Beweise mit vollständiger Induktion |
| 21.04.2004, 17:42 | sonja1893 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweise mit vollständiger Induktion Ich hab da ein paar Aufgaben zum o.g. Thema bekommen, bei denen ich nicht weiß, wie ich sie anpacken muss. Ich weiß wohl, wie die vollständige Induktion funktioniert, kann das hier aber nicht anwenden. Ich hoffe, ihr bringt mich da etwas weiter. 1. Beweise mit vollständiger Induktion: 8 teilt , für alle n. 2. Alle Pferde haben die gleiche Farbe. Wir beweisen das durch eine Induktion über die Anzahl n der Pferde in einer Menge. Induktionsanfang: Die Behauptung ist offensichtlich richtig für n=1, da ein Pferd dieselbe Farbe hat wie es selbst. Induktionsschritt: Gelte die Behauptung für jede Menge von n Pferden. Wir betrachten eine Menge mit n+1 Pferden, die wir von 1 bis n+1 durchnummerieren. Nach der Induktionsvoraussetzung haben die n Pferde von 1 bis n dieselbe Farbe, und genauso die n Pferde von 2 bis n+1. Da die mittleren Pferde (von 2 bis n) in beiden Mengen vorkommen und ihre Farbe nicht wechseln können (dies sind Pferde, keine Chamäleons), haben also, wegen der Transitivität, alle Pferde von 1 bis n+1 die gleiche Farbe. Oder stimmt da etwas nicht? [edit: Das stimmt bestimmt nicht, nur was genau ist falsch??? 
]3. Eine Pizza soll mit einem Pizzamesser mit geraden Schnitten in Stücke geteilt werden. Die Stücke müssen nicht gleich groß sein und können verschiedene Formen haben. Wie viele Stücke kann man mit n Schnitten maximal erhalten? Hinweis: Betrachten Sie zunächst die kleinen Fälle n=0, 1, 2, 3 und evtl. noch 4 und versuchen Sie eine allgemeine Regel aufzustellen, die Sie dann mit Induktion beweisen. X( X( X( |
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| 21.04.2004, 17:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Teilbarkeit durch 8 Ich weiß, das ist keine vollständige Induktion, wie du es wünscht, aber eine schöne Alternative. Mit Hilfe der geometrischen Reihe kann man nämlich rechnen: Rechts steht ein Produkt zweier ganzer Zahlen, von denen eine 8 ist. Dies zeigt die Teilbarkeit des gegebenen Ausdrucks durch 8. |
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| 21.04.2004, 18:01 | sonja1893 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Teilbarkeit durch 8 Sorry, aber ich muss die Aufgabe mit vollständiger Ind. lösen. Wenn ich es anders mache, ist es falsch. Also mit Ind.anfang, Ind.behauptung, Ind.schritt. Weißt du denn auch nicht, wie das geht? |
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| 21.04.2004, 18:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Teilbarkeit durch 8 Induktionsanfang, Induktionsannahme und Induktionsbehauptung dürften keine Schwierigkeiten darstellen. Das Problem ist nun, daß du bei der Induktionsbehauptung, wo ja der Term 9^(n+1) - 1 auftritt, den Term 9^n - 1, der in der Induktionsannahme vorkommt, ins Spiel bringen mußt, um den Induktionsschritt durchführen zu können. Na ja: -1 = -9+8. Muß ich noch mehr verraten? |
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| 21.04.2004, 18:19 | sonja1893 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Teilbarkeit durch 8 Du meinst ich muss das so machen: Ind.voraussetzung: A(n)=-1 + 9^n Ind.behauptung: A(n+1)=-1 + 9^(n+1) Ind.schritt: -1 + 9^n * 9^1 = -1 + (1 - 1 + 9^n) * 9 = -1 + 9 + (-1 + 9^n) = 8 + (-1 + 9^n) Oder wie?
Erklär doch mal... |
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| 21.04.2004, 18:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Teilbarkeit durch 8 Im Prinzip ja, nur hast du am Schluß *9 verschlampt. Auch solltest du nicht einfach A(n) = 9^n-1 schreiben, sondern A(n) = " 9^n - 1 ist durch 8 teilbar " oder A(n) = " 8 | 9^n - 1 " denn 9^n-1 ist ja einfach nur ein Term, der für sich genommen noch keine Aussage darstellt (die man mit wahr/falsch beurteilen kann). |
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| 21.04.2004, 18:44 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die zweite Aufgabe hat ihren Haken bei n=1 im Induktionsschritt. Die "mittlere Menge" von Nr. 2 bis n ist in diesem Falle leer. Genauso lässt sich sowas wie n=-n und alle Planeten sind bewohnt "beweisen" ;-) Liebe Grüße Mario |
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| 21.04.2004, 18:49 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei 3. sollte man spezifizieren, ob man die Stücke vorm Schneiden zurechtlegen darf, oder ob alles in der runden Form liegenbleiben soll. Im ersten fall verdoppelt sich einfach in jedem Schritt die Anzahl. Der andere Fall ist glaube ich wesentlich schwieriger, da dann geometrische Argumente eine Rolle spielen. In dem Falle wirklich mal ausprobieren für n=1...4 oder so.... Schreib mal, was gemeint sein könnte.... Liebe Grüße Mario |
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| 21.04.2004, 18:54 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
P. S.: Man kann Pizza sicherlich auch vor dem Schneiden deformieren, z. B. wie eine Serviette falten. Dann entstrehen bestimmt noch mehr Teile, im Grenzfall unendlich viele. Dann folgt der Rest mit Induktion leicht :-) O.K. bringt Dich nicht weiter, würd ich aber glatt so als Lösung einreichen, gibt bestimmt einen Kuriositätspunkt... Liebe Grüße Mario |
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| 21.04.2004, 18:57 | sonja1893 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung, ob man sich die Stücke zurechtlegen darf. Da dazu nichts dransteht, würde ich mal sagen nein und so wie ich unsern Mathe-Prof einschätze, ist das auch so. 
Könntest du bitte noch erklären, warum die mittlere Menge bei der 2. Aufgabe leer ist? Das kapier ich irgendwie nicht so ganz. |
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| 21.04.2004, 19:10 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist ganz einfach: wenn n=1 ist, liegt zwischen 2 und n=1 natürlich nichts. Dass dort der Fehler liegen muss ist übrigens klar, denn genau für n+1=2 ist die Aussage das erste mal falsch. (Für allgemeines n gilt meine Behauptung mit der leeren Menge natürlich nicht...) Liebe Grüße Mario |
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| 21.04.2004, 19:16 | sonja1893 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei mir steht grad irgendeiner auf der Leitung. :P Bitte nochmal gaaaaanz langsam und ausführlich.
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| 21.04.2004, 19:50 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Führe den Induktionsschritt für n=1 ganz langsam durch, dabei musst Du jeweils n durch 1 ersetzen. Dann steht da, dass die mittleren Pferde (von 2 aufwärts gezählt zu 1, was natürlich nicht geht) in beiden Mengen vorkommen. Diese Menge ist leer. Die Menge von n+1=2 Pferden zerfällt also in genau 2 disjunkte Mengen mit je 1 Pferd, eine gemeinsame Gruppe gibt es in diesem Falle nicht... Liebe Grüße Mario |
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| 22.04.2004, 15:17 | sonja1893 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok. Und wie muss ich nun die Pizza-Aufgabe lösen? Also n=0: 1 Stück n=1: 2 Stücke n=2: 4 n=3: 7 n=4: 11 oder gehen jeweils noch mehr? Denn da steht ja nirgends, dass die Schnitte immer durch die Mitte gehen müssen. Aber wie sieht dann diese allgemeine Regel aus? |
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| 22.04.2004, 15:55 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine Vermutung wäre, dass die Differenz der Stücke beim Schneiden jeweils um 1 zunimmt: 1, n=0 1+ 1=2 , n=1 2+ 2=4 , n=2 4+ 3=7 , n=3 7+ 4=11 , n=4 11+5=16 (?), n=5 (?) ... n... Anzahl der Schnitte Über einen Beweis müsste ich nachdenken, mal sehn ob ich das neben der Arbeit schaffe... Liebe Grüße Mario |
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| 22.04.2004, 16:03 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schon geschafft, Google weiß alles... Der Beweis steht auf http://math.uni-heidelberg.de/logic/SS02...latt_04_lsg.pdf Die Vermutung war richtig. Liebe Grüße Mario |
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| 22.04.2004, 16:43 | sonja1893 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey! Super! Vielen Dank für den Link. Hast du als Suchbegriff Pizza eingegeben? 
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| 22.04.2004, 16:44 | Mario | Auf diesen Beitrag antworten » |
Pizza , schneiden und Induktion :-) Viel Spaß noch beim Knobeln Liebe Grüße Mario |
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| 22.04.2004, 21:02 | Arum | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Fakultät ausmultiplizieren bzw. zusammenfassen Hallo, bin durchs googlen auf diese Seite gestoßen. Vielleicht könnt ihr mir helfen. Ich hab die Aufgabe: k!*k=(n+1)!-1 Der Beweis ist nicht wirklich ein Problem. Mein Prob. ist am Schluß das zusammenfassen und kürzen von (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) zur Behauptung (n+2)!-1 Die beiden Seiten sind gleich, bloß wie wandle ich die linke Seite zum Ausdruck der rechten Seite um ??? Kann man (n+1)! irgendwie ausmultiplizieren oder so ?? Vielen Dank schonmal
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| 22.04.2004, 21:28 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Klammere in (n+1)!-1+(n+1)!(n+1) einfach (n+1)! aus. Dann bist du fertig. |
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| 22.04.2004, 22:46 | Arum | Auf diesen Beitrag antworten » |
hmmm meinst du (n+1)![-1+(n+1)] ??? Dann stimmen die Gleichungen aber für 1 nicht mer überein. Da muss ich was falsch gemacht haben.... 
Gruß |
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| 25.04.2004, 14:51 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hoffe, du hast die Aufgabe weggelegt und sie ein paar Stunden später nochmal angeschaut. Wenn nicht die Gleichung lautet nach dem Ausklammer eher (n+1)!(n+1+1) -1 = (n+2)! -1 |
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| 07.10.2011, 12:54 | LordVetinari | Auf diesen Beitrag antworten » |
| pizza Könnte man als Ausgangsformel nicht einfach sagen, dass die Summe sich mithilfe von 1+[n*(n+1)]/2 berechnet, also immer Gauß plus eins? Dann wäre der Induktionsbeweis recht einfach zu führen, analog dem Gauß-Beweis. |
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