infty \end{eqnarray}$ und damit nach dem "Sandwich-Kriterium" die Behauptung bewiesen. EDIT: Wurzeln vergessen
06.05.2008, 23:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so geht's nicht: Erst die p-te Wurzel ziehen, dann Grenzwert. In der anderen Reihenfolge klappt's nicht!
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06.05.2008, 23:16	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach sorry, hab ich vergessen abzutippen Schon klar...

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