Konvergenz + Grenzwert

21.12.2005, 22:06

flush

Konvergenz + Grenzwert

Hallo,

habe folgende Aufgabe und hab überhaupt keinen Plan wie ich da dran gehen soll, ich habs schon versucht, nur bleib ich dann wo hängen und komm nicht weiter... Also bestimmt werden soll ob die Folge konvergiert und der Grenzwert. Das Ding müsste normal irgendwas gegen e gehen.

$\begin{eqnarray*} (\frac{6n+5}{6n-4})^{4n-3} \end{eqnarray*}$

21.12.2005, 22:26

sqrt(2)

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Es geht auch gegen irgendwas mit e. Damit du das herausfindest, musst du also am Ende einen Ausdruck der Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{bn}=e^{ab} \end{eqnarray*}$

stehen haben. Dazu klammere, wie du es bei Grenzwerten gebrochenrationaler Folgen gewohnt bist, aus dem Bruch die größtmögliche Potenz mit Vorfaktor aus und ziehe den Faktor aus der Basis heraus. Dann kannst du mit den Potenzgesetzen den Exponenten auf die Form $\begin{eqnarray*} bn \end{eqnarray*}$ bringen und bist dann, wenn du die einzelnen Teilreihen dann gemäß der Grenzwertsätze einzeln betrachtest, quasi fertig.

21.12.2005, 22:47

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aha, ok, aber könntest du das bitte grad mal an der Aufgabe durchrechnen?
Irgendwie hab ich da meine Probleme...

21.12.2005, 22:48

flush

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also das ganze dann so umformen dass das passt

21.12.2005, 22:59

sqrt(2)

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Zitat:

Original von flush
aha, ok, aber könntest du das bitte grad mal an der Aufgabe durchrechnen?

Nein: Prinzip "Mathe online verstehen!"

Zitat:

Original von flush
Irgendwie hab ich da meine Probleme...

Dann zeig doch mal, was du bisher umgeformt hast.

21.12.2005, 23:40

flush

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{6n-4}{6n-4}+ \frac{9}{6n-4} \end{pmatrix} ^{4n-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+ \frac{9}{6n-4} \end{pmatrix} ^{4n-3} \end{eqnarray*}$

soweit hab ichs dass wenigstens die 1 davor steht... hoffe das stimmt auch *g*. Und weiter hab ich keinen Plan wie ich dann die Potenz in die gleiche Form von dem Nenner bringen soll

21.12.2005, 23:53

sqrt(2)

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So geht's auch.. Setze $\begin{eqnarray*} m:=6n-4 \end{eqnarray*}$ und rechne damit weiter; der Grenzwert bleibt für $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ aufgrund der Stetigkeit der Exponential- und Reziprokenfunktion der gleiche.

22.12.2005, 00:04

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m??
meinst du damit den exponent?
Also wie ich da weitermachen soll, weiß ich nicht. Bei einer anderen Aufgabe wurde der Exponent dem Nenner des Bruchs dann angepasst, indem man den Exponent dann zerlegt hat in weitere Teile mit der selben Basis. Also dass so was rauskommt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+ \frac{9}{6n-4} \end{pmatrix} ^{6n-4} \end{eqnarray*}$ .......

Allerdings weiß ich nicht wie ich das bei der Aufgabe machen soll, da der Exponent ja kleiner ist wie der Bruch. So könnte man das doch lösen, oder?

22.12.2005, 00:12

sqrt(2)

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Du willst in der Klammer die Form $\begin{eqnarray*} 1+\frac{a}{x} \end{eqnarray*}$ bekommen, wobei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Veränderliche ist. Im Moment hast du aber noch einen längeren Term im Nenner, der weg soll. Daher bietet es sich an, den Nenner durch eine neu geschaffene Variable $\begin{eqnarray*} m:=6n-4 \end{eqnarray*}$ zu ersetzen. Dasselbe musst du dann natürlich im Exponenten machen, indem du den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umformst und einsetzst.

Wenn du jetzt dem Limes für $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ bildest, bekommst du denselben Wert wie für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ des ursprünglichen Ausdrucks, anschaulich gesprochen, weil $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nur ein bisschen langsamer als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ läuft, aber was macht das in der Unendlichkeit schon aus?

22.12.2005, 00:17

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also das kapier ich nicht so wirklich... kann man das nicht so machen wie ich geschrieben hatte?

22.12.2005, 00:30

sqrt(2)

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Entschuldige, ich war unaufmerksam... Auf den ersten Blick würde ich sagen, ja dein Verfahren geht auch, wenn ich es aber dann in die Tat umsetze, lande ich in einer endlosen Rekursion. Um von $\begin{eqnarray*} 6n-4 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 4n-3 \end{eqnarray*}$ zu kommen ist neben einer Multiplikation mit der Basis auch eine Division durch die Basis hoch $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ notwendig -- und wie willst du dann den Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{9}{6n-4}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

bestimmen, ohne das gleiche Verfahren noch einmal anzuwenden, sodass du mit Basis hoch $\begin{eqnarray*} 4n \end{eqnarray*}$ multiplizieren musst, sodass du

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{9}{6n-4}\right)^{4n} \end{eqnarray*}$

stehen hast, womit du wieder am Anfang wärst.

22.12.2005, 00:34

flush

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ja genau so ungefähr bin ich dann auch gelandet und grad da weiß ich nicht mehr weiter... und das andere wie du das erklärt hast blick ich irgendwie nicht so recht :-(

22.12.2005, 00:42

sqrt(2)

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Kurz notiert lautet meine Aussage: Mit $\begin{eqnarray*} m=6n-4~\Lra~n=\frac{1}{6}(m+4) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{9}{6n+4}\right)^{4n-3}=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{9}{m}\right)^{4\left(\frac{1}{6}(m+4)\right)-3} \end{eqnarray*}$ .

Mit Substitutionen solltest du aber eher vorsichtig umgehen, der Grenzwert bleibt nicht immer der gleiche.

22.12.2005, 21:28

flush

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aha ok, aber sicher ist die Sache dann nicht? Gibts da keine andere Möglichkeit sonst?

22.12.2005, 21:47

sqrt(2)

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In diesem Fall funktioniert es so. Du kannst den Bruch auch so kürzen, dass du im Nenner keinen Faktor mehr vor dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stehen hast und dann ein bisschen überlegung anstellen, welche Auswirkungen der zweite Summand im Nenner auf den Grenzwert hat, aber in Wirklichkeit ist das dann auch nichts anderes als eine entsprechende Substitution.

26.12.2005, 00:09

Fassi

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Sorry wenn ich frage,
aber warum wollt ihr eine Folge in eine e-Funktion umbasteln?

Bei einer Folge steht doch eh schon fest, dass n € N ist.
Kann euch da irgendwie nicht ganz folgen

26.12.2005, 00:12

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Fassi
Sorry wenn ich frage,
aber warum wollt ihr eine Folge in eine e-Funktion umbasteln?

Nein. Es geht darum, eine Folge so umzubauen, dass sie bekannterweise gegen einen bestimmten Wert der e-Funktion konvergiert.

26.12.2005, 00:33

Fassi

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Soll man durch diese Umformungen den Grenzwert leichter erkennen?

Ich habe bisher immer die Methode verwendet, dass ich "für n was großes" eingesetzt habe und dann geguckt hab was rauskommt. In dem Fall ein gleiches Ergebnis

26.12.2005, 00:37

20_Cent

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was großes einsetzen reicht manchmal nicht...
Dann benutzt man ähnliche Folgen, oder Grenzwertsätze, L'Hospital(bei Funktionen), Sandwich(Einengungs)lemma, etc....
mfG 20

26.12.2005, 02:10

Fassi

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aso,

bin bishernoch nie in die Situation gekommen, dass es nicht ausgereicht hat zu gucken, was bei n= unendlich passieren würde. Glaube euch auch, dass es Funktionen gibt, wo man mitdirektem Einsetzen nicht weiter kommt (auch wenn ich mir gerade keine Ausdenken könnte auf die Schnelle)

26.12.2005, 02:39

sqrt(2)

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Wenn es darum geht, den genauen Grenzwert zu finden, dann ist das hier eine Funktion, bei der es mit Einsetzen schwierig wird. Du wirst einen Wert um 403 erhalten, der dir aber nicht viel sagen wird. Wenn du dir die Folge dann etwas näher ansiehst, kannst du wahrscheinlich gut raten, was der exakte Grenzwert wohl sein wird, aber wenn du dir die Folge genauer ansiehst, kannst du dir auch gleich die Mühe machen, den Grenzwert mit den Grenzwertsätzen zu bestimmen.

26.12.2005, 19:23

Lazarus

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Kurz notiert lautet meine Aussage: Mit $\begin{eqnarray*} m=6n-4~\Lra~n=\frac{1}{6}(m+4) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{9}{6n+4}\right)^{4n-3}=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{9}{m}\right)^{4\left(\frac{1}{6}(m+4)\right)-3} \end{eqnarray*}$ .

Mit Substitutionen solltest du aber eher vorsichtig umgehen, der Grenzwert bleibt nicht immer der gleiche.

hi sqrt.
du hattest das auf der ersten seite geschrieben. ich hab den thread erst gerade gelesen und bin dadrauf gestoßen.
ich hätte die aufgabe auch so gelöst, allerdings war mir nicht bewusst, das man bei subtitutionen vorsichtig sein muss, da sich der grenzwert ändern kann.
kannst du mir erklären wieso und evtl. ein beispiel dafür geben ?

mit freundlichen grüßen
uli

26.12.2005, 19:34

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\neq\lim_{z\to\infty}z \end{eqnarray*}$

... und so eine Substitution kann einem schon in den Sinn kommen. Wenn man sie richtig macht,

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\neq\lim_{z\to0}z \end{eqnarray*}$ ,

ist sie sogar oft praktisch.

26.12.2005, 19:42

20_Cent

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beim unteren sollte aber = stehen, oder nicht?
mfG 20

26.12.2005, 19:47

mercany

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Zitat:

Original von 20_Cent
beim unteren sollte aber = stehen, oder nicht?
mfG 20

Jupp, ist wohl nen Schreibfehler!

26.12.2005, 19:50

sqrt(2)

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Äh, ja...

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\lim_{z\to0}z \end{eqnarray*}$

26.12.2005, 20:21

Lazarus

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ja ok .. sowas war mir auch klar.
aber da scheiterts ja nicht daran das man nicht subtituieren "darf" sondern nur daran das man nicht aufpasst und dann "falsch" subtituiert ..

danke dir Augenzwinkern

26.12.2005, 23:21

Fassi

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Wenn es darum geht, den genauen Grenzwert zu finden, dann ist das hier eine Funktion, bei der es mit Einsetzen schwierig wird. Du wirst einen Wert um 403 erhalten, der dir aber nicht viel sagen wird. Wenn du dir die Folge dann etwas näher ansiehst, kannst du wahrscheinlich gut raten, was der exakte Grenzwert wohl sein wird, aber wenn du dir die Folge genauer ansiehst, kannst du dir auch gleich die Mühe machen, den Grenzwert mit den Grenzwertsätzen zu bestimmen.

Wann erhält man denn einen Wert um 403?
Ich würde eher was mit 1 sagen.

Oder hat die 403 was mit dem oberen Grenzwert zu schaffen?
Dabei stellt sich mir auch gleich die Frage ob man durch die Grenzwertsätze (von denen ich,wie ich zugeben muss, noch nie was gehört hab) auch mehr als einen möglichen Grenzwert bei n gegen unendlich erkennt.

26.12.2005, 23:28

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Fassi
Ich würde eher was mit 1 sagen.

Dann setz mal ein...

Zitat:

Original von Fassi
Oder hat die 403 was mit dem oberen Grenzwert zu schaffen?

Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{6n+5}{6n-4}\right)^{4n-3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ liegt zwischen 403 und 404.

26.12.2005, 23:55

Fassi

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Die von absoluten Werte, die in der Klammer stehen kann man bei großen Werten vernachlässigen und der Wert in der Klammer nähert sich somit immer weiter der 1 (von oben) und 1^x ist immer 1

27.12.2005, 00:02

20_Cent

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tja, so gehts leider nicht:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}=e \end{eqnarray*}$

als einfaches gegenbeipiel...
mfG 20

27.12.2005, 00:19

Fassi

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jetzt raff ich auch den Sinn der Umstellung.

Danke

27.12.2005, 01:48

Lazarus

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der sinn der umstellung ist ganz einfach, das man den grenzwert anschaulich erkennen kann, ohne durch das einsetzten von großen zahlen in den taschenrechner ein plausibles näherungsergebniss zu bekommen.

denn hier ist nunmal die genaue lösung $\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(\left(1+\frac{9}{m}\right)^{m-1}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(e^{9}\right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{e^{18}} \end{eqnarray*}$ und nicht 403,428....
wir hatten doch gerade erst eine diskussion über solche dezimalzahlen und taschenrechner an der schule oder ?!
sowas kommt dann dabei raus!

qed Augenzwinkern

servus

27.12.2005, 02:10

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{e^{18}} \end{eqnarray*}$

... oder ganz einfach $\begin{eqnarray*} e^6 \end{eqnarray*}$ .
Augenzwinkern

27.12.2005, 12:44

Lazarus

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stimmt^^
einfach $\begin{eqnarray*} e^6 \end{eqnarray*}$
*brett vorm kopf wegmach*

28.12.2005, 17:16

flush

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ok, danke euch jetzt hab ichs endlich auch mal gerafft wie ihr das gemacht habt mit dem Substituieren. Jetzt ist nur noch die Frage wann darf ich das machen und wann nicht? Also sqrt, du hast ja gesagt, dass der Grenzwert nicht immer der gleiche bleibt. Woher seh ich das dann? Aus der Erklärung da werd ich nicht schlau...

Achja und geht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+ \frac{9}{m} \end{pmatrix} ^{m} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} e^9 \end{eqnarray*}$ ? Also der Zähler bei dem Bruch sagt dann die Hochzahl von e aus??

10.01.2006, 15:30

flush

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kann mir das vielleicht noch jemand sagen? Wär schon wichtig und wie man da dann drauf kommt?

10.01.2006, 15:34

Mathespezialschüler

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Ja, das stimmt. Eine (nicht ganz korrekte) Erklärung:

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{9}{m}\right)^m=\left(\left(1+\frac{9}{m}\right)^{\frac{m}{9}}\right)^9 \end{eqnarray*}$ .

Setzt man $\begin{eqnarray*} n=\frac{m}{9} \end{eqnarray*}$ , dann folgt aus $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ und man erhält:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{9}{m}\right)^m=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^9=\operatorname e^9 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

10.01.2006, 16:48

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warum darf ich $\begin{eqnarray*} n=\frac{m}{9} \end{eqnarray*}$ setzen?

10.01.2006, 16:54

Mathespezialschüler

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Darfst du eigentlich nicht, deswegen sagte ich ja auch, dass es nicht ganz korrekt ist. Aber wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht, dann ja auch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Und deswegen ist das eigentlich gerechtfertigt. Warum das dann wirklich gegen $\begin{eqnarray*} \operatorname e \end{eqnarray*}$ geht, ist ne andere Sache. Der Beweis dafür ist aber nicht so einfach!

Gruß MSS

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