Beweis: Mittelsenkrechtenschnittpunkt

Neue Frage »

20.12.2005, 19:31	Teutone	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Mittelsenkrechtenschnittpunkt Hallo, Wir haben erst vor kurzem mit analytischer Geometrie bzw. erstmal mit der dazugehörigen Algebra angefangen. Unsere Aufgabe ist nun der vektorielle Beweis, dass sich alle 3 Mittelsenkrechten eines Dreiecks im selben Punkt schneiden, bzw. die Dritte im Schnittpunkt der anderen beiden. Für Tipps dazu wär ich dankbar.
20.12.2005, 19:45	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Tipp geben hmm.. ohne gleich den Lösungsweg zu verraten.. Nimm doch einfach mal an, dass es einen Schnittpunkt gibt und was dann gelten muss. Und dann beweist du halt, das was gelten muss.
20.12.2005, 20:05	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich gebs ein bisschen genauer an. Wenn du einen Schnittpunkt berechnen willst, woher weißt du, dass es einen gibt? //edit: Mist, der Beweis funktioniert nicht, hab gerade einen Fehler gefunden
20.12.2005, 20:26	Teutone	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich schon schrieb, ich will zeigen, dass die Dritte sich im Schnittpunkt der anderen schneidet. Und dieser Schnittpunkt existiert, wenn die 2 Mittelsenkrechten linear unabhängig sind, was ich ja wohl annehmen kann...Das der Beweis nicht gerade schwer ist weiß ich auch selber, sonst hätte unser lehrer uns den nicht als Einstieg machen lassen und es hat was mit dem Skalarprodukt zu tun und ich weiß bloß nicht welche Vektoren ich durch welche darstellen soll...
20.12.2005, 20:35	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
betrachte den geschlossenen vektorzug $\begin{eqnarray} \vec{AS} +\vec{SB} +\vec{BA}= \vec{o} \end{eqnarray}$ und drücke alle vektoren durch die linear unabhängigen vektoren $\begin{eqnarray} \vec{c} =\vec{AB} \text{ und } \vec{b} =\vec{AC} \end{eqnarray}$ aus werner
20.12.2005, 21:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ wernerrin Es soll wohl um die Mittelsenkrechten, nicht um die Seitenhalbierenden gehen. @ Teutone Mittelsenkrechten haben etwas mit Senkrechtstehen zu tun. Daher wird es ohne Skalarprodukt nicht gehen. Wenn $\begin{eqnarray} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray}$ die Ortsvektoren der Eckpunkte $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ des Dreiecks sind, dann ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \end{eqnarray}$ der Ortsvektor des Mittelpunktes der Seite $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Die Mittelsenkrechte von $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray}$ als Normalenvektor und daher die Gleichung $\begin{eqnarray} \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \left( \vec{x} - \frac{1}{2} \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \right) = 0 \end{eqnarray}$ Man kann die Gleichung mit $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$ multiplizieren und teilweise ausmultiplizieren. Dann bekommt sie die Form $\begin{eqnarray} \vec{a}^2 - \vec{b}^2 - 2 \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ Durch zyklische Vertauschung $\begin{eqnarray} \vec{a} \mapsto \vec{b} \mapsto \vec{c} \mapsto \vec{a} \end{eqnarray}$ erhältst du die Gleichung der beiden anderen Mittelsenkrechten. Zwei solche Mittelsenkrechten, aufgefaßt als Gleichungen in den Koordinaten des Vektors $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stellen ein lineares 2×2-Gleichungssystem dar. Jetzt überlege, 1. warum dieses eine eindeutige Lösung besitzt 2. warum diese eindeutige Lösung auch der dritten Mittelsenkrechtengleichung genügt Bei 2. ist es ein ganz simpler Trick - wenn man ihn sieht.
Anzeige

16.05.2006, 01:03	Teutone	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ja alles bis dahin klar. Aber ich weiß nicht, warum besitzt das LGS nun eigentlich eine eindeutige Lösung?
16.05.2006, 07:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein CAS hat dir da den Schnittpunkt ausgerechnet. Das ist aber überhaupt nicht erforderlich. Die Gleichungen für die Mittelsenkrechten von $\begin{eqnarray} AB, BC, CA \end{eqnarray}$ in dieser Reihenfolge sind $\begin{eqnarray} \vec{a}^{\, 2} - \vec{b}^{\, 2} - 2 \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b}^{\, 2} - \vec{c}^{\, 2} - 2 \left( \vec{b} - \vec{c} \right) \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c}^{\, 2} - \vec{a}^{\, 2} - 2 \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ Wenn du nun die ersten beiden Gleichungen addierst, so erhältst du bis auf Vorzeichen die dritte (das kann man direkt in Vektoren rechnen; das Zurückgehen bis auf die Koordinaten ist überflüssig). Dies zeigt, daß allein die ersten beiden Gleichungen die Lösungsmenge vollständig bestimmen. Jede gemeinsame Lösung der ersten beiden Gleichungen löst daher von alleine die dritte Gleichung. Daß die beiden ersten Gleichungen nun genau eine Lösung besitzen, liegt einfach daran, daß die Normalenvektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow{CB} = \vec{b} - \vec{c} \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Und das ist so, weil ja wohl ein nichtentartetes Dreieck vorliegen soll, das keine parallelen Seiten kennt. Damit schneiden sich alle Mittelsenkrechten in einem Punkt.
16.05.2006, 12:02	Teutone	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt kann ich wieder ruhig schlafen, nachdem sich diese Sache auch erledigt hat. Ich hab immer versucht die beiden Gleichungen gleichzusetzen, was nichts Brauchbares ergab. Aber das mit dem Addieren is ja ne coole Sache. Dann bedank ich mich mal.
16.05.2006, 14:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das Gleichsetzen funktioniert, wenn man danach alles auf eine Seite bringt (dann ist es letztendlich wie voneinander subtrahieren). mY+
17.05.2006, 00:46	Teutone	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann will ich aber wissen, was mir Folgendes bringt: $\begin{eqnarray} \vec{a}^2 - \vec{b}^2 - 2 \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \vec{x} &=& \vec{b}^ 2 - \vec{c}^2 - 2 \left( \vec{b} - \vec{c} \right) \vec{x} \\ \vec{a}^ 2 - 2\vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2 \vec{a}\vec{x} +4\vec{b}\vec{x} - 2\vec{c} \vec{x}&=&0 \end{eqnarray}$ Und da seh ich irgendwie keinen Zusammenhang zur Dritten Gleichung, auch wenn Addition und Subtraktion ja sozusagen das Gleiche sind.
17.05.2006, 12:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall (bei der Addition) musst du eine der beiden Gleichungen (beispielsweise die zweite Gleichung) noch vorher mit (-1) multiplizieren: $\begin{eqnarray} \vec{a}^{\, 2} - \vec{b}^{\, 2} - 2 \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\vec{b}^{\, 2} + \vec{c}^{\, 2} + 2 \left( \vec{b} - \vec{c} \right) \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------------------------------------------------------- $\begin{eqnarray} \vec{a}^{\, 2} - \vec{b}^{\, 2} - 2 \left( \vec{a} - \vec{b} \right) \, \vec{x} = -\vec{b}^{\, 2} + \vec{c}^{\, 2} + 2 \left( \vec{b} - \vec{c} \right) \, \vec{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c}^{\,2} - \vec{a}^{\, 2} - 2 \left(- \vec{b} + \vec{c} - \vec{a} + \vec{b} \right) \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c}^{\,2} - \vec{a}^{\, 2} - 2 \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray}$ mY+
18.05.2006, 00:22	Teutone	Auf diesen Beitrag antworten »
Also echt mal, so begriffsstutzig bin ich nun auch wieder nicht, dass du mir alles vorrechnen musst. Dass ich mit der Subtraktion Erfolg habe, wenn ich eine Gleichung vorher mit -1 multipliziere, ist mir durchaus klar... Naja ok lassen wir das nun. Ich hab eben immer obige Umformungen gemacht und mich dann halt gewundert, um mehr gings eigentlich auch nicht ... Übrigens, deine alte Signatur hat mir wesentlich besser gefallen.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis: Mittelsenkrechtenschnittpunkt

Verwandte Themen